1、均值不等式均值不等式第第1 1课时课时 均值不等式均值不等式服务员服务员:电子秤坏了电子秤坏了,但有一架臂长不等的但有一架臂长不等的天平天平.我有个好办法我有个好办法!王大妈王大妈:我我买这包糖买这包糖.称得称得a(kg)a(kg)称得称得b(kg)b(kg)服务员服务员:把两次称得的质量把两次称得的质量平均一下肯定是您所买的糖的质平均一下肯定是您所买的糖的质量量,绝对不会错的绝对不会错的!即即:=糖果真正质量糖果真正质量m 嗯嗯,我真聪明我真聪明,这样的难题都难不这样的难题都难不倒我倒我!2ba称得称得b(kg)b(kg)称得称得a(kg)a(kg)王大妈王大妈:对不对对不对,我我会不会吃亏
2、会不会吃亏?让我好让我好好想一想好想一想!真后悔高真后悔高中的时候没读好书中的时候没读好书啊啊哦哦,这也难不倒我老人家这也难不倒我老人家,凡事多凡事多问是我几十年的经验问是我几十年的经验!现在高中的现在高中的同学们正在学习不等式比较大小同学们正在学习不等式比较大小,就麻烦他们吧！同学们就麻烦他们吧！同学们,赶快帮我赶快帮我想一想想一想,告诉我结果告诉我结果!结论：结论：物体的真实质量为：物体的真实质量为：，而而a,ba,b的平均值为的平均值为 ab.2ab思考：思考：这两者之间的关这两者之间的关系如何？本节课我们来系如何？本节课我们来学习此内容学习此内容1.1.了解算术平均值与几何平均值的定义
3、及它们的关了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系系.2.2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式均值不等式.（重点）（重点）3.3.能利用均值不等式证明简单不等式能利用均值不等式证明简单不等式.（难点）（难点）222ab2ab(ab)22ab(ab)0ab(ab)0当时，当时，22ab2ab定理：定理：如果如果a，bRR，那么，那么a a2 2+b+b2 22ab2ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”=”）证明：证明：探究点：探究点：均值不等式均值不等式1 1指出定理适用范围：指出定理适用范围：2 2强调取强调取“=”=”
4、的条件：的条件：均值定理：均值定理：如果如果a,bRa,bR+，那么，那么 （当且仅当（当且仅当a=ba=b时，等号成立）时，等号成立）Rba,ba abab.2注意：注意：1.1.均值不等式均值不等式 (1)(1)均值不等式成立的条件均值不等式成立的条件:_.:_.(2)(2)等号成立的条件等号成立的条件:当且仅当当且仅当_时取等号时取等号.a0,b0a0,b0a=ba=b2.2.算术平均值与几何平均值算术平均值与几何平均值设设a0,b0a0,b0，则，则a,ba,b的算术平均值为的算术平均值为_,_,几何平均值几何平均值为为_，均值定理可表述为：，均值定理可表述为：_._.2baab两个正
5、实数的算术平均值大于或等于它的几何两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值平均值这个不等式，在证明不等式、求函数的最这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为们也称它为基本不等式基本不等式.3.3.几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a(1)a2 2+b+b2 2 _(a,bR)._(a,bR).(2)_(a,b(2)_(a,b同号同号).).(3)(a,bR).(3)(a,bR).(4)(a,bR).(4)(a,bR).2ab2ab2 2baab2abab()2222abab()22从从形的角度形的角度来看
6、，基本不等式具有特定的几何意义；来看，基本不等式具有特定的几何意义；从从数的角度数的角度来看，基本不等式揭示了来看，基本不等式揭示了“和和”与与“积积”这两种结构间的不等关系这两种结构间的不等关系.2ab把把看做两个看做两个正数正数a a，b b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a a，b b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比中项它们的等比中项.还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢?引申：引申：几何直观解释：几何直观解释：令正实数令正
7、实数a a，b b为两条线段的长，用几何作图的方法，为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为作出长度为 和和 的两条线段，然后比较这的两条线段，然后比较这两条线段的长两条线段的长.2abab具体作图如下：具体作图如下：（1 1）作线段）作线段AB=a+bAB=a+b，使，使AD=aAD=a，DB=bDB=b；（2 2）以）以ABAB为直径作半圆为直径作半圆O O；（3 3）过）过D D点作点作CDABCDAB于于D D，交半圆于点，交半圆于点C C；（4 4）连接）连接ACAC，BCBC，OC,OC,则则,2abOC,CDab当当a ab b时，时，OCCDOCCD，即，即,2abab当当
8、a=ba=b时，时，OC=CDOC=CD，即，即.2abababa+b2ba ODCBA注：注：“均值不等式的均值不等式的几何解释，我们通常几何解释，我们通常将其说成将其说成“半径不小半径不小于半弦于半弦”.所以所以 当且仅当当且仅当a=b a=b 时，不等式中的等号时，不等式中的等号成立成立.,2abab例已知例已知ab0ab0，求证：，求证：，并推导出，并推导出式中等号成立的条件式中等号成立的条件.2baab证明：证明：因为因为ab0ab0，所以，所以 ，根据均值不等式得根据均值不等式得0,0baab22,bab aaba b即即2.baab当且仅当当且仅当 ，即，即a a2 2=b=b2
9、 2时式中等号成立，时式中等号成立，baab因为因为ab0ab0，即，即a a，b b同号，所以式中等号成立同号，所以式中等号成立的条件是的条件是a=b.a=b.变式练习变式练习（1 1）证明：）证明：a a4 4+b b4 4+c c4 4+d d4 444abcdabcd.(2)(2)已知已知a a0,0,b b0,0,a a+b b=1,=1,求证求证:证明证明:（1 1）a a4 4+b+b4 4+c+c4 4+d+d4 42a2a2 2b b2 2+2c+2c2 2d d2 2=2(a=2(a2 2b b2 2+c+c2 2d d2 2)2)22abcd=4abcd.2abcd=4a
10、bcd.当且仅当当且仅当a=b=c=da=b=c=d时，式中等号成立时，式中等号成立 原不等式得证原不等式得证.114.ab（2 2）因为）因为a0,b0,a+b=1a0,b0,a+b=1，当且仅当当且仅当 即即a a2 2=b=b2 2时式中等号成立时式中等号成立.因为因为a a0,0,b b0,0,所以式中等号成立的条件是所以式中等号成立的条件是所以原不等式成立所以原不等式成立.11a+ba+bba11a+ba+bba所所以以+=+=2+=+=2+ababababababb ab a2+2=4.2+2=4.a ba bba,ab1ab.21.1.下列结论中不正确的是下列结论中不正确的是 （
11、）A.B.A.B.C.aC.a2 2+b+b2 22ab D.2ab D.1a0,a2a时ba2ab222()2ababB B2.2.若若a ab b0,0,则下列不等式中总成立的是则下列不等式中总成立的是()()2ababA.abab2ab2abB.ab2abab2abC.ab2ab2ababD.abab2C C3.3.已知已知x0,y0,z0.x0,y0,z0.求证：求证：yzxzxyyzxzxy(+)(+)(+)8.(+)(+)(+)8.xxyyzzxxyyzz证明：证明：因为因为x0,y0,z0,x0,y0,z0,当且仅当当且仅当x=y=zx=y=z时等号成立时等号成立.yz2 yzx
12、z2 xzyz2 yzxz2 xz所所以以+0,+0,+0,+0,xxxyyyxxxyyyxy2 xyxy2 xy+0,+0,zzzzzzyzxzxyyzxzxy所所以以(+)(+)(+)(+)(+)(+)xxyyzzxxyyzz8 yz xz xy8 yz xz xy=8.=8.xyzxyz应用均值不等式需注意以下三点：应用均值不等式需注意以下三点：（1 1）各项或各因式为）各项或各因式为正正.（2 2）和或积为）和或积为定值定值.（3 3）各项或各因式能取得）各项或各因式能取得相等的值相等的值，必要时做，必要时做适当变形，以满足上述前提，即适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三一正二定三相等相等”.预备十二分的力量，才能希望有十分的成功.张太雷
