1、2021-2022 学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（一、选择题（共共 10 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 30 分）分）1（3 分）方程 2x23（x6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A2，3，6 B2，3，18 C2，3，6 D2，3，6 2（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D 3（3 分）如果一元二次方程 x23x10 的两根为 x1，x2，那么 x1+x2（）A3 B3 C1 D1 4（3 分）已知 x8 是一元二次方程 x2
2、+mx80 的一个解，则 m 的值是（）A4 B4 C7 或7 D7 5（3 分）配方法解方程 x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29 B（x+4）29 C（x8）216 D（x+8）216 6（3 分）对于二次函数 y（x1）2，下列结论错误的是（）A开口向上 B当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 C函数图象与 x 轴没有公共点 D函数有最小值 7（3 分）某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（）A289（1x）2256 B256（1x）2289 C289（12x）2256 D256（12x）2289
3、8（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9（3 分）已知两点 A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，点 C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若 y1y2y0，则 x0的取值范围是（）Ax05 Bx01 Cx03 D5x01 10（3 分）ABC 中，AB4，AC2，以 BC 为边在ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为（）A6 B6 C4+2 D3 222二、填空题（二、填空题（共共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共
4、 18 分）分）11（3 分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 12（3 分）若 y（a+3）x|a|1+3x 是二次函数，则 a 13（3 分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 14（3 分）点 A（2，m），B（1，n）是抛物线 yx21 上的两点，直线 ykx+b 经过 A、B 两点，不等式 x21kx+b 的解集为 15（3 分）在直径为 10m 的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽 AB6m，如果继续向
5、油槽内注油，使液面宽为 8m，那么液面上升了 m 16（3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0），且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：b2a；4a+2b+c0；若 nm0，则 x1+m 时的函数值小于 x1n 时的函数值；点（，0）一定在此抛物线上-2其中正确的结论是 三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，共共 72 分）分）17（8 分）（1）解方程：x24x10（2）解不等式：2x13（1+x）18（8 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE，点 E 落在 BC 的延长线上 求证：31+2 19（8 分）已知抛物线经过点（1，
6、0），（3，0），且函数有最小值4（1）求抛物线的解析式；（2）若 0 x4，求函数值 y 的取值范围 20（8 分）在 85 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段 CB 绕点 C 逆时针旋转 90，画出对应线段 CD；（2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45（保留画图过程的痕迹）；（3）连接 AC，画点 E 关于直线 AC 的对称点 F，并简要说明画法 21（8 分）如图，AB 是O 的直径，P 为 AB 上一点，弦 CD 与弦
7、EF 交于点 P，PB 平分DPF，连 DF交 AB 于点 G（1）求证：CDEF；（2）若DPF60，PE：PF1：3，AB2，求 OG 的长 13 22（10 分）农经公司以 30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p（千克）与销售价格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格 x 元（元/千克）30 35 40 45 50 日销售量 p（千克）600 450 300 150 0（1）请直接写出 p 与 x 之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售 1 千克这种农产品需支出
8、a 元（a0）的相关费用，当 40 x45 时，农经公司的日获利的最大值为 2430 元，求 a 的值 23（10 分）问题背景如图 1，在ABC 中，ABC45，ADBC 于点 D，E 是 AD 上的一点，且 DEDC，连接 BE求证：BEAC；迁移运用如图 2，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，D 是ABC 外的一点，且 ADAC，=2把点 D 绕点 C 逆时针方向旋转 90得到点 E，连接 BE，求证：BECE；=2拓展创新如图 3，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，D 是ABC 外的一点，且ADC30，E 是 AB 的中点，连接 DE，若 AD4，DE，则ACD 的面积为 （直
9、接写出结果）=722 24（12 分）如图，抛物线 yax2+3ax+4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 SABC10，点 P 为第二象限内抛物线上的一点，连接 BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，过点 P 作 PDx 轴于点 D，若BPD2BCO，求的值；（3）如图 2，设 BP 与 AC 的交点为 Q，连接 PC，是否存在点 P，使 SPCQSBCQ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 2021-2022 学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷学年湖北省武汉市新洲区阳逻街九年级（上）期中数学试卷 参考答案
10、与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（一、选择题（共共 10 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 30 分）分）1（3 分）方程 2x23（x6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A2，3，6 B2，3，18 C2，3，6 D2，3，6【解答】解：方程 2x23（x6），去括号，得 2x23x18，整理，得 2x23x+180，所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 2，3，18，故选：B 2（3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项错误；B、不是轴对称图形，是中心
11、对称图形，故 B 选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 C 选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项错误 故选：C 3（3 分）如果一元二次方程 x23x10 的两根为 x1，x2，那么 x1+x2（）A3 B3 C1 D1【解答】解：根据题意可得 x1+x23，=-=31=故选：B 4（3 分）已知 x8 是一元二次方程 x2+mx80 的一个解，则 m 的值是（）A4 B4 C7 或7 D7【解答】解：x8 是一元二次方程 x2+mx80 的一个解，82+8m80，m7 故选：D 5（3 分）配方法解方程 x2+8x+70，则方程可化为（）A（x4）29 B
12、（x+4）29 C（x8）216 D（x+8）216【解答】解：方程移项得：x2+8x7，配方得：x2+8x+169，即（x+4）29 故选：B 6（3 分）对于二次函数 y（x1）2，下列结论错误的是（）A开口向上 B当 x2 时，y 随 x 的增大而增大 C函数图象与 x 轴没有公共点 D函数有最小值【解答】解：对于二次函数 y（x1）2，a10，抛物线的开口方向向上，A 选项正确；抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线的开口方向向上，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，B 选项正确；抛物线的顶点为（1，0）在 x 轴上，抛物线与 x 轴只有一个交点
13、，C 选项错误；a10，函数在 x1 时有最小值 1，D 选项正确 综上，错误的选项为：C 故选：C 7（3 分）某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（）A289（1x）2256 B256（1x）2289 C289（12x）2256 D256（12x）2289【解答】解：根据题意可得两次降价后售价为 289（1x）2，方程为 289（1x）2256 故选：A 8（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则点（ac，bc）在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解：函数开口向下，因而
14、 a0，对称轴在 y 轴的右侧，则 b 与 a 异号，因而 b0，与 y 轴的正半轴相交，因而 c0，ac0，bc0，横坐标小于 0，纵坐标大于 0，因而点在第二象限，则点（ac，bc）在第二象限 故选：B 9（3 分）已知两点 A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，点 C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若 y1y2y0，则 x0的取值范围是（）Ax05 Bx01 Cx03 D5x01【解答】解：两点 A（5，y1），B（1，y2）均在抛物线 yax2+bx+c（a0）上，点 C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若 y1y2y0，则此函数开口向上，有最小值，x0
15、1 或 x01，5 12解得，x03 故选：C 10（3 分）ABC 中，AB4，AC2，以 BC 为边在ABC 外作正方形 BCDE，BD、CE 交于点 O，则线段 AO 的最大值为（）A6 B6 C4+2 D3 222【解答】解：如图：以 AO 为边作等腰直角AOF，且AOF90，四边形 BCDE 是正方形，BOCO，BOC90，AOF 是等腰直角三角形，AOFO，AFAO，=2BOCAOF90，AOBCOF，且 BOCO，AOFO，AOBFOC（SAS），ABCF4，若点 A，点 C，点 F 三点不共线时，AFAC+CF；若点 A，点 C，点 F 三点共线时，AFAC+CF，AFAC+C
16、F2+46，AF 的最大值为 6，AFAO，=2AO 的最大值为 3 2故选：D 二、填空题（二、填空题（共共 6 小题，小题，每小题每小题 3 分，分，共共 18 分）分）11（3 分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，3）【解答】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3）故答案是：（2，3）12（3 分）若 y（a+3）x|a|1+3x 是二次函数，则 a3【解答】解：当|a|12 且 a+30 时，y（a+3）x|a|1+3x 是二次函数，a3（舍去），a3 故答案为 3 13（3 分）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数
17、目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 6【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是 x，依题意得：1+x+x243，整理得：x2+x420，解得：x17（不合题意，舍去），x26 故答案为：6 14（3 分）点 A（2，m），B（1，n）是抛物线 yx21 上的两点，直线 ykx+b 经过 A、B 两点，不等式 x21kx+b 的解集为 x1 或 x2 【解答】解：点 A（2，m），B（1，n）是抛物线 yx21 上的两点，当 x1 或 x2 时，抛物线图象在直线图象上方，故不等式 x21kx+b 的解集为 x1
18、 或 x2 故答案为：x1 或 x2 15（3 分）在直径为 10m 的的圆柱型油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽 AB6m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为 8m，那么液面上升了 1 或 7m 【解答】解：连接 OA，作 OGAB 于 G，AB6m，AGAB3m，=12油槽直径为 10m OA5m，OG4m，即弦 AB 的弦心距是 4m，同理当油面宽 AB 为 8m 时，弦心距是 3m，当油面没超过圆心 O 时，油上升了 1m；当油面超过圆心 O 时，油上升了 7m 故答案为 1 或 7 16（3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（2，0），且对称轴为直线 x1，其部分图象如图所
19、示对于此抛物线有如下四个结论：b2a；4a+2b+c0；若 nm0，则 x1+m 时的函数值小于 x1n 时的函数值；点（，0）一定在此抛物线上-2其中正确的结论是 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x1，1，-2=b2a，故正确；抛物线的对称轴为直线 x1，而点（2，0）关于直线 x1 的对称点的坐标为（4，0），抛物线开口向下，当 x2 时，y0，4a+2b+c0，故正确；抛物线开口向下，对称轴为直线 x1，横坐标是 1n 的点的对称点的横坐标为 1+n，若 nm0，1+n1+m，x1+m 时的函数值大于 x1n 时的函数值，故错误；b2a，抛物线为 yax22ax+c，抛物线 yax2+
20、bx+c 经过点（2，0），4a+4a+c0，即 8a+c0，c8a，4，-2=点（2，0）的对称点是（4，0），点（，0）一定在此抛物线上，故正确，-2故答案为：三、解答题（三、解答题（共共 8 小题，小题，共共 72 分）分）17（8 分）（1）解方程：x24x10（2）解不等式：2x13（1+x）【解答】解：（1）x24x10，x24x1，x24x+45，即（x2）25，x2，=5x12，x22+5-5（2）去括号得：2x13+3x，移项得：2x3x3+1，合并得：x4，解得：x4 18（8 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE，点 E 落在 BC 的延长线上 求证：31+
21、2 【解答】证明：将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ADE，ABE2，31+ABE，31+2 19（8 分）已知抛物线经过点（1，0），（3，0），且函数有最小值4（1）求抛物线的解析式；（2）若 0 x4，求函数值 y 的取值范围【解答】解：（1）抛物线经过点（1，0），（3，0），抛物线的对称轴为直线 x1，函数有最小值4，抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为 ya（x1）24，把（1，0）代入得 4a40，解得 a1，抛物线解析式为 y（x1）24（2）y（x1）24，抛物线开口向上，函数有最小值为4，当 x4 时，y（41）245，当 0 x4 时，函数值 y 的取值范围是4
22、y5 20（8 分）在 85 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段 CB 绕点 C 逆时针旋转 90，画出对应线段 CD；（2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45（保留画图过程的痕迹）；（3）连接 AC，画点 E 关于直线 AC 的对称点 F，并简要说明画法 【解答】解：（1）如图所示：线段 CD 即为所求；（2）如图所示：BCE 即为所求；（3）连接（5，0），（0，5），可得与 OA 的交点 F，点 F 即为所求，如图所示：21
23、（8 分）如图，AB 是O 的直径，P 为 AB 上一点，弦 CD 与弦 EF 交于点 P，PB 平分DPF，连 DF交 AB 于点 G（1）求证：CDEF；（2）若DPF60，PE：PF1：3，AB2，求 OG 的长 13【解答】（1）证明：如图，过点 O 作 OMEF 于点 M，ONCD 于点 N，连接 OF、OD，则OMFOND90，PB 平分DPF，OMEF，ONCD，OMON，在 RtOFM 和 RtODN 中，OF=OD=RtOFMRtODN（HL），FMDN，OMEF，ONCD，EF2FM，CD2DN，CDEF；（2）PE：PF1：3，设 PEx，PF3x，则 EFPE+PF4x
24、，OMEF，EMFMEF2x，=12PMEMPE2xxx，PB 平分DPF，DPF60，FPBDPBDPF30，=12OMx，OPx，=33=233在 RtOPM 和 RtOPN 中，OP=OP=RtOPMRtOPN（HL），PMPN，由（1）知：FMDN，PM+FMPN+DN，PFPD，DPF60，PDF 是等边三角形，PB 平分DPF，PBDF，垂足为 G，DFPF3x，FGDF，=12=32PG，=2 2=(3x)2(32)2=332OGPGOPx，=332233=536AB2，13OFAB，=12=13在 RtOFG 中，根据勾股定理，得 OG2+FG2OF2，（）2+（）2（）2，5
25、363213整理，得 x23，解得 x（负值舍去），3x，=3OG=536=5336=5222（10 分）农经公司以 30 元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量 p（千克）与销售价格 x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表：销售价格 x 元（元/千克）30 35 40 45 50 日销售量 p（千克）600 450 300 150 0（1）请直接写出 p 与 x 之间的函数关系式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售 1 千克这种农产品需支出 a 元（a0）的相关费用，当 40 x45 时，农经公司的日获
26、利的最大值为 2430 元，求 a 的值【解答】解：（1）假设 p 与 x 成一次函数关系，设函数关系式为 pkx+b，则，30k+b=60040+=300解得：k30，b1500，p30 x+1500，检验：当 x35，p450；当 x45，p150；当 x50，p0，符合一次函数解析式，所求的函数关系为 p30 x+1500；（2）设日销售利润 wp（x30）（30 x+1500）（x30），即 w30 x2+2400 x45000，当 x40 时，w 有最大值 3000 元，=-24002 (30)=故这批农产品的销售价格定为 40 元，才能使日销售利润最大；（3）日获利 wp（x30a
27、）（30 x+1500）（x30a），即 w30 x2+（2400+30a）x（1500a+45000），对称轴为 x40a，=-2400+302 (30)=+12若 a10，则当 x45 时，w 有最大值，即 w2250150a2430（不合题意）；若 a10，则当 x40a 时，w 有最大值，+12将 x40a 代入，可得 w30（a210a+100），+1214当 w2430 时，243030（a210a+100），14解得 a12，a238（舍去），综上所述，a 的值为 2 23（10 分）问题背景如图 1，在ABC 中，ABC45，ADBC 于点 D，E 是 AD 上的一点，且 DE
28、DC，连接 BE求证：BEAC；迁移运用如图 2，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，D 是ABC 外的一点，且 ADAC，=2把点 D 绕点 C 逆时针方向旋转 90得到点 E，连接 BE，求证：BECE；=2拓展创新如图 3，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，D 是ABC 外的一点，且ADC30，E 是 AB 的中点，连接 DE，若 AD4，DE，则ACD 的面积为 2（直接写出结果）=72237 【解答】（1）证明：如图 1，延长 BE 交 AC 于 F，ADBC，ADCADB90，DAB90ABC45，ABCDAB，ADBD，DEDC，BDEADC（SAS），DBEDAC，DAC
29、+C90，BDE+C90，BFC90，BEAC；（2）证明：如图 2，延长 BC 至 F，使 CFBC，ABC 是等腰直角三角形，ACBC，ACFACB90，ACCF，ACD+DCF90，DCE90，ECF+DCF90，ACDECF，CECD，ECFDCA（SAS），CFAD，=12，=2=12，=FF，ECFBEF，=2BEEC；=2（3）解：如图 3，连接 CE，将CED 绕点 E 顺时针旋转 90至AEF，并延长 FA 交 CD 于 G，DEF90，DEEF，CDAF，DF，=2=7由（1）知，FGCD，AGADsinADC42，12=DGADcosADC42，32=3在 RtDGF 中
30、，FG，=2 2=72(23)2=37AFFGAG2，=37CDAF2，=37SACD=12 =12 2 (37 2)2，=37故答案是：2 37 24（12 分）如图，抛物线 yax2+3ax+4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 SABC10，点 P 为第二象限内抛物线上的一点，连接 BP（1）求抛物线的解析式；（2）如图 1，过点 P 作 PDx 轴于点 D，若BPD2BCO，求的值；（3）如图 2，设 BP 与 AC 的交点为 Q，连接 PC，是否存在点 P，使 SPCQSBCQ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】
31、解：（1）把 x0 代入 yax2+3ax+4 得 y4，点 C 坐标为（0，4），OC4，SABCABOC2AB10，=12AB5，抛物线对称轴为直线 x，=-32=32点 A 横坐标为4，-3252=点 B 横坐标为1，-32+52=即点 A 坐标为（4，0），点 B 坐标为（1，0），把（1，0）代入 yax2+3ax+4 得 04a+4，解得 a1，yx23x+4（2）设 BP 交 y 轴于点 E，PDx 轴，PDOC，BPDBEO，BEO2BCO，EBCECB，EBEC，设 OEm，则 CEBE4m，在 RtBOE 中，由勾股定理得 BE2OB2+OE2，1+m2（4m）2，解得 m
32、，=158点 E 坐标为（0，）158设直线 BE 解析式为 ykx+b，将（0，），（1，0）代入 ykx+b 得，158158=0=+解得，k=-158=158yx=-158+158令x23x+4x，=-158+158解得 x或 x1，=-178点 D 的横坐标为，-178AD（4），BD1（），=-178=158-178=258=158258=35（3）不存在，理由如下：作 PMx 轴交 AC 延长线于点 M，SPCQSBCQ，Q 为 BP 中点，PMQBAQ，PMBA5，设 P（t，t23t+4），则 M（t+5，t23t+4），设直线 AC 解析式为 yax+b，把（4，0），（0，4）代入解析式得，0=-4a+b4=解得，a=1=4yx+4，点 M 在直线 AC 上，t23t+4t+5+4，该方程无解，符合题意的点 P 不存在
