1、第第五五节节 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程第第八八章章 微分方程微分方程)()()()()(1)2(2)1(1)(xfyxPyxPyxPyxPynnnnn当 为常数时，称为常系数线性微分方程。)(),(),(21xPxPxPnQP,其中 为常数。二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为n 阶线性微分方程(1)0)(xf当 时，称为常系数齐次线性微分方程。0ypyqy(2)定理定理1 如果函数 与 是方程(2)的两个解，那么)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy也是(2)的解，其中 、是任意常数。1C2C)()(22112211 22 11yCyCxQyCyCx
2、PyCyC)()()()(22 2211 11yxQyxPyCyxQyxPyC将(3)式代入(2)式左端，得证证 (3)由于 与 是方程(2)的解，上式右端方括号中的表达式都恒等于零，所以(3)式是方程(2)的解。1y2y叠加起来的解(3)从形式上来看含有 与 两个任意常数，但它不一定是方程(2)的通解。例如，设 是(2)的一个解，则 也是(2)的解。这时(3)式成为 ，可以把它改写成 ，其中 。1C2C)(1xy)(2)(12xyxy)(2)(1211xyCxyCy)(1xCyy 212CCC齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理。这显然不是(2)的通解。那么在什么情况下(3)式才是(
3、2)的通解呢？要解决这个问题，我们还得引入一个新的概念，即所谓函数的线性相关与线性无关。设 为定义在区间 上的 个函数，如果存在 个不全为零的常数 ，使得当 时有恒等式)(,),(),(21xyxyxynInnnkkk,21Ix02211nnykykykIn成立，那么称这 个函数在区间 上线性相关；否则称线性无关。例如，函数 在整个数轴上是线性相关的。因为取 ，就有恒等式xx22sin,cos,11,1321kkk0sincos122xx又如，函数 在任何区间 内是线性无关的。因为如果 不全为零，那么在该区间内至多只有两个 值能使二次三项式2,1xx),(ba321,kkkx2321xkxkk
4、321,kkk为零；要使它恒等于零，必须 全为零。关于二阶齐次线性微分方程(2)的通解结构，我们有如下的定理。定理定理 2 如果 与 是方程(2)的两个线性无关的特解，那么 (、是任意常数)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy1C2C就是方程(2)的通解。对 求导，则无论 为实数或复数，都有 ，rxey rrxrey rxery2 由线性微分方程解的结构可知，只要求出两个线性无关的特解 与 ，就可得到方程(2)的通解。1y2y由于指数函数 和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此我们用 来尝试，通过选取适当的常数 ，使 满足方程(2)。rxey rxey rrxey 代入方程(2),
5、得 0)(2rxeqprr02qprr由此可知，只要 满足代数方程(4)，函数 就是微分方程(2)的解。我们把代数方程(4)称作微分方程(2)的特征方程。rrxey(4)0rxe由于 ，所以 特征方程(4)是一个二次代数方程。它的两个根 、可用公式 求出，它们有下列三种不同情况：1r2r2422,1qppr(1)当 时，是两个不相等的实根：042 qp1r2r2421qppr2422qppr(2)当 时，是两不相等的实根：042 qp1r2r221prr(3)当 时，是一对共轭复根：042 qp1r2rir1ir22p242pq 其中(1)特征方程有两个不相等的实根：，则 ，是微分方程(2)的
6、两个解，且 相应地，微分方程(2)的通解也有三种不同的情况：21rr xrey11xrey22)()(212121常数keeeyyxrrxrxr(2)特征方程有两个相等的实根：，这时我们只得到微分方程(2)的一个特解 ，为了寻找另一个解 ，并且要求 不是常数。21rr xrey112y12yy1y2yxrxreCeCy2121即 ，线性无关，故 是微分方程(2)的通解。21()yu xy 设 ，即 是方程(2)的另一个解，其中 是某个待定系数（不为常数），则对 求导两次，得12()r xyeu x()u x12()r xyeu x121()r xyeuru12211(2)r xyeurur u
7、将 及 代入微分方程(2),整理后得22,yy2y12111(2)()0r xeurp urprq u由于 ，故得10r xe2111(2)()0urp urprq u由此可知，只要取一个满足上式且不为常数的函数 ，即可得所要求的 。将上式积分两次，得因为 是特征方程(4)的重根，所以 ，12pr 120rp2110rprq()0u x()u x2y12()u xC xC于是前式成为可取 ，得 。于是微分方程(2)的另一个特解 ，从而微分方程(2)的通解为 121,0CC()u xxxrxey12xrxrxeCeCy1121xrexCCy1)(21即(3)特征方程有一对共轭复根 ，ir1ir2
8、)0(此时 ，xixreey)(11xixreey)(22xixieCeCy)(2)(1是微分方程(2)的两个线性无关的解，所以有通解由于它们是复值函数形式，利用欧拉公式 ，把 改写为sincosiei21,yy)sin(cos)(1xixeeeeyxxixxi)sin(cos)(2xixeeeeyxxixxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx1y2y此时 与 也线性无关且为微分方程(2)的解，所以微分方程(2)的通解为取综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程0 qypyy02qprr(2)求出特征方程(4)的两个根 ，。1r2
9、r的通解，步骤如下：(1)写出微分方程(2)的特征方程(3)根据特征方程(4)的两个根的不同情况，按照下列表格写出微分方程(2)的通解：特征方程02qprr的两个根 ，1r2r两个不相等的实根 ，1r2r21rr xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyxxrxreCeCy21210 qypyy微分方程 的通解ir2,1两个不相等的实根一对共轭复根例例1 求微分方程 的通解。065 yy0652 rrxxeCeCy3221所求微分方程的通解为 。21r32r有两个不同实根 ，对应的特征方程为 解：解：02222rrxexCCy221)(所求微分方程的通解为 221 rr有两个相同的实根 对应的特征方程为 0222 yyy例例2 求微分方程 的通解。解：解：例例3 求微分方程 的通解。052 yyy0522 rr)2sin2cos(21xCxCeyx所求微分方程的通解为ir212,1有一对共轭复根 对应的特征方程为 解解
