1、 第 1 页 共 11 页 新人教版新人教版八年级下八年级下17.217.2 勾股定理的逆定理同步练习及答案勾股定理的逆定理同步练习及答案 第第 0202 课课 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 【例【例 1 1】若ABC 三边长满足下列条件，判断ABC 是不是直角三角形？若是，请说明哪个教角是直角 （1）BC= ，AB= ，AC=1； （2）ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a=n 21，b=2n，c=n2+1（n1） 【例【例 2 2】如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。 【例【例 3 3】如图，AC
2、B 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D 为 AB 边上一点。 求证：ACEBCD；若 AD=5，BD=12，求 DE 的长。 第 2 页 共 11 页 【例【例 4 4】观察下列等式：3 2+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412按照这样的规律，第七个等式是： _。 【例【例 5 5】如图,已知在正方形 ABCD 中,F 为 DC 的中点,E 为 CB 的四等分点且 CB=4CE.求证：AFFE 【例【例 6 6】如图,已知ABC 中,C=90,D 为 AB 的中点,E、F 分别在 AC、BC 上,且 DEDF.求证：AE 2BF2EF
3、2 第 3 页 共 11 页 课堂同步练习课堂同步练习 一、选择题： 1、若线段 a，b，c 组成 Rt，则它们的比可能为( ) A2：3：4 B3：4：6 C.5：12：13 D.4：6：7 2、ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题中的假命题是( ) A如果CB=A，则ABC 是直角三角形 B.如果 c 2=b2a2，则ABC 是直角三角形，且C=90 C.如果（c+a）（ca）=b 2，则ABC 是直角三角形 D.如果A：B：C=5：2：3，则ABC 是直角三角形 3、ABC 的三边为 a、b、c，且（a+b）（ab）=c 2，则( ) A.ABC 是锐角三角形 B.c
4、 边的对角是直角 C.ABC 是钝角三角形 D.a 边的对角是直角 4、下列命题中，其中正确的命题的个数为( ) RtABC 中,已知两边长分别为 3 和 4,则第三边长为 5；有一个内角与其他两个内角的和相等的三角形是 直角三角形；三角形的三边分别为 a，b，c，若 a 2c2=b2，则C=90；在ABC 中,A:B:C=1:5:6， 则ABC 是直角三角形 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5、如图，在由单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是 ( ) A. CD、EF、GH B. AB、CD、GH C.AB、EF、GH D.A
5、B、CD、EF 6、如图，四边形 ABCD 中，B=D=90，A=45，AB=3，CD=1，则 BC 的长为( ) A3 B2 C D 7、如图,有一块地 ABCD,已知 AD=4 米，CD=3 米,ADC=90,AB=13 米,BC=12 米,则这块地面积为（ ） A60 米 2 B48 米2 C30 米2 D24 米2 8、在ABC 中，C=90，c 2=2b2，则两直角边 a，b 的关系是( ) Aab CA=b D以上三种情况都有可能 第 4 页 共 11 页 9、已知 a，b，c 为ABC 的三边长，且满足 a 2c2b2c2=a4b4，判断ABC 的形状（ ） A等腰三角形 B直角
6、三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 10、已知：在ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足 a 2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC 的形状( )。 A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 11、 如图， 在 55 的正方形网格中， 以 AB 为边画直角ABC， 使点 C 在格点上， 满足这样条件的点 C 的个数 （ ） A6 B7 C8 D9 12、如图,P 是等边三角形 ABC 内的一点,连结 PA,PB,PC,以 BP 为边作PBQ=60,且 BQ=BP,连结 CQ.若 PA:PB:PC=3:4:5，连结 P
7、Q，试判断PQC 的形状（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 二、填空题： 13、有四个三角形，分别满足下列条件： （1）一个内角等于另外两个内角之和； （2）三个内角之比为 3：4：5； （3）三边之比为 5：12：13； （4）三边长分别为 7、24、25 其中直角三角形有 个 14、在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边， 若 a 2b2c2，则c 为_； 若 a 2b2c2，则c 为_； 若 a 2b2c2，则c 为_ 15、已知一个三角形的三边长分别是 12，16，20，则这个三角形的面积为 16、如图，D 为ABC 的边 BC 上一点，
8、已知 AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则 BC 的长为_ 第 5 页 共 11 页 17、 已知 a、 b、 c 是ABC 的三边长， 且满足关系式 222 bac+|a-b|=0,则ABC 的形状为 。 18、如图，AB=5，AC=3，BC 边上的中线 AD=2，则ABC 的面积为_ 19、如图，由四个边长为 1 的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC，则ABC 中 BC 边上的高是 。 20、如图，ABC 是边长 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别在 AB、BC 边上均速移动， 它们的速度分别为 Vp=2cm/s，VQ
9、=1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 ts，则 当 t= s 时,PBQ 为直角三角形 三、简答题： 21、如图,有一块地,已知 AD=4m,CD=3m,ADC=90,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。 22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中 AB 长为 24 米,BC 长 15 米,CD 长为 20 米,DA 长 7 米,C=90.求绿 地 ABCD 的面积 第 6 页 共 11 页 23、已知ABC 三边长 a,b,c 满足 a 2+b2+c2-12a-16b-20c+200=0,请判断ABC 的形状并说明理由. 24、已知:A
10、BC 的三边分别为 m 2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形. 25、如图,已知一块四边形草地 ABCD,其中A=45,B=D=90,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积 26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一 C 处需要爆破已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为 300 米，与公路上的另一停靠站 B 的距离为 400 米，且 CACB，如图所示为了安全起见，爆破点 C 周围半径 250 米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路 AB 段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明 第 7 页 共 11 页 勾股定理逆定理
11、同步测试题勾股定理逆定理同步测试题 1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( ) A6，8，10 B5，12，13 C1，2，3 D9，12，15 2、五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 3、三角形的三边长为 a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( ) A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 4、若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 5、下列说法中, 不正确
12、的是 ( ) A. 三个角的度数之比为 1:3:4 的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形 C. 三边长度之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为 5:12:13 的三角形是直角三角形 6、有长度为 9cm、12cm、15cm、36cm、39cm 的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 7、有下列判断:ABC 中，则ABC 不直角三角形；ABC 是直角三角形，则 ；ABC 中，则ABC 是直角三角形；若ABC 是直角三角形，则 （，正确的有（ ） A、4 个 B、3
13、 个 C、2 个 D、1 个 8、如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴 于点 M，则点 M 表示的数为（ ） 第 8 页 共 11 页 A2 B C D 9、 如图,有一块地,已知 AD=4 米,CD=3 米,ADC=90,AB=13 米,BC=12 米,则这块地的面积为( ) A. 24 平方米 B. 26 平方米 C. 28 平方米 D. 30 平方米 10、在下列条件中：在ABC 中,A:B:C=1:2:3；三角形三边长分别为 32，42，52；在ABC 中,三边 a， b，c 满足(a+b)(a-b)=c2
14、；三角形三边长分别为 m-1,2m,m+1(m 为大于 1 的整数)，能确定ABC 是直角三角形的 条件有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11、在ABC 中，如果（a+b）（ab）=c2，那么 =90 12、若三角形三边分别为 6，8，10，那么它最长边上的中线长是 13、某住宅小区有一块草坪如图 4 所示，已知 AB=3 米，BC=4 米，CD=12 米， DA=13 米，且 ABBC，这块草坪的面积是 。 14、若一个三角形的三边长分别为 1、a、8(其中 a 为正整数),则以a-2、a、a+2 为边 的三角形面积为 15、 在ABC 中， 若其三条边的长度分别为 9、 1
15、2、 15， 则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是_ 16、如图,RtABC 中,ACB=90,ABC=60,BC=2cm,D 为 BC 的中点,若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发, 沿着 ABA 的方向运动,设 E 点的运动时间为 t 秒,连接 DE,当BDE 是直角三角形时,t 的值 17、如图,一块地,已知 AD=4m,CD=3m,ADC=90,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。 18、如图，已知ADC=90，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24 （1）证明：ABC 是直角三角形（2）请求图中阴影部分的面积 第 9 页 共 11 页 19、如图，在AB
16、C 中,ABC=45,CDAB,BEAC,垂足分别为 D、E,F 为 BC 中点,BE 与 DF,DC 分别交于点 G,H,ABECBE(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG2GE2EA2 20、已知 a、b、c 为ABC 的三边,且满足 a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC 的形状 解：a2c2b2c2=a4b4， c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2） c2=a2+b2 ABC 是直角三角形 问： （1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为 ； （3）本题正确的解题过程： 例题答案详解 【例【例 1 1】解：（1）（ ） 2+12=
17、 =（ ） 2，BC2+AC2=AB2ABC 是直角三角形； （2）（n 21）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2+1）2，a2+b2=c2，ABC 是直角三角形 【例【例 2 2】解析：由 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3) 2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3) 20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 3 2+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。 【例【例 3 3】通过 SAS 证明全等 13 【例【例 4 4】15
18、15 2 2+112 +112 2 2+113 +113 2 2. . 【例【例 5 5】提示：连结 AE，设正方形的边长为 4a，计算得出 AF，EF，AE 的长，由 AF 2EF2AE2得结论 【例【例 6 6】提示：延长 FD 到 M 使 DMDF，连结 AM，EM 课堂同步参考答案 1、C 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、D 10、A 11、C 12、A 13、答案为 3 14、锐角；直角；钝角 15、96 16、14 17、等腰直角三角形 18、6提示：延长 AD 到 E，使 DEAD，连结 BE，可得ABE 为 Rt 19、 20、 或 21、24 第
19、10 页 共 11 页 22、【解答】解：连接 BD如图所示： C=90，BC=15 米，CD=20 米，BD=25（米）； 在ABD 中，BD=25 米，AB=24 米，DA=7 米，24 2+72=252，即 AB2+BD2=AD2， ABD 是直角三角形S四边形 ABCD=SABD+SBCD= ABBD+ BCCD= 247+ 1520=84+150=234（平方米）； 即绿地 ABCD 的面积为 234 平方米 23、a=6, b=8, c=10, 直角三角形 24、证明： 所以ABC 是直角三角形. 25、150m 2提示：延长 BC，AD 交于 E 26、解：公路 AB 需要暂时封
20、锁理由如下：如图，过 C 作 CDAB 于 D 因为 BC=400 米，AC=300 米，ACB=90，所以根据勾股定理有 AB=500 米 因为 SABC= ABCD= BCAC 所以 CD=240 米 由于 240 米250 米，故有危险，因此 AB 段公路需要暂时封锁 同步测试题参考答案 1、C 2、C 3、C 4、C 5、B 6、B 7、C 8、C 9、A 10、B 11、90 12、5 13、36 14、8 提示：7a9，a8 15、 108 16、2,6,3.5,4.5 17、24 18、解答】（1）证明：在 RtADC 中，ADC=90，AD=8，CD=6， AC2=AD2+CD
21、2=82+62=100，AC=10（取正值） 在ABC 中，AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676， AC2+BC2=AB2，ABC 为直角三角形； 第 11 页 共 11 页 （2）解：S阴影=SRtABCSRtACD=102486=96 19、证明：（1）CDAB，BEAC，BDH=BEC=CDA=90， ABC=45，BCD=180-90-45=45=ABCDB=DC， 1 BDH=BEC=CDA=90， A+ACD=90，A+HBD=90，HBD=ACD， 在DBH 和DCA 中， BDHCDA BDCD HBDACD DBHDCA（ASA），BH=AC （2）连接 CG， 由（1）知，DB=CD， F 为 BC 的中点，DF 垂直平分 BC，BG=CG， 点 E 为 AC 中点，BEAC，EC=EA， 在 RtCGE 中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2， CE=AE，BG=CG，BG2-GE2=EA2 20、【解答】解：（1） （2）除式可能为零； （3）a2c2b2c2=a4b4， c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2），a2b2=0 或 c2=a2+b2， 当 a2b2=0 时，a=b；当 c2=a2+b2时，C=90， ABC 是等腰三角形或直角三角形 故答案是，除式可能为零
