1、第五章 总成本和收益的计算目目 录录C O N T E N T S1 1总收入计算问题及解决方案总收入计算问题及解决方案2 2使用使用MathStudioMathStudio讨论总量问题讨论总量问题3 3进一步学习的数学知识进一步学习的数学知识:积分及其应用积分及其应用Problems and Solutions of General IncomeUsing MathStudio to Discuss Total Amount ProblemsFurther mathematics knowledge:Integral and Its Application总收入计算问题及解决方案总收入计算问
2、题及解决方案Problems and Solutions of General Income1一、问题引入已知销售某产品 x 件的边际收入是()10050 xr x (元/件)且 x=0 时，总收入为 0 元。求销售 1000件时的总收入。设销量为 x 时的总收入为 R(x)解解引例引例原函数定义原函数定义则称函数则称函数 F(x)为为 f(x)在区间在区间 I 上的一个原函数上的一个原函数。sin xsin+4xsin+4x例如例如一、问题引入回到引例回到引例 2100.100 xR xx 将将 代入上式得代入上式得,即得即得211(100)10010050 xxCx 21()100100R
3、 xxxC ()10050 xr x (元元/件件)函数函数 r(x)的一的一个特定原函数个特定原函数C 取不同值，得到函取不同值，得到函数数 r(x)的不同原函数的不同原函数全体原函数全体原函数不定积分不定积分一、问题引入任意常数任意常数被积表达式被积表达式积分号积分号1.1.不定积分的定义不定积分的定义函数函数 F(x)是是 f(x)的一个原函数，那么的一个原函数，那么 f(x)的全体原函数的全体原函数 F(x)+C 称为称为 f(x)的的不定积分，记为不定积分，记为 ，即即 ()()fx d xFxC二、不定积分与基本积分法被积函数被积函数积分变量积分变量2()2xx 22 dx xxC
4、(sin)cosxx cos dsinx xxC 例例 如如二、不定积分与基本积分法2.基本积分公式基本积分公式1(1)(2)(1);1(3)ln|;(4)(5)(6)cossinln(7)sincos；xxxxxkdxkxCx dxCdxxCe dxeCxaa dxCxdxxCaxdxxC 二、不定积分与基本积分法例例1求下列不定积分解解22(1)dxxC341(2)4x dxxC32522(3)5x dxxC331(4)dxx dxx221122xCCx 323231(1);(2);(3);(4)dxx dxx dxdxx 二、不定积分与基本积分法3.3.不定积分的运算法则不定积分的运算法
5、则线性性质线性性质微分和积分互为逆运算微分和积分互为逆运算性质性质2 性质性质1 性质性质3 性质性质4 二、不定积分与基本积分法解解 原式例例 2 求求-3(453)xxdx=3453x dxxdxdx4245342xxxC 42532xxxC=3453x dxxdxdx4.直接积分法直接积分法二、不定积分与基本积分法注意：分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可.例例 3 求求解解 原式43cosxexdxx=13 cos4xe dxxdxdxx=-+=-+3sin4lnxexxC二、不定积分与基本积分法5.不定积分应
6、用不定积分应用设 F(t)：t 月时的客户数又已知 F(0)=5000,所以C=5000所以F(16)=21960(户)注意注意:复杂的不定积分问题，复杂的不定积分问题，我们可以借助软件求解我们可以借助软件求解 TeleCable网络视频公司估计其客户数以每月人的速率增长，其中t 表示自开播以来的月数.且已知一开播就有5000位客户,求开播16个月后的客户数?例例 4解解3/4()100210f tt/()()()3 4100210F tf t dttdt/()7 41001205000F ttt()()F tf t二、不定积分与基本积分法三、定积分下面橙色图形的面积如何求？下面橙色图形的面积
7、如何求？1.引例引例A)(xfy)(xgy 1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积问 题 分 析问 题 分 析曲边梯形的面积问题曲边梯形的面积问题转化转化上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即三、定积分1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积问 题 分 析问 题 分 析什么是曲边梯形？什么是曲边梯形？曲边梯形曲边梯形是由是由连续曲线连续曲线与与三条直线三条直线所围成的平面图形。所围成的平面图形。?A?A?Ab?Abb三、定积分STEP4 取极限取极限解 决 步 骤解 决 步 骤STEP1 分割分割 STEP2 近似代替近似代替STEP3 求和求和
8、112(1,2,)=max,iiinxxxinxxx，()(1,2,)iiiAf Cxin11().nniiiiiAAf Cx01lim()niiiAf Cxix2x1x1ixbaiC1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积三、定积分积 分 和积 分 和被 积 表 达 式被 积 表 达 式2.定积分的定义定积分的定义baxxfd)(01lim()niiifx积分下限积分下限积分上限积分上限积分积分变量变量被积函数被积函数nxxx.,max21三、定积分0102()0,()dbaf xf xxA定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积；定积分的值等于曲边梯形面积的定积分的值等于曲边梯形面积
9、的负值负值.()0,()dbaf xf xxA3.定积分的几何意义定积分的几何意义三、定积分利用定积分的几何意义求利用定积分的几何意义求画出图形解解例例 5 5314xdx 31xdx显然,阴影部分面积()13242A根据定积分的几何意义,有曲线 与直线 以及 轴所围成的图形如图所示.yx,13xxx三、定积分四、牛顿-莱布尼茨公式求销售第求销售第 1001 件到第件到第 2000 件时所增加的收入件时所增加的收入.R(2000)R(1000)20001000()R x 解解引例引例()10050 xr x 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式 aFbFdxxfxFbaba四、牛顿-莱布尼茨公式
10、例例 6 求定积分求定积分解解31xdx=3231112xdxx212xdxxC例例 7 计算计算解解0(3cos5)xdx 00(3cos5)(3sin5)xdxxx (3cos5)xdx3sin5xxC505()2213142四、牛顿-莱布尼茨公式解解例例 8已知已知 求求 自自 至至 的变化量的变化量.()231215f ttt ()f t0t 1t 由变化量公式()()()1010ffft dt ()321061520ttt ()12031215ttdt 四、牛顿-莱布尼茨公式已知生产某产品已知生产某产品q单位时的边际收入为单位时的边际收入为R(q)=100-2q(元元/单位单位),)
11、,并且假定在没有生产产品的时候并且假定在没有生产产品的时候,总收入为零总收入为零.求生产求生产40个单位产品时的总收入及平均收入个单位产品时的总收入及平均收入,并求再生产并求再生产20个个单位时所增加的总收入单位时所增加的总收入.生产40个单位产品的总收入例例 9解解()()()()4040004001002RRR q dqq dq()24001002400qq元四、牛顿-莱布尼茨公式3.牛顿-莱布尼茨公式举例平均收入再增加生产20个产品，总收入增加的量可见,增加生产量,收入不一定会增加.如何安排生产,使得收入最大化,是值得重视的问题.()()=-40024006040 040RR元()()(
12、)=6040604010020RRq dq元使用使用MathStudio讨论总量问题讨论总量问题Using MathStudio to Discuss Total Amount Problems2一、使用MathStudio求积分继续讨论例继续讨论例 9,下面介绍例下面介绍例 9的的MathStudio求解过程求解过程.第一步：第一步：打开打开MathStudio，单击，单击【Catalog】，并选择，并选择Integrate函函数，如图数，如图5-3所示所示.图图5-3 选择定积分函数选择定积分函数一、使用MathStudio求积分第二步：第二步：Integrate函数中输入被积函数，变量，
13、下限，上限，并单击函数中输入被积函数，变量，下限，上限，并单击【Solve】按钮，可得生产】按钮，可得生产40个单位产品时的总收入为个单位产品时的总收入为2400元，如图元，如图5-4所示所示 图图5-4 生产生产40个单位产品时的总收入个单位产品时的总收入一、使用MathStudio求积分 第三步：第三步：在输入栏中输入在输入栏中输入“2400/40”可得每单位的平均收入为可得每单位的平均收入为 60元元.图图5-5 每单位产品的平均收入每单位产品的平均收入一、使用MathStudio求积分第第四四步：步：如果再增加生产如果再增加生产20个单位，即积分区间为个单位，即积分区间为 40,60，
14、在输入栏中输，在输入栏中输入入“Intergate(100-2*x,x,40,60)”并单击【并单击【Solve】可得总收入增加量为】可得总收入增加量为0，如图如图5-6所示所示.图图5-6 生产量增加时的总收入增加量生产量增加时的总收入增加量一、使用MathStudio求积分例例 10 10 计算不定积分计算不定积分.第一步：第一步：打开打开MathStudio，向左滑动数字键盘，并单击不定积分符号，如图，向左滑动数字键盘，并单击不定积分符号，如图5-7所示所示.图图5-7 选择不定积分函数选择不定积分函数2sinxxe dx一、使用MathStudio求积分第二步：第二步：单击键盘上的单击
15、键盘上的sin和和exp按钮输入被积函数和积分变量，并单击按钮输入被积函数和积分变量，并单击【Solve】按钮，如图】按钮，如图5-8所示所示.图图5-8 计算结果计算结果经计算可得经计算可得222cos2sinsin55xxxxexexe dxC 二、总成本函数问题典型问题典型问题1 已知边际成本已知边际成本 (美元美元/台台)x 表示日生产量表示日生产量,C(0)=800 (美元美元/天天)(1)C(x)(1)求求 C(x)解解(2)求求 C(300)(3)求求 C(300)C(200)(2)C(300)=0.000 1(300)30.06(300)2+20(300)+800=4100(美
16、元)C(x)=0.0001x30.06x2+20 x+800.(1)求求 C(x)(2)求求 C(300)(3)求求 C(300)C(200)典型问题典型问题1 已知边际成本已知边际成本 (美元美元/台台)x 表示日生产量表示日生产量,C(0)=800 (美元美元/天天)二、总成本函数问题解解()()()3300200CC 3002002(0.00030.1220)xdxx=()()300300200200C xC x dx =900(美元)三、总收益函数问题()()RxRx dx 已知边际收入函数已知边际收入函数其中其中 x 是销售量是销售量()0.00912(/)R xx 单单位位：美美元
17、元 块块典型问题典型问题2 (1)求求R(x)R(x)（1）(2)求出需求函数求出需求函数(销售数量和销售单价的关系销售数量和销售单价的关系)故所求需求函数为于是得（2）解解四、需求与供给函数问题典型问题典型问题3 已知需求已知需求 q是价格是价格 p的函数的函数,边际需求函数边际需求函数其中最大需求量是其中最大需求量是 100，求，求 q(p)又因为又因为 q(0)=100,所以所以解解五、资本现值的相关问题典型问题典型问题4 现对某企业给予一笔投资现对某企业给予一笔投资 A,经测算经测算,该企业在该企业在 T 年中可年中可以按每年以按每年 a 元的均匀收益率获得收入元的均匀收益率获得收入,
18、若年利率为若年利率为 r,试求试求:(1)(1)该投资纯收入的贴现值该投资纯收入的贴现值;(2)(2)收回该笔投资的时间是多长收回该笔投资的时间是多长?dtaeyTrt0借助借助MathStudio,求得求得rTeray1解解故投资所获得的纯收入的贴现值为1rTaRyAeAr(1)因收益率为因收益率为a,年利率为年利率为r,故投资后的故投资后的T 年的总收入的现值为年的总收入的现值为五、资本现值的相关问题AerarT1(2)收回投资即总收入的现值等于投资收回投资即总收入的现值等于投资.AraarTln1得由例如 若对某企业投资 A=800万元,年利率 r=5%,设在20年中的均匀收益率 a=2
19、00万元/年,则投资回收期为由此可知,该投资在20年内可得的纯利润约为1728.48万元,投资回收期约为4.46年.1200ln0.05200800 0.05T=20ln1.254.46(年)进一步学习的数学知识：进一步学习的数学知识：积分及其应用积分及其应用Further mathematics knowledge:Integral and Its Application3一、不定积分的积分法1.1.直接积分法直接积分法.利用积分基本公式和性质，同时结合一些技巧利用积分基本公式和性质，同时结合一些技巧(如合并，去分母，加如合并，去分母，加一个量减一个量，公式恒等变形等一个量减一个量，公式恒等
20、变形等)求不定积分的方法叫做求不定积分的方法叫做直接积分法直接积分法.例例10 求不定积分求不定积分dxexx2解解=2(2)xxxe dxedx例例11 求不定积分求不定积分dxx2sin2解解=21cossin22xxdxdx=sin2xxC(2)ln2xeCe一、不定积分的积分法 2 2换元积分法换元积分法利用直接积分法可以求出一些简单的不定积分，但对于较复杂的积分，必利用直接积分法可以求出一些简单的不定积分，但对于较复杂的积分，必须设法将它变形，使其成为能利用基本积分公式进行求解须设法将它变形，使其成为能利用基本积分公式进行求解.下面介绍求不定下面介绍求不定积分的常用方法之一：积分的常
21、用方法之一：换元积分法换元积分法.()d()f xxF xC()d()f uuF uC定理定理5.2 5.2 如果如果则则()ux其中其中 是是 x 的任意一个可导函数的任意一个可导函数1.1.第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法）凑微分法）d()()fxxx d()()fxx ()()d()().uxxuf uuF uCFxC 回回代代换换元元()=()=凑微分凑微分 第一换元积分法第一换元积分法步骤步骤一、不定积分的积分法例例12 求不定积分求不定积分cos2 dx x1cos2 dcos2 d(2)2x xxx221cos d21sin21sin2.2xuuxu uuCxC令回代解解一
22、、不定积分的积分法例例13 求不定积分求不定积分解解dxx10)12(dxx10)12(ux12duu1021Cu11211112 xu.)12(22111Cx一、不定积分的积分法例例14 求不定积分求不定积分解解.231dxxdxx 231ux 23duu121Cu ln21xu23.23ln21Cx 一、不定积分的积分法()d()d()()()d()df x xfttftt tg tt2.第二换元积分法第二换元积分法第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，后者用的是代第二类换元积分法与第一类换元积分法正好相反，后者用的是代换换 ，而前者则是，而前者则是 ，变化的过程是，变化的过程是()
23、xu()xt 一、不定积分的积分法例例15 求不定积分求不定积分解解d2xxx2xt22xt令d2 dxt t则 ，222d2 d2(2)d2xtxt ttttx32(2)3ttC2(4)23xxC一、不定积分的积分法例例16 求不定积分求不定积分解解令则31dxxx6(0)xtt3253,d6 dxtxtxtt5332316dd6d1ttxtttttxx32(1)116d6(1)d11ttttttt 326(ln1)32ttttC 3662366ln(1)xxxxC设函数 uu x 与与 v v x 具有连续导数，由两个函数乘积的导数公式 uv uvuv 移项，得 uvuv uv.两边积分得
24、 uvdxuv dxvudx uvvudx.即uvdxuvvudx.上述公式叫作分部积分公式.3.分部积分法分部积分法一、不定积分的积分法一、不定积分的积分法例例17 求不定积分求不定积分解解令xdxxcos,cossin,uxxdxdxdvcossinsinsinsincos.xxdxxdxxxxdxxxxC一、不定积分的积分法例例18 求不定积分求不定积分解解令dxexx2dvdedxexuxx,2xxdexdxex22dxxeexxx22xxxdeex22.)(22Cexeexxxx二、定积分的积分法定积分的积分法其本质仍然是换元积分法和分部积分法定积分的积分法其本质仍然是换元积分法和分
25、部积分法.在这里我在这里我们可以简单地处理们可以简单地处理.第一步：第一步：求定积分所对应的不定积分求定积分所对应的不定积分;第二步：第二步：代入牛顿代入牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.例例19 求定积分求定积分解解因为22121.x xdx221x xdx3222221(1)(1)3xd xxC32222211221(1)2 33x xdxx二、定积分的积分法例例20 求定积分求定积分解解因为exdx1lnlnlnlnlnxxxdxxxdxxxC11ll1nn)=(eexxdxx x二、定积分的积分法三、微元法及其应用1.微元法微元法(1)近似代替近似代替(2)取极限取极限badxxf)(A
26、dxxfdA 图5-4yfx)dx（1）由曲线由曲线 y=f(x),y=g(x)与直线与直线 x=a,x=b 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积 dxxgxfdxxgdxxfAbababa)()(三、微元法及其应用（2）由曲线由曲线 与直线与直线 y=c,y=d,x=0 所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积.dcdyyA三、微元法及其应用()()0)xyy dcdyyyA)(（3）由曲线由曲线 且且 与直线与直线 y=c,y=d 所围成的所围成的平面图形的面积平面图形的面积.(),()xyxy()()yy三、微元法及其应用例例21 计算由抛物线计算由抛物线 ,所围成的面积所围
27、成的面积.解解由图5-7解方程组2xy 2yx 图图5-75-722,.yxxy得两交点坐标为(0,0)和(1,1)120130()211().333Axxdxx xx三、微元法及其应用一般地，求解面积问题的步骤为：一般地，求解面积问题的步骤为：(1)(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限；作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限；(2)(2)写出积分公式；写出积分公式；(3)(3)计算定积分计算定积分三、微元法及其应用三、微元法及其应用xoy22yx4yx248(8,4)(2,2).4,22xyxy解解 2,8,2,4.xxyy 4422322111(4)418.226Ayydy
28、yyy例例22 求由抛物线求由抛物线 与与 所围成的面积所围成的面积.22yx-4yx解解 xoy12222byax22.byaxa 22byaxa例例23 23 求椭圆求椭圆 的面积的面积.22221xyab2204abAax dxa2204=.abax dxa2022022cos4cos4tdtabtdtaabAsin,xatcos,dxatdt令则.2t当 时，；当 时0 x0txa三、微元法及其应用特别，当 a=b=r 时，得圆的面积公式：2.Ar22204cosbAatdta20=2(1cos2)abt dt2204cosabtdt201=2sin2.2ab ttab三、微元法及其应用本章结束
