1、高二数学高二数学 选修系列选修系列 第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.1.2 2.1.2 曲线与方程曲线与方程Excellent courseware直接法直接法Excellent courseware在什么条件下，方程在什么条件下，方程f(xf(x，y)y)0 0是曲线是曲线C C的方程，同时曲线的方程，同时曲线C C是该方程的曲线？是该方程的曲线？（1 1）曲线）曲线C C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 f(xf(x，y)y)0 0的解；的解；（2 2）以方程）以方程f(xf(x，y)y)0 0的解为坐标的点的解为坐标的点都在曲线都在曲线C C上上.知识回顾知识回顾E
2、xcellent coursewaref(x,y)=00 xyExcellent coursewarexy0CBAM(,)x y练习练习Excellent courseware例例1 长为长为2 2的线段的线段ABAB的两端点分别在两条互相垂的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段直的直线上滑动，求线段ABAB的中点的中点M M的轨迹方程的轨迹方程.A AM MB Bx xy yO Ox x2 2y y2 21 1 一、定义法一、定义法定义法:在建系的基础上，寻求几何关系时候利用几何关系与基本曲线的定义做题：即：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接求解 Excellent
3、 courseware二、待定系数法及方程求）（和点，（的曲线经过、已知方程例baBAbyax,1,1)350222212592516225182532253225182112)35(022222222yxyxabbaba即解：由题意可知注：已知曲线的方程模式或类型，设出方程，代入所过的点，求出系数。求其圆的方程，），（过点（变：已知过原点的圆，),500,1Excellent courseware例例2.已知线段已知线段AB,B点的坐标（点的坐标（6,0），），A点在曲线点在曲线y=x2+3上运动，求上运动，求AB的中点的中点M的轨迹方程的轨迹方程.x xy yABMy=x2+3三、相关点法
4、三、相关点法108642-2-4-6O O1 11 1x+6x+6x=x=2 2y yy=y=2 21 11 1x=2x-6x=2x-6y=2yy=2y点点A（X1，Y1）在曲线）在曲线y=x2+3上，则上，则 y1=x12+3解；设解；设AB的中点的中点M的坐标为（的坐标为（x，y），），又设又设A（X1，Y1），则），则代入，得代入，得 2y=（2x-6）2+32 2整整理理,得得ABAB的的中中点点的的轨轨迹迹方方程程为为3 3 y=2 x-3+y=2 x-3+2 2设点找两动点关系反解反解代入代入化简化简Excellent courseware简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲
5、简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之之间的坐标。间的坐标。相关点法相关点法:相关点法（或或中间变量法中间变量法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x，y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x,y表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，也称代入法。Excellent courseware变式变式.ABCABC 的顶点的顶点 B B
6、、C C 的坐标分别为的坐标分别为(0,0)(0,0)、(4,0),(4,0),ABAB 边上的中线的长为边上的中线的长为 3,3,求顶点求顶点 A A 的轨迹方程的轨迹方程.xy0(,)x yCABDM变变式式Excellent courseware若三角形若三角形ABC的两顶点的两顶点C，B的坐标分别是的坐标分别是C（0，0），），B（6，0），顶点），顶点A在曲线在曲线y=x2+3上运动，求三角形上运动，求三角形ABC重心重心G的轨迹方程的轨迹方程.变式练习变式练习x xy yABMy=x2+3108642-2-4-6O OExcellent coursewarexy0ABCMl四、四、
7、参参数数法法参数法：求轨迹方程的基本步骤：建系设求的点引参数用参数表示x,y消参检验Excellent courseware),(yx解：设抛物线的顶点为2112254mxxmym 变式：求抛物线变式：求抛物线 的顶的顶点的轨迹方程。点的轨迹方程。22(21)1()yxmxmmR34yx消去m4/3 xy方程：所以抛物线顶点的轨迹Excellent coursewarexy0ABCMl点差法点差法一题多解Excellent coursewarexy0ABCMlOM M 为为 ABAB 的中点的中点,由圆的性质可知由圆的性质可知 MCMCOMOMM MC=OC/2=C=OC/2=OC 的的中中点
8、点O的的坐坐标标为为3(,1)2 轨迹轨迹方程为方程为22313()(1)24xy一题多解一题多解1 32Excellent courseware1.求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法:(1)(1)直接法直接法(2)(2)相关点法相关点法(3)(3)定义法定义法(4)(4)参数法参数法小结小结2.2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系
9、之间的关系.3.3.求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异.Excellent courseware平面基本轨迹平面基本轨迹（1）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线。线段的垂直平分线。（2）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为
10、半径的圆。心，定长为半径的圆。（3）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。（4）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这条直线的两条平行线。条直线的两条平行线。（5）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。（6）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段为
11、直径的圆。为直径的圆。Excellent courseware练习练习1、已知、已知A(-a,0),B(a,0)若动点若动点M与两定点与两定点A，B构构成直角三角形，求直角顶点成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。的轨迹方程。()aR2、在、在 中，已知顶点中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且且 的面积的面积等于等于3，求顶点，求顶点C的轨迹方程。的轨迹方程。ABCABC3、（江苏，、（江苏，06）已知两点）已知两点M(-2,0),N(2,0),点点P为坐标平面为坐标平面内的动点，满足内的动点，满足 。则动点。则动点P(x,y)的的轨迹方程为轨迹方程为 。0MNMPMN NP 4.动点在
12、圆动点在圆122 yx上移动时，它与定点上移动时，它与定点)0,3(B连线连线的中点的轨迹方程是的中点的轨迹方程是()5.点点M(,)x y与定点与定点F(1,0)距离和它到直线距离和它到直线8x 的距离的的距离的比为比为12,则动点则动点M的轨迹方程为的轨迹方程为()Excellent courseware1.设圆设圆(x-1)2+y2=1的圆心为的圆心为C，过原点作圆的弦过原点作圆的弦OA，求，求OA中点中点B的轨迹方程的轨迹方程.思考题思考题2.已知点已知点A(-1,0),B(2,0),A(-1,0),B(2,0),有一动点有一动点P P使使 恒成立恒成立,求的点求的点P P轨迹方程轨迹
13、方程.2PBAPAB A AP PB Bx xy yO OABC3、已知、已知 中，中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点第三顶点C在曲线在曲线 上移动，求上移动，求 的重心轨迹方程。的重心轨迹方程。ABC231yxABC4、已知、已知G是是 的重心，的重心，A(0,-1),B(0,1),在在x轴上轴上有一点有一点M满足满足 求点求点C的的轨迹方程。轨迹方程。,().MAMC GMABR Excellent courseware6、已知直角坐标平面上点、已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆和圆O:动点动点M到圆到圆O的切线长与的切线长与|MQ|的比等于常数的比等于常数 求动点求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？221.xy(0),0 xyMNQ7、已知圆、已知圆C：过原点：过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程。轨迹方程。Excellent courseware
