1、一、格林公式一、格林公式第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用第十二章第十二章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 条件条件三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积一、一、格林公式格林公式设D为平面区域，若D内任一闭曲线所围部分都属于D,则称D为平面单连通区域。例如圆形区域 ，上半平面 都是单连通区域，否则为复连通区域。而圆环形区域 ，都是复连通区域。1|),(22 yxyx0|),(yyx41|),(22yxyx20|),(22yxyx平面单连通区域的平面单连通区域的概念概念 对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的
2、正向如下：当观察者沿着曲线L以此方向前进时，区域D总靠在它的左侧。例如，D是如图所示的阴影部分区域，则作为D的边界的正向，L是逆时针方向，而如图所示的阴影部分区域，L的正向是顺时针方向。定理定理（格林公式）设闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数 在闭区域D上具有一阶连续偏导数，则有,P x yQ x ydxdyyPxQD)(LPdxQdy 其中L是D的取正向的边界曲线。下面应用格林公式求平面闭区域D的面积。在格林公式中，取P=-y，Q=x，即得 =有A=其中L为D的边界的正向。Ddxdy2Lxdyydx 12Lxdyydx 注意注意：对于复连通区间D，格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积
3、分，且边界的方向对D来说都是正向。例例1 求椭圆 ，所围成图形的面积A。cosxasinyb2011222abdabab根据格林公式，有解解12Lxdyydx dabab)sincos(212202A=例例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线，证明220Lxydxx dy 2200LDxydxx dydxdy 2Pxy2Qx022xxxPxQ令 ，则 。证证 因此由格林公式得2yeyPxQ22yyDOA AB BOedxdyxedyOAydyxe2dxxex102=0P2yxeQ令 ，则 解解例例3 计算 ，其中D是为顶点 的三角形闭区域。Dydxdye2(0,0),(1,1),(0,1)OAB
4、因此格林公式得11(1)2e例例4 计算 ，其中L为从点 到原点 的上半圆周 。sinxxLeymy dxe coxym dy2,0Aa)0,0(O2220 xayaaOA LOA 因为曲线不是闭的，我们补上一条从O到A有向线段 后，为封闭曲线，设所围区域为D。解解,sinmyyePxmyeQxcosmyeyPxcosyexQxcos且),(,1DCQPmyPxQsincosxxLeymy dxeym dy(sin)(cos)xxL OAeymy dxeym dy=2220022aDam amdxdydxm由格林公式可知例例5 计算 ，其中L为一条无重点(不自交)、分段光滑且不经过原点的连续闭
5、曲线，L的方向为逆时针方向。22Lxdyydxxy 220Lxdyydxxy 22yxyP22yxxQ)0,0(),(yx22222)(yxxyxQyP令 ，当 时，有 =。解解 0,0D(1)当 时，由格林公式得记L所围的闭区域为D。(2)当 时，选取适当小的 ，作位于D内的圆周 ，取逆时针方向，记L和 所围成的闭区域为 ，对复连通区域 应用格林公式，得0,0D0r 222:ryxll1D1D22Lxdyydxxy 220lxdyydxxy 于是22Lxdyydxxy 22lxdyydxxy 2222220cossin2rrdr二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的
6、条件设 及 在平面开区域G内具有一阶连续偏导数，若对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线 和,P x y,Q x y1L2L 一般说来，若一个函数沿L作曲线积分，积分值与起点、终点及路径L都有关。在什么条件下曲线积分与路径无关呢？首先讨论什么叫做曲线积分与路径无关。21LLPdxQdyPdxQdy恒成立，就称曲线积分 在G内与路径无关，否则称与路径有关。LPdxQdyLQdyPdx0CQdyPdx容易证明：曲线积分 在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分 。等式定理定理 设开区域G是一个单连通域，函数 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 在G内与路径无关
7、（或沿G内任意闭曲线的积分为零）的充分必要条件是,P x y Q x yLPdxQdyxQyP在本定理中，要求区域G是单连通区域，且函数 、在G内具有一阶连续导数，如果两条件之一不满足,则定理的结论未必成立。,P x y,Q x y在G内恒成立。例如，在例5中，当L所围成的区域含有原点时，虽然除去原点外，恒有 ，但沿闭曲线的积分 -这是因为在此区域内含有破坏P、Q及 连续性的点(0,0)，通常称这种点为奇点奇点。yPxQQdyPdx0yPxQ、格林公式使平面上第二类曲线积分的计算变得灵活多样。首先，是利用参数方程直接计算。除此之外，可根据具体情况灵活运用如下方法：(2)若曲线积分与路径有关,则
8、当曲线封闭时，可用格林公式计算；当曲线非封闭时,可添辅助线使其封闭，用格林公式计算后,再减去所添线上的曲线积分值。(1)若曲线积分与路径无关，则当曲线封闭时，积分为零；当曲线非封闭时，可寻找最易计算的路径（如沿折线积分）。定理定理 设开区域G是一个单连通域，函数 、在G内具有一阶连续偏导数，则 在G内为某一函数 的全微分的充分必要条件是等式三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积 下面要讨论的是：函数 、满足什么条件时,微分式 是某函数 的全微分。,P x y,Q x y,P x y dxQ x y dy),(yxu,P x y,Q x ydxyxP),(dyyxQ),(),(yxuy
9、PxQ在G内恒成立。根据上述定理，如果函数 、在单连通域G内具有一阶连续偏导数，且满足 =，那么 就是某 的全微分，这个函数可由公式,P x y,Q x yQxPyPdxQdy),(yxu求出。因为曲线积分与路径无关，为计算简便起见，可以在G内选择平行于坐标轴的直线段连成的折线 或 作为积分 曲线(如图)0M KMSMM000(,)(,)(,)(,)(,)x yxyu x yP x y dxQ x y dy令 则例例 6 证明在整个 平面上，是某个函数的全微分，求出一个这样的函数并计算xOysincosxxeymy dxeymx dysincosxxLIeymy dxeymx dy,sin,c
10、osxxP x yeymyQ x yeymxcosxPQeymyx由定理3，知 是某个函数 的全微分，取积分路径如下图。sincosxxeymy dxeymx dy),(yxu解解 其中L为从（0,0）到（1,1）的任意一条路径。在整个xoy平面内恒成立。,0,0,sincosx yxxu x yeymy dxeymx dysincossincosxxxxOAABeymy dxeymx dyeymy dxeymx dy000cosxyxdxeymx dysinxeymxy于是 sincosxxLIeymy dxeymx dyLyxdu),(1,10,0sin1uuem例例 7 验证：在整个 平
11、面内，是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。xOy22xy dxx ydy令 ，且 ，22,Pxy Qx y2PQxyyx在整个xoy平面内恒成立,因此在整个xoy平面内，是某个函数的全微分。22xy dxx ydy,220,0,x yu x yxy dxx ydy解解2222OAABxy dxx ydyxy dxx ydy222002yx yx ydy还可用下面的方法来求函数 。,u x y所以 ,2222x yuxy dxy 2ux yyy,u x y2uxyx因为 满足 y其中 是y的待定函数，由此得又u必须满足 ,2ux yyCyxu222 22x yyx y故 ,Cyy)(,0)(从而 ,故所求函数为
