1、高能物理实验中的误差分析提纲n误差及相关概念n测量误差的估计和处理n高能物理实验中的物理量及其误差一.误差及相关概念n概念：给出值与真值之间的差异。n测量方法：对已知真值的情况，测量值与真值比较，从而得到修正量。A.绝对误差 B.相对误差n误差的分类：统计误差：随机误差，绝对值与符号的变化随机系统误差：非随机误差，绝对值及符号恒定，如果条件变化，误差变化有规律粗大误差：异常测量值（理论值、定义值）（测量值、实验值）n误差表示的约定n误差一般1-2位有效数字n一般不四舍五入，而是进位制n数字修约规则：后一位大于0.5，进1后一位小于0.5，不变后一位等于0.5，奇进偶退n误差来源：装置误差：MD
2、C丝位不准，导致正负电荷径迹不对称环境误差：BSC幅度随温度变化人员误差：BEPC能量由高向低调，倾向于造信号或者消灭信号方法误差：TELESIS引起的误差理论假设：宽共振的BW形式)(24.0)(2418.0TF3.025.02418.0or15.014.20145.0135.2015.012.20145.0125.2015.013.20145.0126.2015.012.20145.0123.20u随机误差定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号都以不可预知的方式变化的误差，称为随机
3、误差或偶然误差，简称随差。随机误差主要由对测量值影响微小但却互不相关的大量因素共同造成。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦和配合间隙、热起伏、空气扰动、大地微震、测量人员感官的无规律变化等。u系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。产生的主要原因是仪器的制造、安装或使用方法不正确，环境因素（温度、湿度、电源等）影响，测量原理中使用近似计算公式，测量人员不良的读数习惯等。系统误差表明了一个测量结果偏离真值或实际值的程度。系差越小，测
4、量就越准确。系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。即0 xAu粗大误差：粗大误差是一种显然与实际值不符的误差。产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误 如用普通万用表电压档直接测高内阻电源的开路电压测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。l含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数据处理时，应剔除掉。误差的表达n4.系差和随差的表达式在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差各次测得值的绝对误差等于系
5、统误差和随机误差的代数和。在任何一次测量中，系统误差和随机误差一般都是同时存在的。系差和随差之间在一定条件下是可以相互转化的 iiiixAxxxAx测量结果的表征n精密度表示随机误差的影响。精密度越高，表示随机误差越小。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。n准确度表示系统误差的大小。系统误差越小，则准确度越高，即测量值与实际值符合的程度越高。n精确度用来反映系统误差和随机误差的综合影响。精确度越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。射击误差射击误差示意图示意图 二.测量误差的估计和处理n随机误差的统计特性及减少方法在测量中，随机误差是不可避免的。随机误
6、差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的，比如外界条件（温度、湿度、气压、电源电压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微振动等。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。随机误差的分布规律随机误差的分布规律(1).(1).随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望:反映其平均特性。其定义如下：nX为离散型随机变量：nX为连续型随机变量：1iipixE(X)dxxxpXE)()(方差和标准偏差 方差是用来描述随机变量与其数学期望的分散程度。设随机变量X的数学期望为E(X)，则X的方差定义为：D(X)=E(XE(X)2 标准
7、偏差定义为：n标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度，并且与随机变量具有相同量纲。)(XD (2)测量误差的正态分布测量误差的正态分布n测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和-抵偿性。n中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。n正态分布的概率密度函数和统计特性正态分布的概率密度函数和统计特性n随机误差的概率密度函数为：n测量数据X的概率密度函数为：n随机误差的数学期望和方差为：n同样测量数据的数学期望E(X)，方差D(X)2exp(21)(22 p2)(exp
8、21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE222222)2exp(21)()0()(ddpED2 0)(p1 2 3 n标准偏差意义n标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。n标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平坦，说明数据越分散。有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值有限次测量的数学期望和标准偏差的估计值n（1）有限次测量的数学期望的估计值算术平均值用事件发生的频度代替事件发生的概率用事件发生的频度代替事件发生的概率，当 则nnxpxXEimiimiii 11)(令n个可相同的测试数据xi(i=1.2,n)次数都计为1,
9、当 时，则 niiniixnnxXE1111)(n n被测量被测量X X的数学期望，的数学期望，就是当测量次数就是当测量次数 时，各次测量值的算时，各次测量值的算术平均值术平均值 nn*)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn n规定使用算术平均值为数学期望的估计值，并作为最后的测量结果。即：n算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值和最大似然估计值。n（2 2）算术平均值的标准偏差）算术平均值的标准偏差 niixnx11 故：算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原因是随机误差的抵偿性。nXx)
10、()(（2）有限次测量数据的标准偏差的估计值）有限次测量数据的标准偏差的估计值n算术平均值算术平均值残差：残差：实验标准偏差实验标准偏差（标准偏差的估计值），贝塞尔公式：标准偏差的估计值），贝塞尔公式：算术平均值标准偏差的估计值算术平均值标准偏差的估计值 ：xxii niiniixxnnxs1212)(1111)(nxsxs)()(niixnx11n很大时，n=n+1误差的误差在n很大时很小，但n较小时应考虑系统误差的判断及消除方法系统误差的判断及消除方法n系统误差的特征：系统误差的特征：在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。u多
11、次测量求平均不能减少系差。u系统误差可以通过修正方法降低或消除系统误差的发现方法系统误差的发现方法n（1）不变的系统误差：校准、修正和实验比对。n（2）变化的系统误差 残差观察法，适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数据的残差值的大小和符号的变化。三.高能物理实验中的物理量及其误差n测量的物理量：质量宽度寿命截面分支比角分布自旋宇称统计误差的确定n与样本大小有关，也与满足的分布有关质量、宽度测量探测器分辨上的差异要通过增大样本来抵偿x2122222.)1(2)(1/)(/)(/),(snssnxxnxxnxmxniimiidiiin几种重要的分布二项
12、式分布 n次实验x次成功的机率应用：用MC样本确定效率及其统计误差qpnxVpnxpqppCxPxnxxn)(1,)1()(obsobsprodprodprodprodobsprodobsobsselectionprodnnNNNNnNnNN/)1(/)1(/泊松分布 在二项式分布中应用：直方图中每个bin中的事例数的分布 满足的条件：bin足够多；n足够大；分布不很集中小样本实验 参看BES mass测量，PRL69,3021(1992)(,!)(0,xVxnpxexxppnx高斯分布 泊松分布中当x较大时（x20）为标准正态分布应用：误差分析及信号显著性中对应的仅对高斯分布成立；2定义的基
13、础)1,0(,21)(1,0)(),(,21)(2222)(222NexPxVxNexPxx系统误差的来源和消除方法系统误差的来源和消除方法测量设备理论模型的应用实验分析方法的应用MC模拟实验者的偏见理论预期的误导其他原因系统误差及其测量n基本考虑：待测物理量与哪些测量量有关，如何将测量量的误差传递给待测物理量。n原则上可由各个测量量的误差求出，但有时因为其中的关系过于复杂，误差的测量非常困难，此时就体现出数据分析的重要性。质量测量：衰变产物nM2=(E1+E2+)2-(p1+p2+)2n影响质量测量的关键因素：动量测量（带电径迹）能量测量（中性径迹）本底形状（质量谱拟合）变通方法：用精确已知
14、的粒子刻度待测粒子需要检查和重需要检查和重新刻度动量新刻度动量能量与极角、能量与极角、方位角的依赖方位角的依赖描述本底的函数描述本底的函数质量谱拟合方法质量谱拟合方法宽度测量n衰变产物 拟合不变质量谱n对撞产生 拟合产生截面n影响宽度测量的主要因素 质量分辨或能散 本底形状n质量和宽度常常同时测量，但前者对质量分辨依赖很小质量分辨n质量分辨：探测器测量误差对不变质量谱造成的弥散。n质量分辨的确定：原则上可由动量分辨、角分辨、能量分辨等确定，但往往办不到。n有关质量分辨的常用假设：高斯分布（不总是成立）MC模拟可以确定（完美的MC）PWA中忽略（误差很大或分辨很小）分支比测量n分支比计算公式n影
15、响分支比测量的因素观测事例数本底事例数选择效率母粒子事例总数XbkgobsNnnfXB)(效率的问题n分支比测量公式里的效率为事例的选择效率，包含了探测器几何接收度、判选条件效率、中间态的分支比等。n效率估计一般使用MC模拟，而MC往往不能完美的模拟物理过程，从而造成系统误差。n应当用大样本、高精度的实际数据检验MC模拟的可靠性，必要时对其进行效率修正。n一般的：n测量“fi”，即可修正MC效率得到真实数据对应的效率。这是物理分析的重要内容之一。iiMCiDTfitnMCPIDMCTrackMCGeomMCMCfitnDTPIDDTTrackDTGeomDTDTf 44效率估计的说明n数据与M
16、C的不一致永远存在，因此利用MC得到的效率永远都需要修正，但对不同过程的要求不同。n对小统计量情况，统计误差为主，数据与模拟的差别对结果影响很小。n对大统计量情况，数据与模拟的差别不能忽视。n对稀有事例的寻找，模拟结果可能与真实情况相差很多。角分布测量nPWA中除了用到不变质量信息，还用到末态粒子的角分布信息，因此可以更好的确定共振态的参数。n角分布测量实际上要用到与角度有关的效率。（一般意义上的效率实际上是对角度积分的效果）n可以测量与角度有关的效率。n可以通过对已知角分布过程的测量标定与角分布有关的效率。误差传递n对于某一过程U，x、y、z为该过程待测参量X、Y、Z的测量值，则 (R为高阶项)如果各待测量相互独立，则R=0n独立量的方差合成定理：常用误差传递公式参见朱永生实验物理中的概率与统计P67xzzxzyyzyxxyzyxUxFzFzFyFyFxFRRzFyFxF2.2.2.)()()(2222222222)(ixiixF总之n做物理分析工作应当深入了解探测器的工作原理和性能，了解MC及其不完美性。n对物理分析结果的评价要与实验数据给出的信息匹配，不能用似是而非的语言描述实验，也绝不能给出超出实验数据给出信息的结论。
