1、第四章 圆与方程圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点；2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的 位置和半径的大小；（重点）3.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程；（难点）4.初步学会运用圆的方程来解决某些实际应用问题。情境导入学习目标222()()xaybr ,ab圆的标准方程的形式是怎样的？其中圆心的坐标和半径各是什么？r复习回顾（1）配方得22(1)(2)4xy此方程表示以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆。思考：方程 表示什么图形？方程 表示什么图形？222410 xyxy222460 xyxy22(1)(2)1 xy（2）配方得此方程不表示任何图形课堂
2、探究探究：方程在什么条件下表示圆？配方可得：把方程（1）当时，方程表示以为圆心，为半径的圆。没有实数解，它不表示任何图形。（2）当时，方程只有一解它表示一个点（3）当时，方程结构特征：（1）x2和y2系数相同，都不等于0；（2）没有x y这样的二次项。提升总结标准方程：图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径；一般方程：突出了代数方程的形式结构，是关于x,y 的二元二次方程 （1）x2和y2系数相同，都不等于0；（2）没有xy这样的二次项。思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？例1 下列方程各表示什么图形?22(1)0 xy22(2)2460 xyxy222(3)20 xyaxb（1
3、）原点(0,0)。答案：（3）当 时，圆心为 ，半径为 的圆。当 时，表示一个点(0，0)。解：设圆的方程为220,xyD xE yF把点 的坐标代入得方程组12(0,0),(1,1),(4,2)OMM0,20,42200,FDEFDEF解这个方程组得8,6,0DEF 故所求圆的方程为22860 xyxy因此所求圆的圆心为(4,3),半径长为221452DEF并求出这个圆的半径长和圆心坐标。例2 求过三点的圆的方程，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤：（2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；（1）根据题意，选择一般方程或标准方程；（3）解出a,b,r或D,E,F，代入一般方程或
4、标准方程。提升总结圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=_。223 1424d334 变式训练【解析】x2+y2-2x-4y+4=0,(x-1)2+(y-2)2=1。圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0的距离答案：3例3 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A.yx.O.（-1，0）B(4,3)M(x,y)A分析：如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动点A的坐标满足方程22(1)4xy建立点M的坐标与点A的坐标之间的关系，就可
5、以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。.解：设点M的坐标是设点A的坐标是(,),x y00(,)xy。由于点B的坐标是(4,3),且点M是线段AB的中点，所以0043,22xyxy；于是有0024,23(1)xxyy。所以点A的坐标满足方程因为点A在圆 上运动，22(1)4xy22(1)4xy即2200(1)4(2)xy把（1）代入（2）得22(241)(23)4xy整理得2233()()122xy所以点M的轨迹是以 为圆心，半径长为1的圆。33(,)22动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()(A)(x+3)2+y2=4 (B)(x-3)2+
6、y2=1 (C)(2x-3)2+4y2=1 (D)(x+)2+y2=变式训练【解析】设中点M(x,y)，则动点A(2x-3，2y)A在圆x2+y2=1上，(2x-3)2+(2y)2=1，即(2x-3)2+4y2=1C课堂训练2方程x2+2xy+y2+x+y2=0表示的曲线是（）（A）两条相交直线 （B）两条平行直线（C）不是圆也不是直线 （D）圆B1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是()(A)a-2或 (B)-a0(C)-2a0 (D)-2a【解析】方程表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,。D3如图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，
7、高为3，求这个等腰梯形的外接圆方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长。求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程22222()()0)xaybrxyD xEyF设 方 程 为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）几何方法待定系数法课堂小结1.任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆,只有在D2+E2-4F0时，才表示圆心为 ,半径为 的圆。)2,2(EDFEDr421222.利用待定系数法求圆的方程，对于已知条件容易求出圆心坐标和半径或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程。
