1、一、空间中的直线和线段一、空间中的直线和线段二、空间中的平面方程二、空间中的平面方程第三节第三节 空间中的直线和平面空间中的直线和平面第九章第九章 空间解析几何空间解析几何三、相交直线三、相交直线一、空间的直线和线段一、空间的直线和线段000 xxiyyjzzk123t viv jv k假定假定 是一条过点是一条过点 且平行于向量且平行于向量 的直线。的直线。则则 是使是使 平行于平行于 的所有点的所有点 的集合。于的集合。于是对某个数值参数是对某个数值参数 有有 。的值依赖点的值依赖点 在直在直线上的位置，并且线上的位置，并且 的定义域是的定义域是 。方程。方程 的展开形式是的展开形式是L0
2、000,P xy zV0PP,P x y ztVtP,L0PPtt0PPtV这个方程可以写成：000123xiyjzkx iy jz kt viv jv k过点 平行于 的直线的向量方程为()r t0,rtVt 0000,P xy zV其中 是 上的点 的位置向量，而 是 的位置向量。rL,P x y z0r0000,P xy z直线的参数方程：直线的参数方程：过 平行于 的直线的标准参数方程为0000,P xy z123Vviv jv k010203,xxtvyytvzztvt 例例1.求过点 平行于 的直线的参数方程。2,0,4242ijk解：22,4,42xt yt zt 例例2.求过点
3、 和点 的直线的参数方程。3,2,3P(1,1,4)Q解：向量131 243PQijk 437ijk平行于直线，又000,xy z3,2,3 34,23,37xtytzt 上例中我们还可以取 作为“基点”而写出1,1,4Q14,1 3,47xtytzt 这些方程的作用跟第一组完全一样；只不过在一个给定时刻 点在直线上的位置不同。t为参数化连结两点的线段，我们首先参数化过点的直为参数化连结两点的线段，我们首先参数化过点的直线。再求端点对应的线。再求端点对应的 的值并限制以这些为端点的区的值并限制以这些为端点的区间。间。直线连同这个附加的限制就是参数化线段直线连同这个附加的限制就是参数化线段。t例
4、例3.求过点 和点 的线段。3,2,3P(1,1,4)Q34,23,37xtytzt 我们注意点,34,23,37x y zttt 解：从例2中的点 和 的直线3,2,3P 1,1,4QPQ在 过点 ，而在 过点 。我们加上限制 就得到这线段的参数方程：0t 1t 01t 34,23,37xtytzt 01t 二、空间中的平面方程二、空间中的平面方程假定平面M过点 并且正交于（垂直于）非零向量 。则M是使 正交于 的所有点 的集合，于是点积 。这个方程等价于0000,P xy znAiBjCk0P Pn,P x y z00n PP0000AiBjCkxxiyyjzzk0000A xxB yyC
5、 zz或过点过点 且正交于（垂直于）且正交于（垂直于）平面有：平面有：0000,P xy znAiBjCk向量方程：向量方程：00n PP分量方程：分量方程：0000A xxB yyC zz简化分量方程：简化分量方程：AxByCzD000DAxByCz其中解：分量方程是经化简得例4求过 垂直于 的平面方程。03,0,7P 52nijk5(3)2(0)(1)(7)0 xyz 515270 xyz5222xyz 我们要注意例我们要注意例4中中 的分量如何成为方程的分量如何成为方程 的系数。的系数。52nijk5222xyz 例5求过 和 的平面的方程。0,0,1,2,0,0AB0,3,0C解：我们
6、求一个垂直于该平面的向量，再利用这个向量和三个点中的一个写平面的方程，向量积201326031ijkABACijk 是正交于所求平面的向量。把这个向量的分量和坐标 代入分量形式的方程，即得0,0,1A3020610 xyz3266xyz三、相交直线三、相交直线不平行的两张平面交于一条直线。不平行的两张平面交于一条直线。两条直线平行当且仅当它们方向相同。类似地，两两条直线平行当且仅当它们方向相同。类似地，两张平面平行当且仅当存在某个数张平面平行当且仅当存在某个数 ，有，有 。12nknk例例6求平行于平面 和 的交线的向量。36215xyz225xyz36214215212ijkijk解：两平面的交线正交于法向量 和 从而平行于 。反之，为一个平行于交线的向量。1n2n1n2n1n2n1n2n的任何非零倍数都符合要求。1n2n例例7求平行于平面 和 的交线。36215xyz225xyz由于例6中已经确定了一个平行于交线的向量 ，故仅需求交线上的一个点。我们可以求两平面的任何公共点，在两平面方程中令 ，并解 和 的联立方程求得一个公共点为 ，故该交线为解：14215Vijk0z xy3,1,03 14,12,15xtytzt
