1、第第五五节节 分部积分法分部积分法 第五章第五章 不定积分不定积分首先我们利用两个函数乘积的求导法则，来推导分部积分公式。设 ，具有连续导数，则由函数乘积的导数公式)(xuu)(xvv)(uvvuuvvuuvuv)(则两边求不定积分，得vdxuuvdxvudxuvdxuv)(公式 （1）称为分部积分公式。经常把公式（1）写成vdxuuvdxuvvduuvdvu（2）如果求 有困难，而求 较容易，我们就可以用分部积分公式，将求 转化为求 。udvvduudvvdu例例1 求 xdxxcos解：解：设 ，于是xu xdxdvcosdxdu xvsin由分部积分公式得cossinsinsincosx
2、xdxxxxdxxxxC注：注：解此题时如果设 ，则xucosxdxdv xdxdusin22xv 于是 xdxxxxxdxxsin2cos2cos22这时右端的积分比原积分更不易求出。显然，这样选取 与 是不恰当的。udvudv由此可见，正确地选取 与 是应用分部积分公式求不定积分的关键。一般而言，选取 与 必须考虑到：要便于求得 要比 更容易求出。udvvvduudv例例2 求 4lnxxdx解：解：设 ，于是xuln4dvx dxdxxdu1515vx由分部积分公式 454551111lnlnln55525xxdxxxx dxxxxC例例3 求 xdxexsin解：解：xdxexexde
3、xdxexxxxcossinsinsin对于积分 再用一次分部积分公式。于是cosxexdxxdxexexexdexexexdxexexdxexxxxxxxxxsincossincoscossincossinsin移项解得1sin(sincos)2xxexdxexxC由于移项后，上式右端已不再含有积分项，因此必须加上任意常数 。C综合以上各例，一般情况下，与 按以下规律选择：dvuunndvx dx2形如 （其中 为正整数）的不定积分，令 ，余下的为 （即令 或 ）。ln,arcsin,arctannnnxxdxxxdxxxdxln,uxarcsinuxarctanux1形如 （其中 为正整数
4、）的不定积分，令 ，余下的为 （即 或 ）。dvsin,cos,nnnkxxkxdxxkxdxx e dxsin,kxdxdvkxe dxdvnnuxcoskxdxdv3形如 不定积分，可以任意选择 和 ，但应注意，因为要使用两次分部积分公式，两次选择 和 应保持一致，即如果第一次令，则第二次须令 ，只有这样才能出现循环公式，然后用解方程的方法求出积分。sin,cosaxaxebxdxebxdxudvaxueaxue例例4 求 ln xdx解：解：设 ，于是xulndvdxdxxdu1vx由分部积分公式 lnlnlnlnxdxxxxdxxxdxlnxxxC例例5求 dxexx2解：解：设 ，于
5、是2xu dxedvxxdxdu2xev 对积分 再用一次分部积分公式：设 ，于是dxxexxu dxedvxdxdu xev dxxeexdxxeexdxexxxxxx22222所以222222222()2()(22)xxxxxxxxxxxxx e dxx exe dxx exdex exee dxx exeeCexxC从而 当分部积分公式用得比较熟练以后，在运算的过程中就不必写出 与 了，只要把积分写成 ，再直接使用分部积分公式。udvudv解：解：cxxxxdxxxdxxxxxxdxxxxxdxdxxdxxxsinlncotsinsin1cotsincoscotcotcotcotcscsin22例例6 求 dxxx2sin例例7 求 dxex3解：解：先设法去根号，令 ，即 ，tx 33tx dttdx23于是dtetdxetx233由本节例4知22(22)ttt e dte ttC所以32233(22)xttedxt e dte ttC33233(22)xexxC例例8求 xdxxarctan解：解：设 ，于是xuarctanxdxdv dxxdu211221xv 从而22222222211arctanarctan22 111(1)1arctan2211111arctan222 1111arctanarctan222xxxdxxxdxxxxxdxxxxdxdxxxxxxC
