1、教学过程一、几个概念一、几个概念1 1）两个向量的夹角的定义两个向量的夹角的定义abbaba,0被唯一确定了，并且量的夹角就在这个规定下，两个向范围：bababa互相垂直，并记作：与则称如果,2,babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向O OA AB Baabb同起点是关键同起点是关键2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积等于零。零向量与任意向量的数量积等于零。babababababababaaaOAaOA,cos,co
2、s,即记作：的数量积，叫做向量，则已知空间两个向量记作：的长度或模的长度叫做向量则有向线段设abA1 1B1 1 baABBAabBABaBAaAabAB,cos,111111上上的的正正射射影影，简简称称射射影影方方向向在在叫叫做做，则则上上的的射射影影在在作作点点上上的的射射影影在在作作点点和和已已知知向向量量BAE E 4)4)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质 aaababaeaaea2)30)2,cos)1注意：注意：性质性质2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质性质3 3）是求向量的长度（模）的依据；）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量对于非零向
3、量 ，有：，有：,a b 5)5)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：分配律）交换律）()(3()2)()()1cabacbaabbababa数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()cbacba（二、二、课堂练习课堂练习_|_,2,22,22.1 babababa所所夹夹的的角角为为则则已已知知)()4)()()3)()()()2)(0,0,01.222222qpqpqpqpqpcbacbababa则若）判断真假：全错全错ADFCBEACEFDCEFBDEFBAEFADABFEABCD)4()3()2(11.3）（计算：的中点。、分别是、，点等于的每条边和对
4、角线长都如图：已知空间四边形三三、典型例题典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l 分析：由定义可知，只需证分析：由定义可知，只需证l l与平面内与平面内任意直线任意直线g g垂直。垂直。n nm mgg gmnll l要证要证l l与与g g垂直，只需证垂直，只需证lg0 0而而m m，n n不平行，由共面向量定理知，不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对存在唯一的有序实数对(x,y(x,y)使得使得 g=xm+yng=xm+yn 要证要证l lg g0,0,只需只需l l
5、 g=g=xlxlm+ylm+yln n=0=0而而l lm m0 0，l ln n0 0故故 l lg g0 0三三、典型例题典型例题例例1：已知：已知m,n是平面是平面 内的两条相交直线，直线内的两条相交直线，直线l与与 的交点为的交点为B，且，且lm，ln，求证：，求证：l n nm mgg gmnll l证明：在证明：在 内作不与内作不与m m、n n重合的任一条重合的任一条直线直线g,g,在在l l、m m、n n、g g上取非零向上取非零向量量l l、m m、n n、g g，因，因m m与与n n相交，得向量相交，得向量m m、n n不平行，由共面向量定理不平行，由共面向量定理可知
6、，存在唯一的有序实数对（可知，存在唯一的有序实数对（x x，y y），），使使 g g=x=xm m+y+yn n,l lg g=x=xl lm m+y+yl ln n l lm m=0,=0,l ln n=0=0 l lg g=0=0 lglg lglg 这就证明了直线这就证明了直线l l垂直于平面垂直于平面 内的内的任一条直线，所以任一条直线，所以ll 例例2：已知：在空间四边形：已知：在空间四边形OABC中，中，OABC，OBAC，求证：，求证：OCABACOBCBOA，证明：由已知A AB BC CO O 0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBO
7、BOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理利用向量知识证明三垂线定理aA AO OP P.,0,0,0,PAaPAaaOAaPOaPAOAyPOxPAyxOAPOOAPOaOAaOAaPOaPOPOaa即使有序实数对定理可知，存在唯一的不平行，由共面向量相交，得又又而上取非零向量证明：在PAaOAaaPAOAPAPO求证：且内的射影，在是的垂线，斜线，分别是平面已知：,课堂小结课堂小结1正确分清楚空间向量的夹角。正确分清楚空间向量的夹角。2两个向量的数量积的概念、性质两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。和计算方法。
8、例例3 3 如图，已知线段在平面如图，已知线段在平面 内，线段内，线段，线段，线段 ，线段，线段，如，如果，求、之间的距离。果，求、之间的距离。AC BDAB DD 30DBD,ABaACBDbCDAB 解：由，可知解：由，可知.由由 知知 .AC ACAB 30DBD,120CABD 22222222222|()|2222cos120CDCD CDCAABBDCAABBDCA ABCA BDAB BDbabbab 22CDabbab CABDD例例4 4已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDA B C D 4AB 3,5,90,60ADAABADBAA
9、DAA AC DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA|85AC 1.1.已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，线段，如果，求、之间的距离，如果，求、之间的距离.ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc2.2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点。，点分别是边的中点。求证：。求证：。ABCDaMN
10、、ABCD、,MNABMNCDNMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MAAB ADAB DNaaa MNAB同理，同理，MNCD 3.3.已知空间四边形已知空间四边形，求证：。，求证：。,OABCOBOCAOBAOC OABC OACB证明：证明：()|cos|cos|cos|cos0OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOBOAOB OABC4.4.如图，已知正方体，如图，已知正方体，和和 相交于相交于点，连结点，连结 ，求证：。，求证：。ABCDA B C D CD DC OAOAOCD ODCBADABC已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点分别是的中点，求下列向量的点分别是的中点，求下列向量的数量积：数量积：ABCDaEFG、ABADDC、(1)(2)(3)AB ACAD DBGF AC ；(4)(5)(6).EF BCFG BAGE GF ；GFEABCD 课堂小结课堂小结1正确分清楚空间向量的夹角。正确分清楚空间向量的夹角。2两个向量的数量积的概念、性质两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。和计算方法。
