1、92第六章第六章 弯曲应力弯曲应力11/30/2022921.引言引言2.弯曲正应力弯曲正应力3.弯曲切应力弯曲切应力4.梁的强度条件梁的强度条件5.梁的合理强度设计梁的合理强度设计6.双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲11/30/202292一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292LaaFFFFF图QF(+)(-)-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（）。）。0,0QFM0,0QFM横力弯曲横力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩
2、又有剪力（有剪力（）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292 正应力分析方法正应力分析方法弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292M1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等直细长对称截面梁2 2、前提、前提:(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件，（c c）纯弯曲。）纯弯曲。3 3、实验观察、实验观察:MM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长长度保持长度保持不变的纵
3、不变的纵向纤维向纤维横截面上横截面上只有正应只有正应力无剪应力无剪应力力纵向纤维间无挤压作用纵向纤维间无挤压作用弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力中性轴中性轴中性层
4、中性层中性轴中性轴11/30/2022925 5、理论分析、理论分析（1 1）变形分布规律）变形分布规律mmnndx1o2oaby变形后变形后oo曲率中心，曲率中心，y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径，21oo纵向纤维纵向纤维ab:变形前变形前 dxooab21d变形后变形后 ba dy)(弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力oba11/30/202292所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:ababdxddy)(dydy横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规
5、律。曲率曲率),(1);(则则曲率曲率),(1);(则则.,1yC当当；时0,0y.,maxmax时yy与实验结果相符。与实验结果相符。(a)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)EyE对一定材料，对一定材料，E=C；对一定截面，对一定截面，.1Cy横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。成比例。当当；时0,0y.,maxmax时yy与实验结果相符。与实验结果相符。应力为零的点的连线。应力
6、为零的点的连线。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M11/30/202292（3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA由由 得得0 xFdAA=0将将(b)(b)式代入，得式代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即即中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面中性轴通过形心，并垂直于载荷作用面。(c)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292静力平衡条件静力平
7、衡条件,0yF,0zF0 xM自动满足。自动满足。考虑平衡条件考虑平衡条件0yMzdAMAy)(AdAyzE0AyzdAE0yzIyy、z z轴为截面的形心主惯性轴轴为截面的形心主惯性轴(d)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA11/30/202292 对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，对于实心截面，若截面无对称轴，要使梁产生平面弯曲，亦必须满足亦必须满足 。即。即y y、z z轴为截面的形心主惯性轴。轴为截面的形心主惯性轴。所以所以只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯曲。只要外力作用在形心主惯性平面内同样可产生平面弯
8、曲。0yzI中性轴的特点：中性轴的特点：平面弯曲时梁横截面上的平面弯曲时梁横截面上的中性轴一定是形心主轴中性轴一定是形心主轴，它，它与外力作用面垂直，即与外力作用面垂直，即中性轴是与外力作用面相垂直中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。的形心主轴。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA11/30/202292考虑平衡条件考虑平衡条件MMzydAMAz)(AdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdA11/30/2
9、02292可得可得挠曲轴的曲率方程挠曲轴的曲率方程：zEIM1 为常数，挠取轴为常数，挠取轴是一条圆弧线是一条圆弧线zEI抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为zIMy横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为zIMymaxmaxmax/yIMzzWM弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292maxyIWzz截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz 竖放：
10、竖放：,1213bhIz31,12zIhb261bhWzbhhb216zWhb平放：平放：若若hb,则则 。zzWW弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1(6444D)(Dd)1(3243DWz弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292由由纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁：的梁：(b)(b)对对R/h55的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程
11、为：非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：EIxMx)()(1正应力计算公式为正应力计算公式为yIxMx)()(a)横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比横力弯曲的细长梁，即梁的跨高比:L/h55时，时，其误差不大；其误差不大；弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力hR11/30/202292 注意注意：（1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩中性轴的惯性矩；以及；以及所求的是该截面上哪一点的正所求的是该截面上哪一点的
12、正应力应力，并，并确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力在梁的上下边缘处正应力最大最大。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292（4 4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩
13、的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/2022926 6、弯曲正应力强度条件：、弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；,maxzWM（2 2）设计截面设计截面，即已知，即已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；,maxMmaxMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。,ZWmaxzWM弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面
14、上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292L=4mABq=0.5KN/m例例6-1 一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8.0DdMPa12图M(+)281qL弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292解：解：2max81qLMmN.100.13由强度条件由强度条件)1(3243DWzmaxMmD113.0若外径若外径D
15、增加一倍，则增加一倍，则,226.0mD 仍由强度条件，得仍由强度条件，得2max81qLMzW)1(3243DmKNq.0.4弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力取取 q=4.0 KN.m所以，所以，取取 D=0.113m11/30/202292例例6-2 已知已知 材料的材料的 ，由，由M图知：图知：，试校核其强度。，试校核其强度。mNM.102.15max70tcMPa16281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置CzyAS28 16 14 8 10(14 5)28 16 8 10 ASyzCcm13（2 2）求）求zW弯曲应力弯曲
16、应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zCzCy单位：单位：cm11/30/202292)1319(108108121)1314(281628161212323zI426200 cm（3）正应力校核）正应力校核3max1748)1328(26200cmyIWzz 5max61.2 1068.651748 10zMMPaW所以结构强度足够。所以结构强度足够。问题：问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力11/30/202292对于对于T字形截面，字形截面，,max2max
17、1yy则则,max11yIWzzmax,max1czMWmax,max2,tzMW对于对于低碳钢低碳钢等材料，等材料，,tc因此只需计算因此只需计算max 对于对于铸铁铸铁材料，材料，,tc因此需计算因此需计算max,max1cczMWmax,max2,ttzMW弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zmax2ymax1ymax22yIWzz11/30/202292二、弯曲时的剪应力二、弯曲时的剪应力11/30/202292s 在有剪应力存在的情形下，在有剪应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在弯曲正应力公式依然存在s 剪应力方向与剪力的方向相同，并剪应力方向
18、与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于（对于狭长的矩形截面适用）狭长的矩形截面适用）在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用力，而无须应用“平衡，变形协调和物性关系平衡，变形协调和物性关系”。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292（一）矩形截面（一）矩形截面LABF(+)(-)图QFbh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1 1、沿、沿 mm,nn 截面截开，截面截开，取微段取微段dxdx。mmnndxmmnnSFSFMM+dMmmnn12kl图M(+)
19、弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292mn12kl2 2、沿、沿 kl 截面截开，根据剪应力的互等定理：截面截开，根据剪应力的互等定理：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为面上可认为 均布。均布。1NF2NFSF120NSNFFF3、列平衡方程，由、列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdA弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292而而,11zIMyzIydMM12)(代入得：代入得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIM11AzdAyIdMbdx*zSzzbISdxdM*SF*SzzF SbI弯曲应力
20、弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292*SzzF SbI（儒拉夫斯基公式）（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：式中符号意义：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩*zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zIb：y处的宽度处的宽度bhzy 对于矩形：对于矩形：czyAS*cyc 222yhyyhb2242yhb弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/2022923121bhIz而而2236()4SFhybh因此矩形截面梁横截面上的因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高
21、度按剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线抛物线规律分布。规律分布。并且并且;0,2hymax30,2SFybh32SFA弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误差分析FS Sz*bIz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292（二）工字形（二）工字形截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力翼缘翼缘1、腹板、腹板*()SzzF SyI)(yz腹板腹板式中式中(y)：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y处横线一侧的部分面积处横线一侧的部分面积 对中性轴的静矩对中性轴的静矩*
22、zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zI：y处的宽度处的宽度 弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力y11/30/202292腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力腹板上的剪应力呈抛物线变化，腹板部分的剪应力合力占总剪力的占总剪力的9597%。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力,maxmaxSzzF SI,max(/)SzzFIS11/30/2022922、翼缘、翼缘)(z)(y翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽翼缘部分的水平剪应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成的竖向剪力形成“剪应力流剪应力流”。
23、翼缘部分的剪应力强度计算时一翼缘部分的剪应力强度计算时一般不予考虑。般不予考虑。腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里的这里的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的剪应力实际值接近以腹板剪应力公式所得到的结果。结果。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292 max=43FSA（三）其它形状（三）其它形状截面梁的弯曲切应力截面梁的弯曲切应力圆截面圆截面弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力FS11/30/2022
24、92 max=2.0FSA圆环截面圆环截面zySFmax弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292（四）（四）切应力强度条件切应力强度条件,maxmaxmax SzzF SI对于等宽度截面，对于等宽度截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。不一定发生在中性轴上。maxmax在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中
25、力较大力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。需要较核剪应力强度。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292例如例如LABF0.9LABFF0.2L0.2L0.6L(+)(-)图QF0.9F0.1F图M(+)0.09FLF图QF(+)(-)-F0.2FL(+)M-图图弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292例例6-3 铸铁梁的截面
26、为铸铁梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ，。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？况又如何？MPa35100cMPa40tMPaAB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmyczzcy弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力AyFByF约束反力：约束反力：,30KNFAy,10KNFBy11/30/202292200mm30200mmyczzcy解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置C
27、zyAS2320102035.21203ASyzCcm75.1546013 cm23)1075.15(203203121zI23 5.1)75.1520(320320121最大静矩：最大静矩：88.775.153max,zS3372 cm弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292AB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图AyFByF约束反力：约束反力：图QF(+)(-)(-)20KN10KN10KN图M(+)(-)10KN.m20KN.mSF-图图M由由 、知：知：S,max20KN,SAFF左20KN mAM10K
28、N mDM 30KN,AyF10KN,ByF弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：A)(maxA)(maxz2max8(4.25 3)10()6013 10AAM24.1MPa24.1MPa2max815.75 10()6013 10AAM52.4MPa52.4MPa200mm30200mmyczzcy弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292对于对于D D截面：截面：2max815.75 10()6013 10DDM26.2MPa2max87.25 10()6013 10
29、DDM12MPaD)(maxD)(maxz26.2MPa12MPa200mm30200mmyczzcyA)(maxA)(maxz24.1MPa52.4MPa弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292maxmax()26.2MPa40MPaDtmaxmax()52.4MPa 100MPaDc正应力强度足够正应力强度足够。因此因此（4 4）剪应力强度校核）剪应力强度校核在在A A截面：截面：S,max,maxmaxzzFSI36820 10 372 100.03 6013 104.12MPa 剪应力强度足够剪应力强度足够。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力1
30、1/30/202292（5 5）若将梁的截面倒置，则）若将梁的截面倒置，则maxmax()52.4AtMPa此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczzcyA)(maxzMPa1.24A)(maxMPa4.52弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力11/30/202292三、提高弯曲强度的一些措施三、提高弯曲强度的一些措施弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工
31、字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/2022922、根据截面模量选择：、根据截面模量选择：为了比较各种截面的合理性，以为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡量。越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形状截面形状圆形圆形矩形矩形槽钢槽钢工字钢工字钢0.125d0.167d
32、(0.270.31)h(0.270.31)h(d=h)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/2022923、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,tc宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,tc宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：yczcyty拉边拉边压边压边maxmaxcztzMyIMyIctyyct即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11
33、/30/202292（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低（二）、合理安排载荷和支承的位置，以降低 值。值。maxM1 1、载荷尽量靠近支座：、载荷尽量靠近支座：LABF0.5L图M(+)0.25FLLABF0.8L图M(+)0.16FL弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292LABF0.9L图M(+)0.09FLLABF图M弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/2022922 2、将集中力分解为分力或均布力。、将集中力分解为分力或均布力。LABF0.5L图M(+)0.25FL0.25LABF0.5L0.25L
34、图M0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施中铁十二局集团合武铁路客运专线 900t双线整孔箱梁正在运往小煨灌冲中桥 11/30/2022923 3、合理安排支座位置及增加支座、合理安排支座位置及增加支座减小跨度，减小减小跨度，减小 。maxMABF0.6L0.2L0.2L图M0.025FL(+)0.02FL0.02FLABFL图M0.125FL(+)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292ABF0.5L0.5L图M(+)(+)FL321FL5129FL5129（三）、选用合理结构（三）、选用合理结构1 1
35、、等强度梁、等强度梁设计思想：设计思想：按按M(x)的变化来的变化来设计截面，采用设计截面，采用变截面梁变截面梁横截面沿着梁轴线变化的梁。横截面沿着梁轴线变化的梁。)()(maxxWxMz)()(xMxWz弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292例如：例如：矩形截面悬臂梁，设矩形截面悬臂梁，设h=const,b=b(x),则则FLx2)(61)(hxbxWz)(xMFx26)(hFxxbx=0时时，b=0,但要有足够的面积承受剪力。但要有足够的面积承受剪力。因此因此,23maxAFs而而 hbAminhFb23min（沿梁轴线呈线性分布）（沿梁轴线
36、呈线性分布）弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/2022922 2、桁架、桁架整体桁架整体桁架受弯构件受弯构件桁架中单个杆件桁架中单个杆件受轴向拉压受轴向拉压弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/2022923 3、拱、拱ABFAyFByFAxFBxF,maxM提高强度提高强度NAXFF压应力使截面上拉压应力使截面上拉应力降低，可使抗拉能应力降低，可使
37、抗拉能力差的材料充分利用。力差的材料充分利用。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施11/30/202292四、四、双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲 当外力作用面不通过当外力作用面不通过主惯性主惯性平面时平面时,则弯曲变形后则弯曲变形后,梁的轴线不在外力作用面内梁的轴线不在外力作用面内.斜弯曲斜弯曲zyF组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292zyFzyzyzFyFzFyFxz平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲xy平面内的平面弯曲平面内的平面弯曲组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292xyzFzyF组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲
38、yFzFcos,sinFFFFyz11/30/202292zyzM中性轴中性轴)(yxM中性轴中性轴()xzM组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲zyyM11/30/202292zyyMC(y,z)yyCIzM1zzCIyM2所以所以zzyyCCCIyMIzMzy21),(zyIyFxIzFxcossin)cossin(zyIyIzFxzyC(y,z)zM组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292zyF中性轴中性轴 tantanzyII中性轴的确定：中性轴的确定：0cossinzyIyIz,0令则则拉拉压压组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292zyII 即即中性轴并不垂直
39、于外力作用面。中性轴并不垂直于外力作用面。zyF中性轴中性轴 拉拉压压组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292,zyII 所以所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。zyF中性轴中性轴 拉拉压压组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292对于圆形截面对于圆形截面zyF中性轴中性轴 组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292zyF中性轴中性轴 拉拉压压),(111zy),(333zy)cossin(11maxzyIyIzPl)cossin(),(
40、zycIyIzPlzy)cossin(33maxzyIyIzPl)cossin(11maxzyIyIzM)cossin(33maxzyIyIzM组合变形组合变形/斜弯曲斜弯曲11/30/202292五、弯拉（压）组合与截面核心五、弯拉（压）组合与截面核心LABqFFABFFABq+弯曲弯曲拉伸拉伸组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合11/30/202292LABq1、求内力、求内力xAyFByF),(轴力FFN),(剪力qxFFAys),(212弯矩qxxFMAy组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合LABFFx11/30/2022922、求应力、求应力),(均布AFNN),
41、(线性分布zMIMyzNMNIMyAF3、建立强度条件、建立强度条件maxminmaxzNWMAF组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合11/30/202292LAB1.3m1.3mCF30D例例6-4 旋转式悬臂吊车架，由旋转式悬臂吊车架，由18号工字钢制成横梁号工字钢制成横梁AB，A处为处为光滑铰链，光滑铰链，BC杆为拉杆，杆为拉杆，F=25KN，试校核试校核横梁强度。横梁强度。MPa100组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合11/30/202292LAB1.3m1.3mCF30DAxFAyFBF1、分析外力、分析外力3;22AyAxFFFF2、内力分析、内力分析3252
42、1.652NAxFFkNmax1125 2.616.2544MFlkN m3、截面几何性质，查表、截面几何性质，查表18号工字钢号工字钢，得，得2330.756;185zxAcmWWcm组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合11/30/202292组合变形组合变形/弯拉（压）组合弯拉（压）组合4、应力分析、应力分析maxmaxNzFMAW3332321.65 1016.25 101030.756 10185 107.0487.8494.88MPa 所以，横梁正应力强度足够所以，横梁正应力强度足够11/30/202292六、偏心拉（压）六、偏心拉（压）zyxF),(zyeeDo,yzzy
43、mFemFezyxFozmym组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292zyxFozmymmnkl轴力：轴力：FFNyzzzyyFemMFemM,弯矩：弯矩：ozMyMmnklNF组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292利用叠加原理：利用叠加原理：zFozMyMmnkly),(zyEzFomnkly),(zyEzozMyMmnkly),(zyEzozMmnkly),(zyE+组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292zFomnkly),(zyEAFAFNN1zozMmnkly),(zyEzzMIyM1zoyMmnkly)
44、,(zyEyyMIzM2组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292因此因此zFozMyMmnkly),(zyEMMN211AFzzIyMyyIzM组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292zFozMyMmnkly),(kkzy),(mmzymaxFA zkzIyMykyMzIAFmaxzkzIyMykyIzM组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292中性轴的确定：中性轴的确定：0zzyyIyMIzMAF),(yz令令则则即即0zyyzIyFeIzFeAF即即01zyyzIyeIzeA组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压
45、）11/30/202292,0z令令则则,0y令令则则zyzAeIzazyei2yzyAeIyayzei2zy中性轴中性轴拉拉压压),(zyeeDzzae,0yyae,0所以所以组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292讨论：讨论：1、中性轴与、中性轴与F力作用点总是位于截面形心力作用点总是位于截面形心o的两侧；的两侧；2、中性轴若与截面相割，将截面分成受压和受拉两部分；、中性轴若与截面相割，将截面分成受压和受拉两部分；3、当、当F力作用点越接近截面形心力作用点越接近截面形心o时（即偏心程度减小），时（即偏心程度减小），则中性轴离截面形心越远，可以与截面相切，甚至移出截
46、面则中性轴离截面形心越远，可以与截面相切，甚至移出截面以外，这时截面上只有一种性质的应力。以外，这时截面上只有一种性质的应力。截面核心截面核心：当偏心力作用在截面上一定区：当偏心力作用在截面上一定区域内时，在截面上只引起一种性质的应力，域内时，在截面上只引起一种性质的应力，此区域称为截面核心此区域称为截面核心。组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292截面核心的确定：截面核心的确定：作若干条与截面边界相切的中性轴，分别求出其截距作若干条与截面边界相切的中性轴，分别求出其截距 ，然后代人下式，然后代人下式zy,yzyzyzaieaie22,求得偏心力的作用点求得偏心力的作
47、用点 ，这些点的连线就是截，这些点的连线就是截面核心的周界线。面核心的周界线。),(yzee组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292zyD例例6-5 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心分别确定圆截面与矩形截面的截面核心.中性轴中性轴(a)圆截面圆截面C根据对称性根据对称性,它的截面核心亦为一圆它的截面核心亦为一圆.如中性轴与如中性轴与C点相切点相切,则则zyaDa,2,821622DDDaieyzy02zyzaie相应的载荷作用点在相应的载荷作用点在K ,截面核心为一直径为截面核心为一直径为D/4的圆的圆.)8,0(DK截面核心截面核心组合变形组合变形/偏心拉（压）偏心拉（压）11/30/202292(b)矩形截面？矩形截面？Czybh弯曲应力弯曲应力/弯拉（压）组合与截面核心弯拉（压）组合与截面核心11223344AK(h/6,0)L(-h/6,0)m(b/6,0)n(-b/6,0)11/30/20229211/30/2022
