1、14导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用第第1章导数及其应用章导数及其应用学习导航学习导航第第1章导数及其应用章导数及其应用学习目标学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用了解导数在解决实际问题中的作用(难点难点)2掌握利用导数解决简单的实际生活中的优掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题化问题(重点、难点重点、难点)学法指导学法指导1.在利用导数解决实际问题的过程中体会建在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想模思想2感受导数知识在解决实际问题中的作用感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问
2、题、解决问题的能力想，提高分析问题、解决问题的能力.栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用1.生活中经常遇到求生活中经常遇到求_、_、_等问题，我们通常把这些问题称为优化等问题，我们通常把这些问题称为优化问题问题(有时也可以称为最值问题有时也可以称为最值问题)2.利用导数解决优化问题的实质是利用导数解决优化问题的实质是_3解决优化问题的基本思路解决优化问题的基本思路利润最大利润最大用料最省用料最省效率最高效率最高建立数学模型建立数学模型栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中
3、各量之间的关系，列出实际问题的数学分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数求函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使比较函数在区间端点和使f(x)0的点的数值的大小，最的点的数值的大小，最大大(小小)者为最大者为最大(小小)值；值；(4)写出答案写出答案注意：注意：根据课程标准的规定根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实有关函数最大值、最小值的实际问题一般指的是单峰函数际问题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中也就是说在实际问题中，如果
4、如果遇到函数在区间内只有一个点使遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0，且该函数在这个且该函数在这个点有极大点有极大(小小)值值，那么不与端点值比较那么不与端点值比较，就可以知道这就是就可以知道这就是最大最大(小小)值值栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用1判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)(1)优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题问题()(2)生活中的优化问题都必须利用导数解决生活中的优化问题都必须利用导数解决()(3)生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是生活中的优化问
5、题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点最值点()栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用2方底无盖水箱的容积为方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高，则最省材料时，它的高为为_4栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用3某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)已知贷已知贷款的利率为款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为出去设存款利率为x，x(0，0.048 6)，若使银
6、行获得，若使银行获得最大收益，则最大收益，则x的取值为的取值为_0.032 4栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用解析：依题意解析：依题意，存款量是存款量是kx2，银行支付的利息是银行支付的利息是kx3，获得获得的贷款利息是的贷款利息是0.048 6kx2，其中其中x(0，0.048 6)所以银行的收益是所以银行的收益是y0.048 6kx2kx3(0 x0.048 6)，则则y0.097 2kx3kx2.令令y0，得得x0.032 4或或x0(舍去舍去)当当0 x0.032 4时时，y0；当当0.032 4x0.048 6时时，y0.所以当所以当x0.032 4时时，y取得最大
7、值取得最大值，即当存款利率为即当存款利率为0.032 4时时，银行获得最大收益银行获得最大收益栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用 在高为在高为H、底面半径为、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的半径则圆柱体的半径r为多大时：为多大时：(1)圆柱体的体积最大？圆柱体的体积最大？(2)圆柱体的表面积最大？圆柱体的表面积最大？(链接教材链接教材P35例例1)面积、体积最值问题面积、体积最值问题栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导
8、引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用方法归纳方法归纳在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在在实际问题中如果可以断定可导函数在定义域开区间内存在极大值极大值(极小值极小值)，而且而且f(x)在这个定义域开区间内又只有惟在这个定义域开区间内又只有惟一的极值点一的极值点，那么可以立即判定那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是这个极值点的函数值就是最大值最大值(或最小值或最小值)，这一点在解决实际问题中很有用，这一点在解决实际问题中很有用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用1.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相
9、等的左右两个矩形栏目两个矩形栏目(即图中阴影部分即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度，两栏之间的中缝空白的宽度为为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：单位：cm)，能使矩形，能使矩形广告面积最小？广告面积最小？栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐(如图如图)，设
10、计要求：储油罐的高度和圆柱底面半径相等，都为设计要求：储油罐的高度和圆柱底面半径相等，都为r米市米市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和倍和2倍倍设圆锥母线和底面所成角为设圆锥母线和底面所成角为(弧度弧度)，总费用为，总费用为y(元元)(1)将将y表示成表示成的函数关系式；的函数关系式；(2)当当为何值时，总费用为何值时，总费用y最小？最小？(链接教材链接教材P35例例2)成本最低成本最低(费用最省费用最省)问题问题栏目栏目导引导引第第
11、1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用方法归纳方法归纳选取合适的量为自变量选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，并确定其取值范围正确列出正确列出函数关系式函数关系式，然后利用导数求最值然后利用导数求最值，其中把实际问题转其中把实际问题转化为数学问题化为数学问题，正确正确列出函数解析式是解题的关键列出函数解析式是解题的关键栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用2.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位
12、于一直线海岸的岸边的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的的B处，乙厂到海岸的垂足处，乙厂到海岸的垂足D与与A相距相距50 km.两厂要在两厂要在此岸边合建一个供水站此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米费用分别为每千米3a元和元和5a元，则供水站元，则供水站C建在何处才能建在何处才能使水管费用最省？使水管费用最省？栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用利润利润(收益收益)最大问题最大问题栏目栏目导引导引第第1章导数及
13、其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用方法归纳方法归纳经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单位为自变量很容易建立函数关系以产量或单位为自变量很容易建立函数关系，从而可以利从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动用导数来分析、研究、指导生产活动栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用3.某商品每件成本某商品每件成本9元，售价元，售价30元，每星期卖出元，每星期卖出432件，如果件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数
14、与降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值商品单价的降低值x(单位：元，单位：元，0 x30)的平方成正比，的平方成正比，已知商品单价降低已知商品单价降低2元时，一星期多卖出元时，一星期多卖出24件件(1)将一个星期的商品销售利润表示成将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用解：解：(1)设商品降价设商品降价x元元，则多卖的商品数为则多卖的商品数为kx2，若记商若记商品在一个星期的获利为品在一个星期的获利为f(x)，则依
15、题意有，则依题意有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2)又由已知条件可知又由已知条件可知，24k22，于是有于是有k6，所以所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0，30(2)根据根据(1)，可得可得f(x)18x2252x43218(x2)(x12)栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用故当故当x12时时，f(x)取极大值取极大值，因为因为f(0)9 072，f(12)11 664，所以定价为所以定价为301218(元元)能使一个星期的商品销能使一个星期的商品销售利润最大售利润最大x0，2)2(2，12)12(12，30f(x)00f(x)极
16、小极小值值 极大极大值值 栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用 现有一批货物由海上从现有一批货物由海上从A地运往地运往B地，已知轮船的地，已知轮船的最大航行速度为最大航行速度为35海里海里时，时，A地至地至B地之间的航行距离地之间的航行距离约为约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例比例系数为系数为0.6)，其余费用为每小时，其余费用为每小时960元元(1)把全程运输成本把全程运输成本y(元元)表示为速度表示为速度x(海里海里时时)的
17、函数；的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？易错警示易错警示因忽视对应用问题中函数表达式因忽视对应用问题中函数表达式的实际意义而致误的实际意义而致误栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用错因与防范错因与防范(1)易忽视函数的定义域为易忽视函数的定义域为(0，35，误误认为当认为当x40时取得最小值时取得最小值(2)生活中的利润最大生活中的利润最大，用料最省用料最省，效率最高等应用效率最高等应用问题问题，通过认真阅读理
18、解关于实际问题的材料通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立建立相关数学模型相关数学模型，转化为利用导数这一工具能解决的一转化为利用导数这一工具能解决的一般数学问题般数学问题，解答此类问题应注意结合实际问题的定，解答此类问题应注意结合实际问题的定义域，所得结果要有实际意义义域，所得结果要有实际意义栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用4甲、乙两地相距甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过度不得超过c千米千米时，已知汽车每小时的运输成本时，已知汽车每小时的运输成本(以元为以元为单位单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米千米时时)的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为b(b0)；固定部分为；固定部分为a元元(1)把全部运输成本把全部运输成本y(元元)表示为速度表示为速度v(千米千米时时)的函数，并的函数，并指出这个函数的定义域；指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用栏目栏目导引导引第第1章导数及其应用章导数及其应用
