1、一、交错项级数一、交错项级数二、任意项级数二、任意项级数第三节第三节 交错项级数与任意项级数交错项级数与任意项级数第七章第七章 无穷级数无穷级数一、交错项级数一、交错项级数定义定义 1 若 ，则称级数0nu 4321uuuu或 4321uuuu为交错级数。1713年莱布尼兹给出了交错级数收敛性的下述重要结论：定理定理 1（莱布尼兹判别法）（莱布尼兹判别法）若交错级数 满足 11)1(nnnu),2,1(n),2,1(n（1），即 单调下降。1nnuu nu（2）0limnnu 11)1(nnnu则无穷级数 收敛，且其和 。1uS 对于上述交错级数 而言，若极限 不存在，或存在但 ，则交错级数
2、的一般项的极限 不存在，因此无穷级数 发散。11)1(nnnunnulim0limnnu 11)1(nnnunnnu1)1(lim 11)1(nnnu解：解：nnnnnun 1111)1(1)1(由于无穷级数 为交错级数，其中 ，故 nun1111nnuunn1nnuu且01limlimnunnn由莱布尼兹判别法可知：交错级数 收敛。例例1试判断交错级数 的敛散性。111)1(nnn 111)1(nnn即交错级数 常称之为莱布尼兹级数，以后将此无穷级数认作为标准无穷级数。111)1(nnn例例2试判断交错级数 的敛散性。解：解：因为 ，所以，交错级数 发散。11132)1(nnnn032132
3、limlimnnunnn11132)1(nnnn通常地正负项可以任意出现的无穷级数称为任意项无穷级数。二、任意项级数二、任意项级数由此可见，交错级数是任意项无穷级数的一种特殊情形。由于要判断任意项无穷级数的敛散性没有一般的通用法则，故先研究 nnnuuuu211的收敛性。定理定理2 若无穷级数 收敛，则无穷级数 必定收敛。1nnu1nnu定义定义2 设有任意项无穷级数 ，若无穷级数 收敛，则称该无穷级数 绝对收敛；若无穷级数 发散，而无穷级数 收敛，则称该无穷级数 条件收敛。显而易见，莱布尼兹级数 为条件收敛的。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu111)1(nnn例例3 试判断交
4、错级数 的敛散性，若其收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛（其中 ）？111)1(npnn0p解：解：记 ，则 ，即 为 -级数，因此当 时，收敛，故无穷级数 绝对收敛。pnnnu1)1(1pnnu1p1p111npnnnu111)1(npnn0)1(11ppnn),2,1(n 且 01limpnn111)1(npnn由莱布尼兹判别法可知无穷级数 为条件收敛。10 p综上所述，无穷级数 ，当 时，该无穷级数绝对收敛；当 时，该无穷级数条件收敛。111)1(npnn1p当 时，发散，即无穷级数 不绝对收敛。此外，由于 为交错级数，当 时，有 10 p111npnnnu111)1(npnn111)1
5、(npnn10 p定理定理3 若任意项无穷级数 满足条件 nnnuuuu2111limnnnulu（1）当 时，则该无穷级数 绝对收敛；（2）当 时，则该无穷级数 发散。10l1l1nnu1nnu例例4 试判断无穷级数 的敛散性，如果它收敛，那么是绝对收敛，还是条件收敛？1341sin)1(nnnn解：解：其通项为 ，而且341sin)1(nnunnnnnvnnnu34341sin)1(然而 为 的 -级数，其为收敛的。13411nnnnv134pp从而可知：为收敛的。即无穷级数 收敛，且为绝对收敛。13411sin)1(nnnnnnu 1341sin)1(nnnnxxnnnxnxuunnnnnnn)1(lim1limlim11解：解：由于 例例5 判断无穷级数 的敛散性。1nnnx故当 时，无穷级数 绝对收敛；当 时，无穷级数发散；当 时，无穷级数为调和级数 其是发散的；当 时，无穷级数成为莱布尼兹级数 ，其为条件收敛的。1nnnx1x1x1x11nn1x 111)1(nnn
