1、 湖南省三湘名校（五市十校）湖南省三湘名校（五市十校）2019 届高三届高三 3 月联考月联考 数学（理科）试题数学（理科）试题 第第卷（选择题）卷（选择题） 一、选择题一、选择题. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合 M，然后取补集即可. 【详解】=,全集 则 故选：C 【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题. 2.已知 是虚数单位， 是 的共轭复数，若，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意
2、可得：， 则，据此可得， 的虚部为 . 本题选择 A 选项. 3.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学 情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图： 则下列结论正确的是（ ） A. 与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少 B. 与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 与 2015 年相比，2018 年艺体达线人数相同 D. 与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2015 年该校参加高考的人数为
3、 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 对于选项 A.2015 年一本达线人数为.2018 年一本达线人数为， 可见一本达线人数增加 了，故选项 A 错误； 对于选项 B，2015 年二本达线人数为，2018 年二本达线人数为，显然 2018 年二本达线 人数不是增加了 0.5 倍，故选项 B 错误； 对于选项 C，2015 年和 2018 年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项 C 错误； 对于选项 D，2015 年不上线人数
4、为.2018 年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选 D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关 系列式计算是解题的关键 4.已知双曲线的左右焦点分别为， 其一条渐近线方程为， 点在该双曲线上， 则=“( “ ) A. B. C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 由题知，故， ，故选择 C。 5.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股 圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角三角形再加上中间的一个小正 方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构
5、造如下图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个 小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边 三角形（阴影部分）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可 【详解】 在中， 由余弦定理， 得， 所以. 所以所求概率为. 故选 A. 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 6.已知函数（，）的最小正周期为 ，且其图像向左平移 个单位后，得到函数 的图像，则函数的图像（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D
6、. 关于点对称 【答案】C 【解析】 试题分析：依题意，平移后为， 关于对称. 考点：三角函数图象与性质. 7.设函数为函数的导函数，则函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：，可得是奇函数，排除 C，当时，排除 A、D，故选 B. 考点：函数求导. 【方法点晴】作为选择题，不一定要像解答题那样正面解答，排除法不失为一种简单的方法首先从函数的 奇偶性可以 C，其次采用特殊值的方式对进行赋值，最好是特殊角，可求三角函数值，是比较好值， 由此得出函数值小于 ，故排除 A，C，这样答案就确定了，本题难度中等 8.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示
7、. 则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为 1,高 为 1 的四棱锥,体积,故选 C. 【考点】根据三视图求几何体的体积 【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强， 较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等. 9.在二项式的展开式中， 其常数项是 15.如下图所示， 阴影部分是由曲线和圆及 轴 围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用二项式定理得到中间项系数，解得
8、a，然后利用定积分求阴影部分的面积 【详解】 （x 2+ ） 6展开式中，由通项公式可得 , 令 123r0，可得r4,即常数项为，可得15，解得a2 曲线yx 2和圆 x 2+y22 的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题 10.如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点 为上底面的中心，过三 点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点 ，设与 平面所成角为 ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 EF，可证平行四边形 E
9、FGH 为截面，由题意可找到与平面所成的角，进而得到 sin 的最 大值. 【详解】 连接 EF， 因为 EF/面 ABCD,所以过 EFO 的平面与平面 ABCD 的交线一定是过点 O 且与 EF 平行的直线， 过点 O 作 GH/BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH/EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 为，三棱柱 EBH-FCG 为，设 M 点为的任一点，过 M 点作底面的垂线，垂足 为 N，连接,则即为与平面所成的角，所以=，因为 sin=,要使 的 正弦最大，必须 MN 最大，最小，当点 M 与点 H 重合时符合题意，故 sin 的最大
10、值为=, 故选：B 【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题. 11.设函数是定义在 上的偶函数， 且， 当时， 若在区间 内关于 的方程（且）有且只有 4 个不同的根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由，得，又是定义在上的偶函数，所以，即 ，则函数是以 4 为周期的函数，结合题意画出函数在上的图象与函数 的图象，结合图象分析可知，要使与的图象有 4 个不同的交点，则有 由此解得，即 的取值范围是，选 . 考点：函数的奇偶性、周期性，函数的零点，函数的图象. 12.如图， 是坐标原点， 过的直线分别交抛物线于 、
11、两点， 直线与过点 平行于 轴 的直线相交于点 ，过点 与此抛物线相切的直线与直线相交于点 .则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 过E（p，0）的直线分别交抛物线y 22px（p0）于 A、B两点，不妨设直线AB为xp，分别求出M，N的 坐标，即可求出答案 【详解】过E（p，0）的直线分别交抛物线y 22px（p0）于 A、B，两点为任意的，不妨设直线AB为xp， 由，解得y， 则A（p，） ，B（p，） ， 直线BM的方程为yx，直线AM的方程为y-x， 解得M（p，） ，|ME| 2（2p）2+2p26p2， 设过点M与此抛物线相切的直线为y+k（x+p） ，
12、 由，消x整理可得ky 22py2 +2p 2k0， 4p 24k（2 +2p 2k）0， 解得k， 过点M与此抛物线相切的直线为y+p（x+p） ， 由，解得N（p，2p） ， |NE| 24p2， |ME| 2|NE|26p24p22p2， 故选：C 【点睛】本题考查了直线和抛物线位置关系，以及直线和直线的交点坐标问题，属于难题 第第卷（非选择题）卷（非选择题） 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.已知实数满足不等式组，则的最小值为_ 【答案】-13 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的
13、直线进行平移， 可得当xy1 时，z2x+y取得最小值 【详解】作出不等式组表示的平面区域： 得到如图的阴影部分，由 解得B（11，2）设zF（x，y）x+y，将直线l：zx+y进 行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最小值， z最小值F（11，2）13 故答案为：13 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域 和简单的线性规划等知识，属于基础题 14.平面向量，（R） ，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 . 【答案】2 【解析】 试题分析：， 与 的夹角等于 与 的夹角，所以 考点：向量的坐标运算与向量夹角 15.甲袋中装有 3 个
14、白球和 5 个黑球， 乙袋中装有 4 个白球和 6 个黑球， 现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋 中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为_ 【答案】 【解析】 【分析】 甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲 袋中的白球不会减少，另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，并由乙袋取白球放入甲 【详解】甲袋中白球没有减少的两种情形；一是从甲袋中取出的球为黑球，记作事件E， 此时不论从乙袋中取何种球放回甲袋，甲袋中的白球不会减少， 另一种情形为从甲袋中取出的球是白球，放入乙袋，此事件用F1表示， 并
15、由乙袋取白球放入甲，用F2表示，令FF1F2则所求事件为EF，且E与F互斥， 显然P（E） ， 下面计算P（F） ，记F1为由甲袋取出白球（不放入乙袋） ，F2为当乙袋内有 5 个白球，6 个黑球时取出一球为 白球，则显然有P（F1F2）P（F1F2） 而F1与F2独立，故P（F1F2）P（EF）P （E）+P（F） + 故答案为： 【点睛】本题关键是看清题意，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概 率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式 16.已知的三边分别为所对的角分别为，且三边满足，已知的外接圆的面 积为，设.则的取值范围为_，函数的最大值的取值范
16、围为 _ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 化简已知等式结合余弦定理可得角 B,然后利用基本不等式可得 a+c 的范围， 再利用配方可得函数 f(x)的最大 值，由 a+c 的范围即得 f(x)最大值的范围. 【详解】由，可知 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 化简得,由余弦定理可得 cosB= ,又 B(0,),B= , 因为,解得 R=, 由 ,解得 b=3, 由余弦定理得， 由基本不等式可得，解得 a+c6,根据两边之和大于第三边可得 a+c3,即 a+c 得 取值范围是； =-+4（a+c）sinx+2=-2 又-1sinx1,可知 sinx=1 时，
17、函数 f(x)的最大值为 4（a+c）, 函数的最大值的取值范围为 故答案为：(1) (2) 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查利用基本不等式求最值，考查分析与推理和计算能力. 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.在数列中，前 项之和为. （1）若是等差数列，且，求 的值； （2）对任意的有：，且.试证明：数列是等比数列. 【答案】 （1）（2）见证明 【解析】 【分析】 （1）由等差数列的通项公式计算即可； （2）由已知可得数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，利用等 比数列的前 n 项和公式计算可得数列的通项，
18、从而可得到证明. 【详解】解： （1）设的公差为 ，则由已知可得： 解得 （2）由得：数列的奇数项和偶数项依次均构成等比数列， 由已知，得. 解得 即是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，属于基础 题. 18.某单位为促进职工业务技能提升，对该单位 120 名职工进行一次业务技能测试，测试项目共 5 项.现从中 随机抽取了 10 名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表 1）所示（“”表示测试 合格，“”表示测试不合格）. 表 1： 编号测试项目 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
19、 6 7 8 9 10 规定：每项测试合格得 5 分，不合格得 0 分. （1）以抽取的这 10 名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率. 设抽取的这 10 名职工中，每名职工测试合格的项数为 ，根据上面的测试结果统计表，列出 的分布列， 并估计这 120 名职工的平均得分； 假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有 5 名职工，求这 5 名职工中至少有 4 人得分不少于 20 分的概率； （2）已知在测试中，测试难度的计算公式为，其中为第 项测试难度， 为第 项合格的人数， 为参 加测试的总人数.已知抽取的这 10 名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表 2）
20、： 表 2： 测试项目 1 2 3 4 5 实测合格人数 8 8 7 7 2 定义统计量， 其中为第 项的实测难度，为第 项的预测难度 （）.规定：若，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测 项目的难度，如下表（表 3）所示： 表 3： 测试项目 1 2 3 4 5 预测前预估难 度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 判断本次测试的难度预估是否合理. 【答案】 （1）分布列见解析，平均得分为； （2）合理. 【解析】 【分析】 （1） 可取，由表格中数据，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而 可 得 分 布 列 ， 进 而 利 用 期 望 公 式
21、可 得的 数 学 期 望 ， 由的 值 可 得 平 均 分 ； 由 知 ，由互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式可得结果； （2）直接利用方差公式求出方差，与比较大小即可得结果. 【详解】 （1）根据上面的测试结果统计表，得 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.2 0.4 0.1 所以 的数学期望. 所以估计这 12 名职工的平均得分为. “得分不小于 20 分”即“”， 由知. 设该科室 5 名职工中得分不小于 20 分的人数为 ，则. 所以， 即这 5 名职工中至少有 4 人得分不小于 20 分的概率为. （2）由题意知 该次测试的难度预估是合理的. 【点睛】
22、本题主要考查互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与 数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有 可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值公式进行计算，也就是要过三关： （1） 阅读理解关； （2）概率计算关； （3）公式应用关. 19.如图，在三棱锥中，底面是边长为 4 的正三角形，底面，点分别为，的 中点. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点 ，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，确定点 的位置； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】
23、 【分析】 （1）先证明，可得平面从而平面平面； （2） 由题意可知两两垂直， 分别以方向为轴建立坐标系， 求出平面的法向量及， 代入公式可得未知量的方程，解之即可. 【详解】 （1）证明：， 为的中点， 又平面，平面， 平面 平面 平面平面 （2）解：如图，由（1）知，点 ， 分别为的中点， ，又， 两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系. 则， 设， 所以 ，设平面的法向量，则 ，令，则， 由已知 或（舍去） 故 故线段上存在点 ，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 此时 为线段的中点. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标 系；第二，
24、破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四， 破“应用公式关”. 20.已知中，点 在上，且. （1）求点 的轨迹 的方程； （2）若，过点 的直线与 交于两点，与直线交于点 ，记，的斜率分别为， 求证：为定值. 【答案】 （1）； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）结合题意，证明到，发现轨迹是椭圆，结合椭圆性质，即可。 （2）设出直线 MN 的方程，代 入椭圆方程，设出 M，N 坐标，利用坐标，计算，代入 ，即可。 【详解】 （1）如图三角形中，所以， 所以， 所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，长轴为 4 的椭圆（不包含实轴的端点） ， 所以点
25、的轨迹 的方程为. 注：答轨迹为椭圆，但方程错，给 3 分；不答轨迹，直接写出正确方程，得 4 分（未写出，这次不另 外扣分）. （2）如图，设，可设直线方程为，则， 由可得， ， ， ， ， 因为 ， 所以为定值. 【点睛】本道题考查了椭圆的性质和直线与椭圆位置关系，难度较大。 21.设函数，. （1）若函数存在单调递减区间，求 的取值范围； （2）若存在，使不等式成立，求 的取值范围. 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出（2）问题等价于“当xe，e 2时，有 f（x）max，分类 讨论，利用导数和函数的最值关系即可求出 【详解】解： （1
26、）函数的定义域为， 因为函数存在单调递减区间，所以有解. （2）问题等价于“当，有 当时，在上是单调递增函数 由得 当时，的值域为 若，在上是单调递减函数 由得与矛盾. 若，即，则的单调性及值域知，存在唯一的 使且当时，当时， 由得 与矛盾 综上所述， 的取值范围是 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归 能力，属于中档题 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，圆 的极坐标方程为. （1）求圆 的直角坐标系方程与直线 的普通方程； （2）
27、设直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的倍，求 的值. 【答案】(1)圆 的直角坐标方程为；直线 的普通方程为. (2)或. 【解析】 试题分析： （）将 参数消去可得直线 的普通方程，根据 带入圆 可得 直角坐标系方程； （）利用弦长公式直接建立关系求解即可 试题解析： （1）圆 的直角坐标方程为； 直线 的普通方程为 （2）圆，直线， 直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的倍， 圆心 到直线的距离， 解得或 23.选修 4-5：不等式选讲 已知关于 的不等式的解集不是空集，记 的最小值为 . （1）求 ； （2）已知，max 求证：. 注：表示数集 中的最大数. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值三角不等式求出|x3|+|x5|的最小值即可求出t； （2）由（1）得： 根据 基本不等式的性质求出即可 【详解】解： （1）因为. 当时取等号，故，即. （2）由（1）知，则， 等号当且仅当， 即时成立. ，. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题
