1、一、导数的四则运算一、导数的四则运算二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则第三节第三节 导数的运算法则导数的运算法则第三章第三章 导数与微分导数与微分三、反函数求导法则三、反函数求导法则四、隐函数求导法则四、隐函数求导法则五、参数方程求导法则五、参数方程求导法则六、对数求导法则六、对数求导法则一、导数的四则运算一、导数的四则运算定理定理1 设函数 与 在点 可导，则有)(xuu()vv x2)(vuvvuvu)0(v)(vuvu（1）（3）)(vuvuuv（2）特别地，当 时，（为常数）cv c)(cucuy即常数因子可以移到导数符号外面。x例例1 设 ，求 。2xxyx y解：解：2xxy
2、x 1111222222xxxx132211112222xxxx x 公式（1）与（2）可以推广到有限多个函数的情况，即)(121212121nnnnnuuuuuuuuuuuuu)(2121nnuuuuuu y解：解：22(cosln)(cos)()(ln)()xxyxexaxexa例例3 设 ，求 。aaxaxay例例2 设 ，求 。2lncosaxexyx y解：解：1ln)()()()(axaaxaaxaxaaaxaaxay1sinxxex 例例4 设 ，求 。xxysin2 y解：解：xxxxxxxxycossin2)(sinsin)(222例例5 设 ，求 。xytan解：解：2si
3、n(sin)cossin(cos)(tan)()coscosxxxxxyxxx同理可得，xx2csc)(cot y2222cossinseccosxxxx例例6 设 ，求 。xysecxxxxxxxxxytanseccossincos)(coscos)cos1()(sec22解：解：同理可得，xxxcotcsc)(csc解：解：22)cos1(sincos1)cos1()cos1()cos1()(xxxxxxxxxy y例例7 设 ，求 。xxycos1 yx定理定理 2 设函数 在点 处可导，函数 在对应点 处可导，则复合函数 在点 处可导，且)(xux)(ufy u)(xfy设函数 ，则
4、是 的一个复合函数。)(),(xuufy)(xfyxdydy dudxdu dx或)()(xufdxdyy 公式可推广到有限次复合的情况。二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则dxdvdvdududydxdy或)()()(xvufy例如，设 ，则复合函数 对 的导数是(),(),()yf u uv vx)(xfyx例例8 设 ，求 。2008(1 2)yx y设 ，则2008yuxu2120082007()(1 2)2008(2)yuxu 例例9 设 ，求 。2cosxy y解：解：设 ，则uycos2xu 22sin22sin)()(cosxxxuxuy20074016(1 2)x 解：解
5、：例例10 设 ，求 。xysinln解：解：设 ，则uylnxusinxxxxuxuycotcossin1cos1)(sin)(ln y例例11 设 ，求 。xxy11 y解：解：2212121)1(11)11(21)11()11(21)11(xxxxxxxxxxxy212221)1)(1(1)1(2)11(21xxxxx设函数 在 处有不等于零的导数，且其反函数 在相应点处连续，则 存在，且)(xfy x)(yx)(y)(1)(xfy 即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。在反函数导数存在的前提下，由于 ，两边对 求导，则得x1dxdydyd即)(1)(xfy 三、反函数求导法则三、反函
6、数求导法则xxf)()11(x解：解：例例12 设 ，求 。yxyarcsin)11(xyxsin)22(y而0cos)(sinyy)22(y01sin1cos22xyy所以211)(sin1)(arcsinxyxyxyarcsin的反函数为)11(x即 211)(arcsinxx)11(x同理可得 211)(arccosxx)11(xxyarctan解：解：例例13 设 ，求 。yxyarctan)(x的反函数为yxtan)11(x而 ，则211)(tan1)(arctanxyxy)(x即 211)(arctanxx)(x同理可得 211)cot(xxarc)(x2221tan1sec)(t
7、anxyyy把隐函数化为显函数，称为隐函数的显化把隐函数化为显函数，称为隐函数的显化。例如从方程 中解出 。但有时隐函数的显化有困难，甚至有时变量 不一定能用自变量 直接表示。例如 。所以不管隐函数能否显化，我们希望有一种方法直接由方程求出它所确定的隐函数的导数。x013 yx31xy0 xyexyy 定义1 由方程 所确定的 与 的函数关系称为隐函数。0),(yxFyx四、隐函数求导法则四、隐函数求导法则要求由方程 所确定的隐函数 的导数 ，只要将 视为 的函数，利用复合函数的求导法则，对方程两边关于 求导，得到一关于 的方程，解出 就可以了。0),(yxF)(xy yyxx y y例例14
8、 由方程 确定 是 的函数，求 。0exyexyyx解：解：将方程两边对 求导，得x0)(xyyxyyexy y解出 ，得 yxyexeyyxyxy)1()1(0|xy解：解：将方程两边对 求导，得xyxeeyyy解出 ，得 例例15 由方程 确定 是 的函数，求 。yxey1yxyyxeey1令 。由 知 ，故0 xyxey11|0 xyeyx0|y解：解：将方程两边对 求导，得x y解出 ，得022yyxyyxyxyxy22由 ，于是点 处的切线方程是1|22yxy)2(2xy即 4 xy例例16 由方程 确定 是 的函数，求其曲线上点 处的切线方程。)2,2(422yxyxyx)2,2(
9、有时，我们常常会遇见因变量 与自变量 之间的关系通过一参变量 来表示，即yxt)()(tytx称为函数的参数方程。下面讨论求由参数方程确定的 对 的导数 。yx y五、参数方程求导法则五、参数方程求导法则设 有连续的反函数 ，又 与 存在，且 ，则 为复合函数)(tx)(1xt)(t)(t0)(ty)()(1xty利用反函数和复合函数求导法则，得)()()(1)(ttttdxdtdtdydxdy或)()(/ttdtdxdtdydxdtdtdydxdy例例17 已知星形线的参数方程为 ，求 。taytax33sincosdxdy解：解：因为ttatatxsincos3)cos()(23ttata
10、tycossin3)sin()(23所以 tttattatxtydxdytansincos3cossin3)()(22例例18 求曲线 ，在对应 处的切线方程和法线方程。2lnlnxttyttte由于221ln2ln()ln2ln1()ln1lntttdyy ttttdxx ttttt 所以切线斜率 1123|1 12t edykdx法线斜率 21123kk 当 时，。故切线方程为te,xe ye3()2yexe即 322eyx法线方程为 2()3yexe 解：解：2533yxe 即 对一些特殊类型的函数 ，它既不是幂函数，也不是指数函数，称为幂指函数，我们利用对数求导法则来求导。)()(xv
11、xuy 定理定理3 设 ，其中 在 处可导，则 在 处可导，且有vuy)(),(xvvxuuxyxln)(uuvuvuuvv六、对数求导法则六、对数求导法则例例19 求 的导数。解：解：方法1 将方程两边取对数xxysinxxylnsinlnxxxxyy1sinlncos1所以)sinln(cos)sinln(cossinxxxxxxxxxyyx 方法2.)sinln(cos)ln(sin)(sinlnsinlnsinxxxxxxxeeyxxxxxx两边对 求导得例例20 设 ，求 。)4)(3(20)(1(xxxxy y解：解：如直接利用复合函数求导公式求这个函数的导数，将会很复杂，为此，先
12、将方程两边取对数，得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy两边对 求导，得x)41312111(211xxxxyy于是得)41312111()4)(3(20)(1(21xxxxxxxxy 以上介绍了基本求导法则及各类初等函数的求导法则，为了便于记忆和使用，我们列出如下求导公式。基本求导公式基本求导公式0)(c1()xxaaaxxln)(（为常数）c（为任意实数）(0,1)aaxxee)(axxaln1)(log(0,1)aaxx1)(ln（1）（2）（3）（4）（5）（6）xxcos)(sinxxsin)(cosxx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secxxxcotcsc)(csc211)(arcsinxx)11(x211)(arccosxx)11(x211)(arctanxx211)cot(xxarc（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）导数运算的基本法则导数运算的基本法则)(vuvu)(uvvuuv2)(vuvvuvu)0(v)()()(xxfxf)(1)(1xfyf)0)(xf其中 可导。,fvu
