1、3.2 直线与方程3.2.2 直线的两点式方程 本节课主要学习直线的两点式方程和截距式方程。本课件在复习直线的倾斜角、斜率的概念、斜率公式和直线的点斜式方程、斜截式方程的基础上，运用几何画板画出平面内过两定点的直线，并通过研究直线上的任意一点坐标（x,y）满足的斜率关系式，从而变化得到关于x,y的方程，引入直线的两点式方程。以学生探究为主，让学生自己开动脑筋思考直线上任意一点的坐标满足的关系式，并利用几何画板进行动态的计算直线的斜率，引导学生思考直线的两点式的特点和使用的前提条件。运用由一般到特殊的思想方法得到直线的截距式方程，引入直线在两轴上的截距，探究直线的截距式方程的特点和使用条件。通过
2、例1、例2巩固掌握直线的两点式方程和截距式方程的结构特点，初步学会用方程研究直线及直线的位置关系。运用方程思想、转化思想和由一般到特殊的思想，由直线的两点式方程，转化为直线的截距式方程。点斜式点斜式方程方程当斜率不存在时不适用当斜率不存在时不适用斜截式斜截式方程方程当斜率不存在时不适用当斜率不存在时不适用当斜率当斜率不存在不存在时时000 xxxx或或00()yyk xxykxb复习回顾：复习回顾：问题引入：问题引入：直线 l 过点P(2,3)和Q(-1,-3)，点M(x,y)是 l 上不同于P，Q的一点，则x、y满足怎样的关系式？几何画板演示直线上的动点坐标与两点确定直几何画板演示直线上的动
3、点坐标与两点确定直线的斜率关系线的斜率关系已知直线的斜率和直线过一个定点，可以确定一条直线；过平面内两点也可以确定一条直线。(3)(1)3(3)2(1)yx直线的两点式方程直线的两点式方程已知直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，设点P(x，y)是直线l上不同于点P1，P2的任意一点，那么x，y应满足什么关系？xyOP(x,y)lP2(x2,y2)P1(x1,y1)211221yyxxkxx当时，111(,),P x y取代入点斜式方程得，211121()yyyyxxxx12yy当时，化成比例式：112121.yyxxyyxx1121212121(,)yyxxxxyyyyxx直线
4、的两点式方程y=y1 1x=x1 1当x1=x2时，直线方程为：当y1=y2时，直线方程为：注意：两点式不能表示垂直于x轴、y轴的直线.Oxyy0lP1P2Oxyx0lP1P2练习1：求经过下列两点的直线的两点式方程,并化简整理:123 102 yx500550yx(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)C(-4，-5)，D(0，0)(3)A(0，5)，B(5，0)解：（1）将P，Q两点的坐标代入两点式可得：（3）将A，B两点的坐标代入两点式可得：化简，整理得2x-y-3=0化简，整理得x+y-5=0（2）将C，D两点的坐标代入两点式可得：005040 yx化简，整理得5x-4y=0已知直线已
5、知直线l与与x轴的交点为轴的交点为A(a,0),0)，与与y轴的交点为轴的交点为B(0,(0,b)，其中其中a00，b00，求直线求直线l的方程的方程.解：将A，B两点的坐标代入两点式可得：000yxaba通过A，B两点的直线方程为：1xyab1xyab即直线的截距式方程直线的截距式方程(0,0)ab直线与x轴的交点(0,a)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距截距可是正数,负数和零xylA(a，0)B(0，b)直线的截距式方程:1xyab(0,0)ab横横截距截距纵纵截距截距练习练习2 2：根据下列条件求直线的方程，并画出图形根据下列条件
6、求直线的方程，并画出图形:（1 1）在）在x轴上的截距是轴上的截距是2 2，在，在y轴上的截距是轴上的截距是3;3;（2 2）在）在x轴上的截距是轴上的截距是-5-5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是6.6.解：（1）根据题意，由截距式方程为：（2）根据题意，由截距式方程为：123xy156xyxyO1 1 2 2 3 3 4 41 12 23 3xO2 4 6-2246y-4-6注：注：截距式画图比较方便截距式画图比较方便例例1.1.求经过点求经过点P(-5(-5，4)4)，且在两坐标轴上的截距，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程相等的直线方程.Oxy分析：截距均为0时，设方程为y=kx,截
7、距不为0时，设截距式求解.典例展示典例展示解：当截距均为0时，设方程为y=kx,4,5k 把P(-5，4)代入上式得即直线方程为4.5yx 当截距均不为0时，设直线方程为1,xyaa把P(-5，4)代入上式得1.a 直线方程为1,xy即10.xy综上直线方程为45yx 10.xy,或解:两条y=2x(与x轴和y轴的截距都为0)所以直线方程为：x+y-3=0.即：a=3.121,aa把(1,2)代入得：1,xyaa当截距都不为0时，设直线的方程为:练习练习3.3.过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?所以直线方程为：y=2x，或
8、x+y-3=0.例例2.2.已知三角形的三个顶点已知三角形的三个顶点A(-5(-5，0)0)，B(3(3，-3)-3)，C（0 0，2 2），），求求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.ABxyOCM解：过B(3，-3)，C(0，2)的两点式方程为：整理得：5x+3y-6=0因此BC边所在直线的方程为：5x+3y-6=0 203230 yx整理得：x+13+13y+5=0+5=0，这就是BC边上的中线所在直线的方程 那么过A(-5，0)，的直线方程为:31(,)22M05130522yxM为AB的中点，由中点坐标公式得到M的坐标为：
9、31(,)22注：中点坐标公式：12,2xxx122yyy练习练习4.4.已知点已知点A(1(1，2)2)，B(3(3，1),1),求线段求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.解：直线AB的斜率为：由中点公式可知,AB中点M的坐标为：设线段AB的垂直平分线的斜率为k,则有kABk=-1，求出k=2.所以线段AB的垂直平分线的方程是4x-2y-5=0.3(2,)21213 12 ABk过点 ，斜率为2的直线方程为：3(2,)232(2)2yx1.1.直线的两点式方程直线的两点式方程 2.2.截距式方程截距式方程 1byax1112122121(,)yyxxxxyyyyxx1212,)22xxyy（两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.3.3.中点坐标公式中点坐标公式直线方程名称直线方程形式适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式)(00 xxkyy121121xxxxyyyy1byax不垂直x轴不垂直x轴不垂直两个坐标轴不垂直两个坐标轴且不经过原点bkxy各类方程的适用范围课后练习课后练习课后习题课后习题
