1、第四章 经济函数的最优化分析目目 录录C O N T E N T S1经济函数的最值问题及解决方案经济函数的最值问题及解决方案Optimization of Economic Function2使用使用 MathStudio 讨论极值问题讨论极值问题Using MathStudio to Discuss Extremum Problem3进一步学习的数学知识：导数的应用进一步学习的数学知识：导数的应用Further mathematics knowledge：Applications of Derivatives经济函数的最值问经济函数的最值问题及解决方案题及解决方案Optimization
2、of Economic Function1一、问题引入 (2)在商品不积压在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下且不考虑其他因素的条件下,销售价格为多少时销售价格为多少时,才能使才能使每月获得最大利润每月获得最大利润?每月的最大利润是多少每月的最大利润是多少?进货成本：进货成本：16元元/件件销售单价：销售单价：小于或等于小于或等于32元元/件件经验：经验：售价售价20元元/件，销量件，销量360件件售价售价25元元/件，销量件，销量210件件假定假定：每月销售件数每月销售件数 y(件件)是价格是价格 x (元元/件件)的一次函数的一次函数.(1)求求 y 与与 x 之间的函数关系式之间的函数
3、关系式;案例：案例：解得解得则则(2)总利润总利润 L=总收益成本总收益成本显然显然,当当 时时,L有最大值有最大值.(1)设设,则则解解 最大利润为最大利润为1920元元.答：销售价格答：销售价格:24元元/件件,利润最大利润最大,一、问题引入 定义定义4.1 f(x)在在 x0 附近有定义附近有定义,任取任取x(x x0)(1)若若 ,则称则称 是是 的一个的一个极大值极大值.(2)若若 ,则称则称 是是 的一个的一个极小值极小值.极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点使函数取得极值的点,称为称为函数的极值点函数的极值点.如图如图:f(x0),f(x2),f(
4、x4)为极大值为极大值如图如图:f(x1),f(x3),f(x5)为极小值为极小值(1)极值是函数的局部性质极值是函数的局部性质,极大值可能比极小值小极大值可能比极小值小，如，如 f(x2)f(x5).(2)如果函数在极值点如果函数在极值点x0处可导处可导,则有则有 .二、函数的极值与最值 1.1.函数的极值函数的极值定理定理4.1(极值的必要条件极值的必要条件)设函数设函数在点在点处可导处可导,且在点且在点处取得处取得极值极值,那么那么 .注意：连续函数注意：连续函数f(x)的可能极的可能极值点只能是其值点只能是其驻点驻点或或不可导点不可导点通常，使函数通常，使函数的导数值等于的导数值等于0
5、的的驻点驻点.的的点点 称为函数称为函数反之不成立反之不成立.二、函数的极值与最值 1.1.函数的极值函数的极值(1)由负变正由负变正 ,那么那么 f(x)在点在点 x0 处取得处取得极小值极小值;定理定理4.2(极值存在的充分条件极值存在的充分条件)设函数设函数 f(x)在点在点 x0 处连续处连续,在点在点 x0的某一空的某一空心邻域内可导心邻域内可导.当当 x由小到大经过点由小到大经过点 x0 时时,如果如果(2)由由正正变变负负 ,那么那么 f(x)在点在点 x0 处取得处取得极极大大值值;(3)不变号不变号 ,那么那么点点 x0不是极值点不是极值点.(1)(2)(3)(曲线由递减变为
6、递增曲线由递减变为递增)(曲线由递增变为递减曲线由递增变为递减)(曲线增减性不变曲线增减性不变)二、函数的极值与最值 1.1.函数的极值函数的极值例例4.1 求函数求函数的极值的极值.,得驻点得驻点 .令令 解解 函数函数的定义域为的定义域为(-,+),x(,1)1(1,3)3(3,+)f(x)+00+f(x)73由定理由定理4.2可知可知:f(1)=7为函数为函数 f(x)的极大值的极大值 f(3)=3为函数为函数 f(x)的极小值的极小值二、函数的极值与最值 1.1.函数的极值函数的极值求函数最值的方法求函数最值的方法:区间区间(a,b)内的内的极值点极值点或或区间端点区间端点是连续函数是
7、连续函数f(x)在区间在区间a,b上可能的最值点上可能的最值点.(1)找出三类点找出三类点:驻点、函数驻点、函数 f(x)导数不存在的点和区间端点导数不存在的点和区间端点.(2)计算这三类点的函数值计算这三类点的函数值，得，得最大值：最大值：最小值：最小值：二、函数的极值与最值 2.2.函数的最值函数的最值情形一:闭区间上连续函数的最值令令,得驻点得驻点.且且例例4.2求函数求函数在在上的最大值和最小值上的最大值和最小值.在区间在区间 上连续上连续,因为因为,解解 函数函数比较可得函数比较可得函数的最大值为的最大值为,最小值为最小值为二、函数的极值与最值 2.2.函数的最值函数的最值(1)当当
8、 f(x)在在a,b内只有内只有一个可能极值点一个可能极值点时时,(2)当当 f(x)在在a,b上上单调单调时时,最值必在最值必在端点处端点处达到达到.若在此点取极大若在此点取极大 值值,则也是最大则也是最大 值值.(小小)(3)对应用问题对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可能极值点有时可根据实际意义判别求出的可能极值点是否为最大值点或最小值点是否为最大值点或最小值点.(小小)二、函数的极值与最值 2.2.函数的最值函数的最值情形二:实际问题型例例4.3 一个厂商的近期生产函数为一个厂商的近期生产函数为 ，其中，其中Q表示产量，表示产量，L表示表示劳动投入量，试求产量的最大值劳动投入量，
9、试求产量的最大值.二、函数的极值与最值 2.2.函数的最值函数的最值三、经济函数的最值 对于经济学中的大多数例子，局部极大对于经济学中的大多数例子，局部极大(小小)值点和全局最大值点和全局最大(小小)值点是一致值点是一致的，即对于任意的经济函数的，即对于任意的经济函数 在点在点 处满足处满足 ，则，则 在点在点 处处处取得最大处取得最大(小小)值的判别方法一般有两种值的判别方法一般有两种:()f xx0()fx00()f xx0三、经济函数的最值得唯一驻点得唯一驻点 .解解 总收益总收益 ，例例4.4 设每日生产某产品的总成本函数为设每日生产某产品的总成本函数为产品单价为产品单价为60元元,每
10、日产量为多少时可获得最大利润每日产量为多少时可获得最大利润?因为因为令令 ，即即 ，(元元).).所以所以,当日产量为当日产量为 时，总利润最大时，总利润最大.根据问题的实际意义根据问题的实际意义,总利润最大值一定存在总利润最大值一定存在.三、经济函数的最值如果平均成本函数如果平均成本函数 可导可导,假设某种产品的总成本为假设某种产品的总成本为C(Q),一般讨论一般讨论单位成本单位成本(即平均成本即平均成本)最小的问题最小的问题.生产的平均成本为生产的平均成本为则要使则要使 最小最小,产量产量Q须须满足条件满足条件即即上式表明：上式表明：产出的边际成本等于平均成本时产出的边际成本等于平均成本时
11、,平均成本最小平均成本最小.三、经济函数的最值例例4.5 设某产品的总成本函数为设某产品的总成本函数为 ，2.最小成本问题试求平均成本最小时的产量试求平均成本最小时的产量.令令 ,得得,(舍去舍去 ),解解因为因为所以所以,当产量当产量 Q=3 时可使时可使平均成本最小平均成本最小.使用使用 MathStudio 讨论讨论极值问题极值问题Using MathStudio to Discuss Extremum Problem2一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低典典型问题型问题1 天虹彩电为了在市场竞争中以价格优势抢占市场份额天虹彩电为了在市场竞争中以价格优势抢占市场份额,在集团内实在集团内
12、实施施“以平均成本最低为目标以平均成本最低为目标”的经营策略的经营策略,根据以往的统计资料根据以往的统计资料,生产总成本生产总成本C(单位单位:百万元百万元)是月产量是月产量Q(单位单位:万台万台)的函数的函数.问问:月产量应为多少台月产量应为多少台,才能实现平均成本最低的目标才能实现平均成本最低的目标?每台彩电的平均成本为多每台彩电的平均成本为多少元少元?解决方案解决方案本例以平均成本函数为目标函数，由总成本函数得平均成本函数为本例以平均成本函数为目标函数，由总成本函数得平均成本函数为第一步：求导数。在第一步：求导数。在MathStudio命令框中输入命令框中输入一、以价格优势抢占市场份额平
13、均成本最低如下图所示一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低第三步：画图。单击【Plot】，并在绘图函数中输入需绘图的函数：再次单击【Plot】可画出函数图像，在图上双击，可得函数图像如图4-5所示图4-5一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低一、以价格优势抢占市场份额平均成本最低二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化典型问题典型问题2 爱心牌衬衣爱心牌衬衣,若定价为每件若定价为每件50元元,一周可售出一周可售出1000件件,市场调查显示市场调查显示,每每件售价每降低件售价每降低2元元,一周的销售量可增加一周的销售量可增加100件件.问问:每件售价定为多少元时每件售价定为多少元时,
14、能使商家的销售额最大能使商家的销售额最大,最大销售额是多少最大销售额是多少?由上式，当P=0时，Q=2500，即因降价最多可销售2500件。这时，总收益函数为售价与销售件数的乘积，即二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化第一步：求导数。在MathStudio命令框中输入图4-6二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化图图4-7二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化图4-8二、薄利多销以使收益最大化二、薄利多销以使收益最大化三、确定组团人数以使旅行社利润最大典型问题典型问题3 3 某旅行社举办风景区旅行团
15、某旅行社举办风景区旅行团,若每团人数不超过若每团人数不超过3030人人,飞机票每张收飞机票每张收费费900900元元;若每团人数多于若每团人数多于3030人人,则给予优惠则给予优惠,每多每多1 1人人,飞机票每张收费减少飞机票每张收费减少1010元元,直至每张飞机票收费降到直至每张飞机票收费降到450450元为止元为止.每团乘飞机每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机旅行社需付给航空公司包机费费1500015000元元.问问:每团人数为多少时每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润旅行社可获得最大利润?最大利润为多少最大利润为多少?解决方案解决方案 这是求利润最大值问题这是求利润最大值问题,依题意
16、依题意,对旅行社而言对旅行社而言,机票收入是收益机票收入是收益,付给航空公付给航空公司的包机费是成本司的包机费是成本.三、确定组团人数以使旅行社利润最大第一步：求导数。在第一步：求导数。在MathStudio命命令令框框中分中分布输布输入入三、确定组团人数以使旅行社利润最大图4-9第二步：画图。单击【第二步：画图。单击【Plot】并在绘图函数中输入如下命令：】并在绘图函数中输入如下命令：再次单击【再次单击【Plot】，可画出函数图像如图】，可画出函数图像如图4-10图4-10三、确定组团人数以使旅行社利润最大图4-11在图上双击，可得函数图像如图在图上双击，可得函数图像如图4-11所示所示三、
17、确定组团人数以使旅行社利润最大进一步学习的数学知识：进一步学习的数学知识：导数的应用导数的应用Further mathematics knowledge：Applications of Derivatives3一、洛必达法则一、洛必达法则）或()()(lim)()(lim00Axgxfxgxfxxxx则则一定条件下，通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则洛必达法则.一、洛必达法则说明(1)定理4.3中自变量的变化趋势换成 如果定理其他相应条件都满足，则洛必达法则仍成立.,00 xxxxxxx,(2)如果 当 时仍属于 型（型），这时函数 仍满足定理的条件，则可以
18、继续使用洛必达法则，即()()fxg xxx000)(),(xgxf()()()limlimlim.()()()000 xxxxxxf xfxfxg xg xgx型未定式型未定式和和0 00 0(1).(1).一、洛必达法则一、洛必达法则型型(2 2)其其它它类类型型的的未未定定一、洛必达法则一、洛必达法则一、洛必达法则二、函数的凸凹性及拐点 函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，而曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题.如图4-12表明，曲线AB和CD都是上升的，可是曲线AB是上凸的曲线，曲线CD是上凹的曲线，图4-13表明，曲线AB和CD都是下降的，可是曲线AB是下凸的
19、曲线，曲线CD是下凹的曲线.因此，研究曲线的凸凹性，对于准确地描绘函数图形具有重要意义.观察以上两图可知：凡呈凸形的曲线段，其切线总位于曲线的上方；凡呈凹形的曲线段，其切线总位于曲线的下方.定义4.2若曲线段位于该曲线上任何一点切线的上方（或下方），则称曲线段是凹的（或凸的），此区间称为凹区间（或凸区间）.二、函数的凸凹性及拐点二、函数的凸凹性及拐点二、函数的凸凹性及拐点(-,0)0(0,1)1(1,+)+00+10二、函数的凸凹性及拐点1.二元函数的极值二元函数的极值 在一元函数中，利用函数的导数可以求得函数的极值.从而解决了一些最值的应用问题.在多元函数中也有类似的结果。三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值2.二元函数的最值二元函数的最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值三、二元函数的极值与最值3.二元函数的极值与最值为了使得总利润最大，解方程组本章结束
