1、第三章 边际成本和收益的计算目目 录录C O N T E N T S1边际成本问题及解决方案边际成本问题及解决方案2使用使用MathStudio讨论边际问题讨论边际问题3进一步学习的数学知识：微分法进一步学习的数学知识：微分法Marginal cost problems and SolutionsUsing Mathstudio to discuss marginal issuesFurther mathematics knowledge:differential method1边际成本问题及边际成本问题及解决方案解决方案Marginal cost problems and Solutions
2、一、问题引入引 例引 例 秋收季节，一农妇到田间拾麦穗，第一天能拾回10斤麦穗，以后每天拾到的麦穗会越来越少.假设每天都少拾回1斤麦穗，而农妇每天需要多消耗的麦穗为2斤，那么什么时候就不应该再去拾麦穗了？到第9天的时候，农妇拾回的麦穗数量为2斤，预计第10天时她拾回的麦穗数量为1斤，少于她多消耗的麦穗数量，所以第10天农妇就不应该去了.经济学中，将1斤称为农妇第10天拾麦穗的边际收益.【问题分析问题分析】二、边际成本问题及解决方案 解解 例例3.1我们以成本函数我们以成本函数 为例，考查产量为例，考查产量21()10100C QQ 010Q020Q第一步：第一步：求求 C(10)(10)CCQ
3、C 22(10)1010(10)100100Q 2110020()100100QQ 2()5100QQ（1）在）在 处的变化率；处的变化率；（2）在）在 处的变化率。处的变化率。二、边际成本问题及解决方案第二步：第二步：求平均变化率CQ (10)(10)CCQCQQ 2()5100QQQ 15100Q 0011limlim=51005QQCQQ （）第三步：第三步：求极限，当 无限趋近0时，函数 的值无限趋近 ，即 Q 15100Q 15所以，成本函数在处的变化率为1521()10100C QQ 010Q 同理，成本函数在处的变化率为2521()10100C QQ 020Q 三、导数的定义及经
4、济意义自变量：自变量：函数值：函数值：0limxyx 1.导数的定义（1）求增量）求增量 :y（2）算比值：）算比值：4yxx （3）取极限：）取极限：002limlim 44xxyfxx 例例3.22()f xx 设函数设函数 ，求，求 .2()f 222224()yxxx 解解 三、导数的定义及经济意义1.导数的定义l 如果函数如果函数 y=f(x)在开区间在开区间 I 内的每点处都可导，内的每点处都可导，就称函数就称函数 f(x)在开区间在开区间 I 内可导。内可导。l 对于任一对于任一 ，都对应着，都对应着()的一个确定的导数值。这个函数就的一个确定的导数值。这个函数就叫做原来函数叫做
5、原来函数()的的 导函数导函数。三、导数的定义及经济意义1.导数的定义(1)求增量求增量 :y(2)算比值：算比值：00yxx (3)取极限：取极限：0lim0 xyyx 例例3.3yc 求常数函数求常数函数 的导数的导数.0y 解解 三、导数的定义及经济意义三、导数的定义及经济意义(1)求增量求增量 :y(2)算比值：算比值：2yxxx (3)取极限：取极限：00limlim(2)2xxyyxxxx 22()()()yf xxf xxxx 例例3.42yx 求函数求函数 的导数的导数y 及在点及在点2x 处的导数值处的导数值2xy22()x xx 即即从而得从而得 22 24xy 2()2x
6、x 解解 12210 23 411567811910()()().()().()()ln.()().()(log).()(ln).ln()(sin)cos.()(cos)sin.()(tan)()(cot).cossinxxxxaCCxxaaaeexxxaxxxxxxxxx为常数三、导数的定义及经济意义三、导数的定义及经济意义定义定义3.3 设生产某种产品的总成本函数为设生产某种产品的总成本函数为 ，当总成本函数可导时，其导，当总成本函数可导时，其导数数 叫做产量为叫做产量为 时的时的边际成本边际成本。定义定义3.4()C Q()C Q Q经济意义经济意义当产量为当产量为 Q 个单位产品时，再
7、个单位产品时，再生产生产一个单位产品，总成本的增量为一个单位产品，总成本的增量为 。()C Q 2.导数的经济意义三、导数的定义及经济意义因为因为所以，产量为所以，产量为100100件时的边际成本为件时的边际成本为0 08().C QQ例例3.5生产某产品生产某产品 件时的总成本函数为件时的总成本函数为求产量为求产量为100件时的边际成本。件时的边际成本。Q25000 04().C QQ(百元百元/件件)(100)0.08 1008C (百元百元/件件)800(元元/件件)（百元），（百元），解解 四、求导法则函数的和、差求导法则函数的和、差求导法则函 数 的 乘 积 求 导 法 则函 数 的
8、 乘 积 求 导 法 则函 数 的 商 求 导 法 则函 数 的 商 求 导 法 则特别地特别地导数的四则运算法则导数的四则运算法则四、求导法则 设设 ，求求例例3.6y 43yx4433(3)()3404yxxxx3(log5cosln2)yxxx例例3.7y 3log5cosln2yxxx设设 ，求，求3()(log)(5cos)(ln2)xxx115sinln32xxx 解解 解解 四、求导法则 设设 ，求求例例3.8y 3lnyxx 333(ln)()ln(ln)yxxxxxxsin(tan)()cosxyxx例例3.9y tanyx 设设 ，求求22222(sin)cossin(co
9、s)coscossinseccosxxxxxxxxx .232213ln3lnxxxxxxx 解解 解解 四、求导法则222222(1)(1)(1)(1)=(1)xxxxyx 例例3.10y 221=1xyx 设设 ，求求222222(1)2(1)24=(1)(1)xxxxxxx 解解 2使用使用MathStudio讨论讨论边际问题边际问题Using Mathstudio to discuss marginal issues一、使用MathStudio求导数求求例例3.112yx 的导数的导数第二步：第二步：回车，显示求导结果为回车，显示求导结果为 2x第一步：第一步：在指令区输入在指令区输入
10、D(x2)，求求 的导数的导数,默认为默认为1 阶阶导数导数2yx 解解 二、边际分析典型案例例例3.12求成本函数求成本函数=32()0.0010.3402000C QQQQ以及产量以及产量Q分别为分别为50、100、200时的边际成本，指出时的边际成本，指出其其经济意义经济意义.的边际成本函数，的边际成本函数，解解 在指令区输入在指令区输入D(0.001Q3-0.3Q2+40Q+2000)233()=4010005C QQQ Q=20.0030.640QQ1.边际成本问题二、边际分析典型案例Q当产量当产量为为50、100、200时的边际成本分别为时的边际成本分别为=2(50)0.003 5
11、00.6 504017.5C=2(100)0.003 1000.6 1004010C=2(200)0.003 2000.6 2004040C经济意义：经济意义：在产量分别为在产量分别为50、100、200的基础上再生产一个单位产品，总成本的增加分别的基础上再生产一个单位产品，总成本的增加分别为为17.5、10、40.二、边际分析典型案例经济意义经济意义当销量为当销量为 个单位产品时，再销售一个单位产品，总收益的增量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总收益的增量为 。Q()R Q 设销售某种产品设销售某种产品 个单位时的总收益函数为个单位时的总收益函数为 。当总收益函数可导。当总收益函数可导时
12、，其导数时，其导数 叫做销量为叫做销量为 时的时的边际收益边际收益.()R QQ()R Q Q定义定义3.52.边际收益问题二、边际分析典型案例（1）边际收益函数为）边际收益函数为()8002QR Q（元台）（元台）（2）销量为）销量为200台时的边际收益为台时的边际收益为200(200)8007002R（元台）（元台）例例3.13销售某商品销售某商品 Q 台的收入函数为台的收入函数为 （元），（元），试求：（试求：（1）边际收益函数；）边际收益函数；（2）销量为）销量为200台时的边际收益。台时的边际收益。28004()QR QQ 解解 二、边际分析典型案例设某产品的收入函数为设某产品的收入
13、函数为 （元），试求：（元），试求：（1）边际收入函数；（）边际收入函数；（2）产量分别为）产量分别为9000、10000、11000台时的边际台时的边际收入，并说明其经济意义。收入，并说明其经济意义。（1）边际收入函数为）边际收入函数为2()2000.01R QQQ（元台）（元台）()2000.02R QQ（2）(9000)2000.02 900020R（元）（元）(10000)2000.02 100000R（元）（元）(11000)2000.02 1100020R（元）（元）增加一个单位产品，收益增加增加一个单位产品，收益增加20元元增加一个单位产品，收益增加增加一个单位产品，收益增加20
14、元元增加一个单位产品，收益减少增加一个单位产品，收益减少20元元例例3.8 解解 二、边际分析典型案例经济意义经济意义当销量为当销量为 个单位产品时，再销售一个单位产品，总利润的增量为个单位产品时，再销售一个单位产品，总利润的增量为 。Q()L Q 设销售某种商品设销售某种商品 个单位时的利润函数为个单位时的利润函数为 。当。当 可可导时，称导时，称 为销售量为为销售量为 个单位时的边际利润个单位时的边际利润()L QQ()L Q Q定义定义3.6()L Q因因()()()L QR QC Q ()()()L QR QC Q 于是可得于是可得即边际利润等于边际收入与边际成本之差即边际利润等于边际
15、收入与边际成本之差3.边际利润问题二、边际分析典型案例边际利润函数为边际利润函数为()25010L QQ25Q(25)0L10Q(10)150L再多生产再多生产1吨，总利润将吨，总利润将增加增加150元元 再多生产再多生产1吨，总利润吨，总利润没有变化没有变化 再多生产再多生产1吨，总利润就要吨，总利润就要减少减少50元元30Q(30)50L 生产决策者不能只盲目生产决策者不能只盲目地追求产量，还需根据地追求产量，还需根据利润的变化情况，确定利润的变化情况，确定适当的产量指标。适当的产量指标。例例3.15 解解 二、边际分析典型案例苹果价格下降的幅度为苹果价格下降的幅度为97100%22.2%
16、9引例引例3.2 由于增加了市场供应，近期的水果价格有所下调由于增加了市场供应，近期的水果价格有所下调.张阿姨去超市张阿姨去超市买水果，发现苹果的价格由原来的每千克买水果，发现苹果的价格由原来的每千克9元下降到每千克元下降到每千克7元，而香蕉的元，而香蕉的价格由原来的每千克价格由原来的每千克8元下降到每千克元下降到每千克6.5元，张阿姨算了一笔账：元，张阿姨算了一笔账：香蕉价格下调的幅度为香蕉价格下调的幅度为86.5100%18.8%84.需求价格弹性分析二、边际分析典型案例价格的相对改变量为价格的相对改变量为 420350100%20%350QQ需求量的相对改变量为需求量的相对改变量为951
17、00100%5%100PP 调价前调价前调价后调价后单价单价需求量需求量单价单价需求量需求量10035095420需求量对价格的需求量对价格的相对变化率为相对变化率为4QPQP 引例引例3.3 某商店对某商品的价格进行了调整，由销售记录可以得到调价前后某商店对某商品的价格进行了调整，由销售记录可以得到调价前后一周单价一周单价 和需求量和需求量 的有关数据的有关数据(见下表见下表).试分析该商品需求量对价格的灵敏试分析该商品需求量对价格的灵敏度度.QP二、边际分析典型案例()yf x0lim/xyxyxx()E x设函数设函数，若极限若极限存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数在点在点
18、处的弹性，记作处的弹性，记作()yf x，即即00()lim/lim()xxyxyxxE xyyxxyy 也称为函数也称为函数的的 弹性函数弹性函数.()E x()yf x定义定义3.7注意注意弹性的计算方法及含义弹性的计算方法及含义:()xE xyy(1)函数弹性的计算公式为函数弹性的计算公式为(2)函数的弹性反映了函数函数的弹性反映了函数 对自变量对自变量 变化的灵敏度，它表示当自变量变化的灵敏度，它表示当自变量 变化变化1%时，函数时，函数 变化变化 .xyxy()%E x二、边际分析典型案例33(100)300 xxyee2()3 26xE x因为因为例例3.163100 xye 2x
19、所以所以33()3003100 xxxxE xyexye2x 时的弹性为时的弹性为 解解 二、边际分析典型案例Q()PfPQ设商品的需求量设商品的需求量是价格是价格的的函数函数：(即需求函数即需求函数)，则称，则称为商品的需求价格弹性，简称需求弹性为商品的需求价格弹性，简称需求弹性.定义定义3.8P()Qf P(1)在当前的价格水平和需求量基础上，如果商品的价格上涨（下跌）在当前的价格水平和需求量基础上，如果商品的价格上涨（下跌）1%，需求量会下降（上升）需求量会下降（上升）%(2)如果如果 ，需求量的下降幅度大于价格的上涨幅度，需求量对价格的，需求量的下降幅度大于价格的上涨幅度，需求量对价格
20、的灵敏度高，这时，我们称该商品的需求富有弹性；如果灵敏度高，这时，我们称该商品的需求富有弹性；如果 ，则称该商，则称该商品的需求缺乏弹性；如果品的需求缺乏弹性；如果 ，则称该商品的需求具有单位弹性；如，则称该商品的需求具有单位弹性；如果果 ，则称该商品的需求完全没有弹性；如果，则称该商品的需求完全没有弹性；如果 ，则称该商品的，则称该商品的需求具有完全弹性需求具有完全弹性.1 1 1 0 经济意义经济意义二、边际分析典型案例10101()800()1010800pppppfpeQe 例例3.1710()800pQf pe 解解 二、边际分析典型案例5(5)0.510 (2)求求 =5、10、1
21、5 时的需求弹性时的需求弹性,并说明其经济意义并说明其经济意义10(10)110 15(15)1.510 表示商品的价格表示商品的价格 时，如果价格上涨时，如果价格上涨1%，需，需求量会下降求量会下降0.5%，此时该商品的需求缺乏弹性，此时该商品的需求缺乏弹性.5p 表示商品的价格表示商品的价格 时，如果价格上涨时，如果价格上涨1%，需，需求量会下降求量会下降1%，此时该商品的需求具有单位弹性，此时该商品的需求具有单位弹性.10p 表示商品的价格表示商品的价格 时，如果价格上涨时，如果价格上涨1%，需，需求量会下降求量会下降1.5%，此时该商品的需求富有弹性，此时该商品的需求富有弹性.15p
22、3进一步学习的数进一步学习的数学知识：微分法学知识：微分法Mathematical knowledge for further study:differential method一、微分的定义设边长为设边长为 的正方形的正方形,当边长增加很小当边长增加很小 的的 时时,其面积近似地增加多少？其面积近似地增加多少？0 xx222000()2()Sxxxxxx 00()2fxx0()sfxx 设正方形的面积为设正方形的面积为 ,面积的增加部分为面积的增加部分为SS2Sx例例3.17 解解 一、微分的定义设函数设函数 在点在点 处可导处可导,则称则称 为函数为函数 在在 点点 处的微分处的微分,记作
23、记作 ,即即此时，也称函数此时，也称函数定义定义3.90 x xdy0()fxx()yf x0 x()yf x0 x00()x xdyfxx()yf x在点在点 处可微处可微.0 x如果函数如果函数 在任意点在任意点 处可导处可导,则称则称 为函数为函数 在点在点 处的微分处的微分,简称函数的微分简称函数的微分,记作记作()fxx()yf xx()yf xx()dyfxx()dyfxdx导数也称微商导数也称微商一、微分的定义4cosyxx 求函数求函数 的微分的微分.例例3.18（1 1）求导数）求导数434(cos)4cossinyxxxxxx（2 2）求微分）求微分34(4cossin)d
24、yy dxxxxx dx23dyx dx 23 10.010.03dy 3yx 设函数设函数 ，求当求当例例3.19 1,0.01xx 时，函数的微分时，函数的微分 和函数的改变量和函数的改变量 .dyy1,0.01xx 当当时时(1.01)(1)yff 331.0110.030301x表明当表明当较小时，较小时，dyy ，这个结论具有一般性，这个结论具有一般性 解解 解解 二、复合函数的导数与微分函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数(),(),()yf uuvvx()()()xuvxyyuvfuvx如果函数如果函数u(x)u(x)在对应
25、点在对应点u(x)处可导，则复合函数处可导，则复合函数u(x)定理定理3.2推 广推 广多 变 量多 变 量二、复合函数的导数与微分,31ux 3yu 函数由函数由复合而成复合而成 设设，求求 .5(31)yx 例例3.20dydx445315(31)dydy duuxdxdu dx,cosux 2yu 函数由函数由复合而成复合而成 设设，求，求 .2cosyx 例例3.21dydx2(sin)2sincossin2dydy duuxxxxdxdu dx 解解 解解 二、复合函数的导数与微分 设设，求，求 .lnsinxye 例例3.22dydx1coscotxxxdydy du dvv ee
26、edxdu dv dxu 设设，求，求 .3221yx 例例3.23 y22322223314(21)(21)(21)(21)33yxxxxx,sinuv lnyu 函数由函数由复合而成复合而成,xve 解解 解解 二、复合函数的导数与微分 设设，求，求 .2sincos2yxx 例例3.24 y22(sin)cos2sin(cos2)yxxxx先用积的求导法则先用积的求导法则,得得,(cos2)x 2(sin)x 在计算在计算时时,用复合函数求导法则用复合函数求导法则,于是于是22sin(sin)cos2sin(sin2)(2)yxxxxxx 21sin42sinsin22xxx 解解 二、
27、复合函数的导数与微分 设设，求，求 .2sin1cosxyx 例例3.25 y222(sin1)cos(sin1)(cos)cosxxxxyx 先用商的求导法则先用商的求导法则,得得2(sin)x 在计算在计算时时,用复合函数求导法则用复合函数求导法则,于是于是2222 coscossin(sin1)cosxxxxxyx 解解 二、复合函数的导数与微分 设设，求，求 .2ln(1)yxx 例例3.26 y222211(1)1(1)11yxxxxxxx222111(1)121xxxx 22121121xxxx211x 解解 二、复合函数的导数与微分 求函数求函数的微分的微分.lnsin8yx 例
28、例3.27 11(lnsin8)sin88cos88cot8sin8sin8yxxxxxx 计算函数的导数计算函数的导数所以微分所以微分8cot8dyy dxxdx 解解 三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数如如2yxln(31)yx是显函数是显函数由方程由方程2225xyln1xyy确定的函数为隐函数确定的函数为隐函数设方程设方程 确定了确定了 关于关于 的函数，并且可导，将方程两边同时对的函数，并且可导，将方程两边同时对 求求导，并将导，并将 看成看成 的函数，便可得到隐函数的导数了的函数，便可得到隐函数的导数了.y(,)0F x y xxyx函数函数 称为显函数，而方程称为显函数，而
29、方程 所确定的函数所确定的函数()yf x(,)0F x y称为称为隐函数隐函数.1.隐函数的导数10yxyyy21yyxy 求由方程求由方程的导数的导数.ln1xyy 例例3.28确定的函数确定的函数()yf x方程两边对方程两边对 求导，得求导，得x解出解出 ，可得函数的导数为，可得函数的导数为y 解解 三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1.隐函数的导数(),(),xttyt 确定了确定了 与与 的关系，则称函数为由上述参数方程所确定的函数的关系，则称函数为由上述参数方程所确定的函数.xy设设 为参数，如果参数方程为参数，如果参数方程t三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.由参
30、数方程所确定的函数的导数于是得到由参数方程所确定的函数的导数计算公式为于是得到由参数方程所确定的函数的导数计算公式为(),()xtyt()0t()xt如果函数如果函数 都可导，且都可导，且 ，又，又 的反函数的反函数 单调连续，则由参数方程所确定的函数可看成单调连续，则由参数方程所确定的函数可看成 与与 复合而成的函复合而成的函数，根据复合函数的求导法则，有数，根据复合函数的求导法则，有1()tx()yt1()tx11()()dydy dtdytdxdxdt dxdttdt()()dytdxt三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数2.由参数方程所确定的函数的导数2()13()2dyy ttd
31、xx tt 由于由于 ，2()2,()1 3x tty tt 例例3.29设参数方程设参数方程，求，求231x ty t t 确定了函数确定了函数()yy xdydx 解解 三、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数所以有所以有如果函数如果函数 的导数的导数 在在 处可导，则称处可导，则称 的导数为函的导数为函数数 的的二阶导数二阶导数，记作，记作()yf xx()yfx()fx()yf xy()0fx22d ydx，或或四、二阶导数 求函数求函数的二阶导数的二阶导数.4yx 例例3.3043()4yxx32(4)12yxx 解解 四、二阶导数 设函数设函数，求，求 .2lnyxx 例例3.31
32、(2)f22()ln(ln)2 lnyxxxxxxx2ln3yx 所以所以(2)2ln23f 解解 五、二元函数的偏导数定义定义3.1000(,)xy二元函数在点二元函数在点 所取得的函数值记为所取得的函数值记为 设有三个变量设有三个变量 和和 ，如果当变量，如果当变量 在一定范围内任意取定一对在一定范围内任意取定一对数值时，变量数值时，变量 按照一定的对应法则按照一定的对应法则 总有唯一确定的数值与它们对应，则称总有唯一确定的数值与它们对应，则称 是是 的二元函数。记作的二元函数。记作 ，其中，其中 称为自变量，称为自变量，称为因变量称为因变量.自自变量变量 的取值范围称为函数的定义域的取值
33、范围称为函数的定义域.f(,)zf x y、xyz、xyzzy、xy、xz00(,)xyz00(,)f xy或或22zxy都是二元函数都是二元函数xyze、x y五、二元函数的偏导数定义定义3.11 设二元函数设二元函数 在点在点(x0,y0)的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，当当(,)zf x y自变量自变量 x 在在 x0 取得改变量取得改变量 保持不变时，函保持不变时，函 0(0)，xxyy数数Z的改变量的改变量 0000(,)(,).xzf xx yf xy 称为函数称为函数 对于对于x的的偏改变量偏改变量。类似地，。类似地，(,)zf x y0000(,)(,)yzf xyyf x
34、y 称为函数称为函数 对于对于y的的偏改变量偏改变量。对于自变量分别从。对于自变量分别从(,)zf x y 0000(,)(,)zf xx yyf xy取得改变量取得改变量，xy，函数，函数 相应的改变量相应的改变量(,)zf x y称为函数称为函数 的的全改变量全改变量(,)zf x y00(,)xy五、二元函数的偏导数定定 义义3.12000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx 存在，则称此极限值为函数在点存在，则称此极限值为函数在点 处对处对x的偏导数的偏导数00(,)x y如果当如果当 时，极限时，极限 0 x，记作，记作 00,xxyyzx 00 xxxyy
35、Z 或或,(,),xxzfxyzx ,(,),yyzfxyzy 或或如果函数在某定义区域如果函数在某定义区域D内每一点处对内每一点处对 (或或 )的偏导数都存在，则称函数在区的偏导数都存在，则称函数在区域域D内对内对 (或或 )的的偏导数偏导数，记作，记作xyxy五、二元函数的偏导数 求函数求函数的偏导数的偏导数235zx y 例例3.32(,),(,)xyfx yfx y ，并求，并求(1,-1),(1,2)xyff 将将 y看成常数看成常数,求函数关于求函数关于 的偏导数，得的偏导数，得x23323(,)(5)5()10 xxfx yx yyxxy 同理，将同理，将 看成常数看成常数,求函数关于求函数关于 y 的偏导数，得的偏导数，得x2322(,)(5)15yyfx yx yx y 所以所以3(1,1)10 1(1)10 xf 22(1,2)15(1)260yf 解解 本章结束
