1、一、空间曲线一、空间曲线二、极限和连续二、极限和连续第五节第五节 向量值函数和空间曲线向量值函数和空间曲线第九章第九章 空间解析几何空间解析几何三、导数和运动三、导数和运动四、微分法则四、微分法则五、定长的向量函数五、定长的向量函数六、向量函数的积分六、向量函数的积分一、空间曲线一、空间曲线(),(),(),xf tyg tzh ttI()()()()r tOPf t ig t jh t k 点点 就组成了空间中的一条曲就组成了空间中的一条曲线，我们称之为线，我们称之为质点的路径质点的路径。上上式中的方程和区式中的方程和区间参数化了该曲线。空间曲线还可以表示为向量间参数化了该曲线。空间曲线还可
2、以表示为向量形式：形式：,x y z(),(),()f tg t h t当一个质点在空间中经历时间区间 而运动时，我们假设质点的坐标为定义在 上的函数：II 是实变量是实变量 在区间在区间I上的向量函数。上的向量函数。rt二、极限和连续二、极限和连续定义定义 若 ，则()()()()r tf t ig t jh t k0000lim()lim()lim()lim()ttttttttr tf tig tjh tk若 ，则向量函数 在定义域内的点 连续。若其在定义域的每个点都连续，则函数是连续的。00lim()()ttr tr t()r t0tt 在在 处连续当且仅当每个分量函数在处连续当且仅当每
3、个分量函数在 处是连续的。处是连续的。()r t0tt0tt例例1若 ，则0()cossin(),4r tt it jt k t0000lim()limcoslimsinlimttttttttr tt it jt k22224ijk三、导数和运动三、导数和运动0()()()limtdrr ttr tdfdgdhr tijkdttdtdtdt 定义定义 如果 和 在 处是可微的，则向量函数 在 处是可微的，其向量导数为,f gh0tt()()()()r tf t ig t jh t k0tt如果在定义域内的每个点是可微的，则向量函数 是可微的。如果 是连续的并且恒不等于0，即 和 有连续一阶导数
4、并且不同时为0，则由 描绘的曲线是光滑光滑的。r()r t,f ghr导数导数的几何的几何意义意义若 不等于0，我们定义 为曲线在点P的切向量。曲线在点 的切线定义为过该点平行于 的直线。()r t()r t000(),(),()f tg th t0()r t0drdt对光滑曲线我们要求 是为了保证曲线在每点有连续转动的切线。在光滑曲线上没有拐角或尖。一条曲线由有限段光滑曲线以连续方式组成，则称之为分段光滑曲线分段光滑曲线当 时，导数是沿空间中由 定义的曲线运动的质点的速度的模型。导数指向运动的方向并且给出位置对于时间的变化率。对于一条光滑曲线，速度恒不为零，质点运动也不停止或颠倒方向。0dr
5、dt定义定义 若 是沿空间光滑曲线运动的质点的位置，则在任何时刻 ，下列定义适用：rt(1)，位置的导数，是质点的速度向量，与曲线相切；()drV tdt(2)的大小，是质点的速率；(),()V tV t(3)，速度的导数及位置的二阶导数，是质点的加速度；22()dVd ra tdtdt(4)，一个单位向量，是运动方向。VV例例2 一个人在悬挂式滑翔机上由于遇到快速上升气流而沿位置向量2()3cos3sin()r tt it jtk的路径螺旋式地向上。路径类似于螺旋线并在图中显示了 部分，求：04t（1）速度和加速度向量；（2）滑翔机在任何时刻 的速率；（3）如果有的话，滑翔机的加速度 正交于
6、速度的时刻。t解：（1）2()3cos3sin()r tt it jtk()3sin3cos2drV tt it jtkdt 22()3cos3sin2d ra tt it jkdt（2）速率是 的大小：V222()3sin3cos2V tttt2229sin9cos4ttt294t滑翔机沿其路径升高时运动得越来越快。9sin cos9cos sin440Vatttttt（3）为求 和 正交的时刻，求 ，使得Vat0t 于是，速度和加速度正交的惟一时刻是在 四、微分法则四、微分法则设设 和和 是是 的可微向量函数，的可微向量函数，是常向量，是常向量，是是任意常数，而任意常数，而 是可微标量函数
7、。是可微标量函数。UVtCcf(2)数量倍数法则数量倍数法则(3)和差法则和差法则(1)常函数法则常函数法则(6)链式法则链式法则(5)叉积法则叉积法则(4)点积法则点积法则0dCdt()()dcU tcU tdt()()()()()()df t U tf t U tf t U tdt()()()()dU tV tU tV tdt()()()()()()dU tV tU t V tU t V tdt()()()()()()dU tV tU tV tU tV tdt()()()dU f tf t Uf tdt五、定长的向量函数五、定长的向量函数当我们跟踪以原点为中心的球面上运动的一个质点时，位置
8、向量有一个等于球面半径的固定长度。运动路径相切，也切于球面，因此垂直于 。对于固定长度的可微向量函数，向量与它的导数总是正交的。长度固定时，函数的变化仅仅在方向上变化。方程变化时保持与 成直角。rr2()()r tr tc()r tc是常数。两端求导可得：()()0dr tr tdt()()()()0r tr tr tr t即 0drrdt由数量积的可交换性，可知：它们的数量积为0，向量 与 正交。故有：()r t()r t例例3证明 有固定长度并且正交于它的导数。()sincos3r tt it jk()sincos3r tt it jk222()sincos31 32r tttcossin
9、drt it jdtsin cossin cos0drrttttdt解：定义定义1 对 的不定积分为 的所有反导数（原函数）的集合，记作 。若 是 的一个反导数（原函数），则六、向量函数的积分六、向量函数的积分rrRr()r t dt()r t dt()R tCt例例4求不定积分 。cos2t ijtk dtcos2t ijtk dtcos2tdt idt jtdt k2123sintC itCjtCk2sint itjt kC123CC iC jC k解：()()()()r tf t ig t jh t k定义定义2 若 的分量在 是可积的，则 也如此，从 到 的定积分定义为,a brrab
10、()bar t dt()()()bbbaaaf t dt ig t dt jh t dt k0cos2t ijtk dt例例5求定积分0cos2t ijtk dt000cos2t dt idt jtdt k 2000sintitjtk2jk解：例例6假定我们还不知道例2的滑翔机的路径，而仅仅知道它的加速度向量()3cos3sin2a tt it jk 还知道初始时刻（在时刻 ）滑翔机从点 以速度 出发。求滑翔机在时刻 的位置。0t 3,0,0(0)3Vjt解：我们的目的是在已知条件：下求()r t 微分方程：22()3cos3sin2d ra tt it jkdt 初始条件：(0)3Vj(0)300rijk和1()3sin3cos2V tt it jtkC 对微分方程的两端关于 求积分，得t由 得：(0)3Vj 133sin03cos00jijkC 10C()3sin3cos2drV tt it jtkdt 22()3cos3sinr tt it jt kC2233cos03sin00jijkC20C2()3cos3sinr tt it jt k这个微分方程的两端求积分，得到t滑翔机在时刻 的位置为(0)3ri由 得：
