1、 湖南省三湘名校（五市十校）湖南省三湘名校（五市十校）2019 届高三届高三 3 月联考月联考 数学（文科）试题数学（文科）试题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1.已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解出集合 M，然后取补集即可. 【详解】=,全集 则 故选：C 【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单
2、题. 2.已知 是虚数单位， 是 的共轭复数，若，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得：， 则，据此可得， 的虚部为 . 本题选择 A 选项. 3.某地某所高中 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学 情况，统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如下柱状图： 则下列结论正确的是（ ） A. 与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少 B. 与 2015 年相比，2018 年二本达线人数增加了 0.5 倍 C. 与 2015 年相比，2018 年艺体达线人数相同 D. 与
3、 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案. 【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为. 对于选项 A.2015 年一本达线人数为.2018 年一本达线人数为， 可见一本达线人数增加 了，故选项 A 错误； 对于选项 B，2015 年二本达线人数为，2018 年二本达线人数为，显然 2018 年二本达线 人数不是增加了 0.5 倍，故选项 B 错误； 对于选项 C，
4、2015 年和 2018 年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项 C 错误； 对于选项 D，2015 年不上线人数为.2018 年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选 D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关 系列式计算是解题的关键 4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七， 要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的 比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ） A. 174 斤 B. 1
5、84 斤 C. 191 斤 D. 201 斤 【答案】B 【解析】 用表示 8 个儿按照年龄从大到小得到的绵数， 由题意得数列是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996， ， 解得 选 B 5.已知椭圆的离心率为，则实数 等于（ ） A. 2 B. 2 或 C. 2 或 6 D. 2 或 8 【答案】D 【解析】 若焦点在 轴时， ，根据 ，即 ，焦点在 轴 时， ，即 ，所以 等于 或 8，故选 D. 6.若是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
6、若，因为 垂直于平面 ，则或；若，又 垂直于平面 ，则，所以“”是“的 必要不充分条件，故选 B 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系 7.如下图，在平行四边形中，对角线与交于点 ，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果 【详解】画出图形，如下图 选取为基底，则， 故选 C 【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题 （1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选 择基底会给解题带来方便 （2） 利用已知向量表示未知向量， 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向
7、量的加减运算或数乘运 算 8.在矩形中，若向该矩形内随机投一点 ，那么使与的面积都小于 4 的概 率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题是一个几何概型的概率，以 AB 为底边，要使面积小于 4，则三角形的高要，得到两个三角形的高即 为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对应区域，利用面积比求概率 【详解】由题意知本题是一个几何概型的概率， 以 AB 为底边，要使面积小于 4，由于， 则三角形的高要 ，同样，P 点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图， 其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 ， 使得ABP 与ADP 的面积都小于 4 的概率为：
8、； 故选：A 【点睛】本题考查几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键 9.已知集合， 在集合 中任取三个元素， 分别作为一个三位数的个位数， 十位数和百位数， 记这个三位数为 ，现将组成 的三个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为 （例如，则，） ，阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入 一个 ，则输出 的值为（ ） A. 792 B. 693 C. 594 D. 495 【答案】D 【解析】 试题分析：A，如果输出的值为792，则 ，不满足题意 B，如果输出的值为 693，则， ，不满足题意 C，如果输出的值为 594，则 ，不满足题意 D，如
9、果输出的值为 495，则， 满足题意故选 D 考点：程序框图 10.过点的直线 被圆所截得的弦长最短时，直线 的斜率为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：点在圆内，要使得过点的直线 被圆所截得的弦长最短， 则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为，所以所求直线斜率为 1，故选择 A 考点：直线与圆的位置关系 11.已知函数，若，且，则 的单调递增区间为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知条件求出三角函数的周期，再由求出 的值，结合三角函数的单调性求出单 调增区间 【详解】设的周期为 ，由，得，
10、 由，得，即， 又， ， 由， 得 的单调递增区间为 故选：B 【点睛】本题主要考查利用的图象特征的应用，解析式的求法属于基础题 12.已知定义在 上的函数的图像关于直线对称，且当时，.若是函数 图像上的两个动点，点，则当的最小值为 0 时，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得 值,问题得解 【详解】解：如图， 显然的模不为 0 ， 故当最小值为 0 时,只能是图中的情况，此时，且,与函数图象相切，根据对称性， 易 得， 设， 当时， ， ， ， 即， ， ， 当时，递增， 故
11、其最小值为：， 根据对称性可知， 函数在 上最小值为 故选： 【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 9090 分）分） 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13.已知实数满足不等式组，则的最小值为_ 【答案】-13 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的直线进行平移， 可得当xy1 时，z2x+y取得最小值 【详解】作出不等式组表示的平面区域： 得到如图的阴影部分，由 解得B（
12、11，2）设zF（x，y）x+y，将直线l：zx+y进 行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最小值， z最小值F（11，2）13 故答案为：13 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域 和简单的线性规划等知识，属于基础题 14.若函数的定义域是，则函数的定义域为_ 【答案】 【解析】 【分析】 由函数 y=f（x）的定义域为 ，2，知 log2x2，由此能求出函数 y=f（log2x）的定义域即可 【详解】函数 y=f（x）的定义域为 ，2， log2x2， x4 故答案为： 【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考
13、查学生对这些知识的掌握水平和分析推 理能力. 15.已知数列的前 项和为，.当时，则_ 【答案】1010 【解析】 【分析】 由题意可得：，整理变形可知当时，数列任意连续两项之和为 1，据此 求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 两式作差可得：，即, 即当时，数列任意连续两项之和为 1， 据此可知：. 【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其 通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 16.如图，在三棱锥中，、两两垂直，且，.设 是底面内一点， 定义， 其中分别是三棱锥、 三棱锥、 三棱锥的体积.若， 且恒成立 ，
14、则正实数 的最小值为_ 【答案】1 【解析】 PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=3PB=2，PC=1= +x+y 即 x+y= 则 2x+2y=1，又，解得 a1 正实数 a 的最小值为 1 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） （一）必考题：（一）必考题：6060 分分 17.在中，内角所对的边分别为，且. （1）求 ； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】 （1）;（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意利用正弦定理边化角可得，则，据此确定角C
15、的值即可； （2）由题意结合面积公式可得，结合余弦定理可得，据此求解ABC的周长即可. 【详解】 （1），由正弦定理可得：， ，可得：， ，. （2），的面积为， 可得：， 由余弦定理可得：， 解得：， 的周长. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 18.如图是某地区 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图. 注：年份代码分别表示对应年份. （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 （线性相关较强）加以说 明； （2）建立 与 的回归方程(系数精确到 0
16、.01)，预测 2019 年该地区生活垃圾无害化处理量. 参考数据：， ，. 参考公式：相关系数， 在回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 【答案】 （1）见解析； （2）1.744 【解析】 【分析】 (1)根据题中所给的公式得到 r=0.990.75,进而得到结论； （2）根据公式计算得到回归方程，再将 2019 年所 对应的 t=8 代入方程可得到估计值 【详解】(1)由题意得, 所以与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与 的关系. （2）由已知得， ， 所以， 关于 的回归方程为： 将 2019 年对应的代入回归方程得：. 所以预测 2019 年该地区生活
17、垃圾无害化处理量将约万吨. 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的 直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方 程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值 是预测变量的估计值，不是准确值. 19.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面，四边形为平行四边形， ，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】 （1）见解析； （2）4 【解析】 【分析】 （1） 推导出AC1A1C，ACAB，AA1AB， 从而AB平面ACC
18、1A1， 进而A1B1AC1， 由此能证明AC1平面A1B1CD （2）由CD2，得AD4，ACAA12，三棱谁C1A1CD的体积：，由此能 求出结果 【详解】(1)为三棱柱，且平面ABC， 四边形ABCD为平行四边形， 是正方形， 设，则， ， ，平面， ， ，平面 解：(2)， 三棱谁的体积： ， 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20.已知动圆 过定点，且与定直线相切. （1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）过点的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点，试探究在 轴上是否存在定点 （异于
19、点 ） ， 使得？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) ， （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据抛物线的定义即可得解； （2）假设存在点满足题设条件，由题意可得直线与的斜率互为相反数，即，设 ，设,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入 求解即可. 【详解】 （1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点的距离与到定直线的距离相等， 由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其中 动圆圆心 的轨迹 的方程为 解法 2：设动圆圆心 ，依题意：. 化简得：，即为动圆圆心 的轨迹 的方程 （2）解：假设存在点满足题设条件 由可知，直线与的斜率互为相反数，
20、 即 直线的斜率必存在且不为 ，设, 由得 由,得或 设，则 由式得 , ,即 消去，得, , , 存在点使得 【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该 问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定 点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21.已知. （1）若，讨论函数的单调性； （2）当时，若不等式在上恒成立，求 的取值范围. 【答案】 （1）见解析； （2）. 【解析】 【分析】 （1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；
21、 （2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范 围即可. 【详解】 （1）的定义域为 ， 当时，；时， 函数在上单调递减；在上单调递增. （2）当时， 由题意，在上恒成立 若，当时，显然有恒成立；不符题意. 若，记，则, 显然在单调递增， （i）当时，当时， 时， （ii）当， 存在，使. 当时，时， 在上单调递减；在上单调递增 当时，不符合题意 综上所述，所求 的取值范围是 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考 查学生的转化能力和计算求解能力. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分分. .请考生在请考生在
22、 2222、2323 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，圆 的极坐标方程为. （1）求圆 的直角坐标系方程与直线 的普通方程； （2）设直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的倍，求 的值. 【答案】(1)圆 的直角坐标方程为；直线 的普通方程为. (2)或. 【解析】 试题分析： （）将 参数消去可得直线 的普通方程，根据 带入圆 可得 直角坐标系方程； （）利用弦长公式直接建立关系求
23、解即可 试题解析： （1）圆 的直角坐标方程为； 直线 的普通方程为 （2）圆，直线， 直线 截圆 的弦长等于圆 的半径长的倍， 圆心 到直线的距离， 解得或 23.选修 4-5：不等式选讲 已知关于 的不等式的解集不是空集，记 的最小值为 . （1）求 ； （2）已知，max 求证：. 注：表示数集 中的最大数. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值三角不等式求出|x3|+|x5|的最小值即可求出t； （2）由（1）得： 根据 基本不等式的性质求出即可 【详解】解： （1）因为. 当时取等号，故，即. （2）由（1）知，则， 等号当且仅当， 即时成立. ，. 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题
