1、2材料力学材料力学材料力学与理论力学研究方法的异同材料力学与理论力学研究方法的异同1.理论力学的研究对象是刚体理论力学的研究对象是刚体,材料力学的研究对象是变形体材料力学的研究对象是变形体.所以所以,理论力学中有理论力学中有 关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中关静力等效的概念不能随意运用到材料力学中.如力和力偶的作用位置一般不能随如力和力偶的作用位置一般不能随便移动便移动.分布载荷不能用合力随便代替等分布载荷不能用合力随便代替等.2.刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁刚化原理是刚体受力平衡过渡到变形体受力平衡的桥梁,即即:已知变形体在力系已知变形体在力系作用下处于平衡作用下
2、处于平衡,如果把变形体如果把变形体“刚化刚化”,则平衡状态不变则平衡状态不变.从道理上讲从道理上讲,构件在构件在受力时是同时发生形变的受力时是同时发生形变的,所以应是对变形后的结构应用刚化原理所以应是对变形后的结构应用刚化原理,从而列出静力从而列出静力平衡方程平衡方程.但是如果材料是小变形的条件下但是如果材料是小变形的条件下(即结构的改变量相对与结构的原始尺即结构的改变量相对与结构的原始尺寸是很小的量寸是很小的量),变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小变形前后的尺寸变化对用静力平衡方程求的结果影响非常小,则一则一般就用变形前的尺寸求解平衡方程般就用变形前的尺寸求解平衡方程.3.
3、理论力学研究的是质点系和刚体系统的平衡和运动理论力学研究的是质点系和刚体系统的平衡和运动,基本的思考路径为基本的思考路径为,受力分受力分析析,运动分析运动分析,建立方程求解建立方程求解.材料力学研究的是变形体结构在静力作用下的应力分材料力学研究的是变形体结构在静力作用下的应力分布和变形布和变形.基本思考路径为基本思考路径为,静力平衡或有条件的静力等效分析静力平衡或有条件的静力等效分析,几何变形分析几何变形分析,材料材料的力的力形变关系的确立形变关系的确立.其中其中,几何变形分析的难易往往决定整个问题的难易几何变形分析的难易往往决定整个问题的难易.4.材料的连续均匀材料的连续均匀,使我们可借助于
4、连续函数及微积分计算使我们可借助于连续函数及微积分计算,各向同性使得应各向同性使得应力力应变关系变得简单应变关系变得简单,特别是材料的线弹性及小变形特别是材料的线弹性及小变形,使几何变形计算和应使几何变形计算和应力力应变分析变得容易应变分析变得容易.尽管如此尽管如此,变形的分析计算相对应力的分析计算还是要变形的分析计算相对应力的分析计算还是要难一些的难一些的.3一一.轴向拉压轴向拉压基本公式基本公式:AFN 横截面上的应力横截面上的应力:斜截面上的应力与斜截面上的应力与横截面应力关系横截面应力关系:2cos12 2sin2EAlFlN 纵向伸长纵向伸长E 纵向应变纵向应变横向应变横向应变 EA
5、lFVN22 弹性应变能弹性应变能弹性应变能密度弹性应变能密度Ev2212 功能关系功能关系UW niiiiNAElFPi12221(胡克定律胡克定律)4难点难点:位移的计算、超静定问题位移的计算、超静定问题(包括包括 温度应力、装配应力温度应力、装配应力)例例1.在图示简单的杆系中在图示简单的杆系中,设设AB和和AC分别为直径为分别为直径为20cm 和和40cm的圆截面杆的圆截面杆,E=200GPa,F=5kN.l=2m.试求试求A点的位移点的位移.3030BCAFl l 解解:取取A点分析受力点分析受力Axy30301F2F:0 xF21FF :0 xFFFF 020130sin30sin
6、)(521kNFF mmEAlF16.021201020042000105233111 mmEAlF04.081401020042000105233222 mmAEy2.0230sin21202 mmtgAEAAx07.0300 303060301 2 ADEDEAA53030BCAFl l Axy30301F2F解解:取取A点分析受力点分析受力:0 xF21FF :0 xFFFF 020130sin30sin)(521kNFF 用能量法可求本题用能量法可求本题A点的竖直位移点的竖直位移2221212221EAlFEAlFFy 236223623401020024200010520102002
7、4200010510521 y mmy2.08121 6 例例2.刚杆如图示刚杆如图示,其横截面其横截面A=25cm.若在加载荷若在加载荷P 之前之前,杆的下端与地面的间杆的下端与地面的间 隙为隙为 =0.3mm,已知已知 P=200 kN,E=210GPa.试求上下端的反力试求上下端的反力.1.5m1.5m P解解:加载后加载后,变形的叠加过程如图示变形的叠加过程如图示1.5m1.5m PP1.5m1.5m P2F1F由静力平衡由静力平衡 120021 PFF由变形协调由变形协调 11112222AElFAElF3.0250010210150025001021015003132 FF 210
8、512 FF由由(1)、(2)联立联立 kNF5.1522 kNF5.471 7 例例2(又解又解).刚杆如图示刚杆如图示,其横截面其横截面A=25cm.若在加载荷若在加载荷P 之前之前,杆的下端与地杆的下端与地面的间隙为面的间隙为 =0.3mm,已知已知 P=200 kN,E=210GPa.试求上下端的反力试求上下端的反力.1.5m1.5m P又解又解:先求伸长为先求伸长为 的力的力P3.025001021015003 P NP331010515002500102103.0 NPPP31095 1.5m1.5m P 2F1F由静力平衡由静力平衡:9521 PFF此时此时,上端反力上端反力 k
9、NF1052 由变形协调由变形协调250010210150025001021015003132 FF12FF 所以有所以有:kNF5.472 kNF5.471 kNFFF5.152222 8例例3打入粘土的木桩长为打入粘土的木桩长为L,顶上的载荷为顶上的载荷为F.设木桩的自重不计设木桩的自重不计,而木桩上单而木桩上单位长度上的摩擦力按位长度上的摩擦力按f=Ky2变化变化,K为常数为常数.若若F=420kN,L=12m,木桩截面木桩截面A=640cm2,E=10GPa.试确定常数试确定常数K的数值的数值,并求木桩的缩短并求木桩的缩短.FfLfyO2Kyf 解解:由静力平衡由静力平衡FfdyL 0
10、3120210420 FdyKymmNmNK/729.0/729 在离底部任意在离底部任意y长时桩内的轴力长时桩内的轴力302243ydKFyN 由胡克定律由胡克定律 mdyyEAdyFlLN712034901019683106401010243 mml9683.1 9例例4 图示简单杆系图示简单杆系,两杆长度均为两杆长度均为l=3m,横截面面积横截面面积A=10cm2.材料的应材料的应力力 应变关系如图示应变关系如图示.E1=70GPa,E2=10GPa.试分别计算当试分别计算当 F=80kN 和和F=120kN时时,节点节点B的位移的位移.030030FB12 MPa1001E2Eo解解:
11、取取B点分析受力点分析受力由静力学平衡方程式可得由静力学平衡方程式可得:kNFFNN8021 当当F=80kN 时时 kNFFNN12021 当当F=120kN 时时0600601 2 0160cos B由形变协调由形变协调:10030030FB120600601 2 MPa1001E2Eo0160cos B由形变协调由形变协调:当当F=80kN mmAElFN428.31010107010310802333111 mmB857.660cos01 mmAElFAElFNN2857.1010101010103102010101070103101002333233321111 当当F=120kN
12、mmB57.2060cos01 11例例5.图示结构图示结构,AB为刚性杆为刚性杆,设设l1、l2 分别表示分别表示1、2杆的长度杆的长度,1 和和 2 分别表示它们分别表示它们的伸长的伸长,则当求解两斜杆的内力时则当求解两斜杆的内力时,相应的变形协调条件是什么相应的变形协调条件是什么?aa1 2 12ABF解解:需要寻求的是纯几何关系需要寻求的是纯几何关系注意小变形的条件注意小变形的条件由相似比可得由相似比可得:2:1sin:sin1122 角度可认为变形前后是相等的角度可认为变形前后是相等的1 2 B 例例6.铸铁压缩试件是沿最大剪应力面破坏的铸铁压缩试件是沿最大剪应力面破坏的.但实践表明
13、其破坏截面与水平但实践表明其破坏截面与水平面不成面不成450.而是大约而是大约530.试说明原因并证明试说明原因并证明.在铸铁压缩试验中在铸铁压缩试验中,铸铁的破坏面是最大剪应力面铸铁的破坏面是最大剪应力面,之所以不是之所以不是450的斜面的斜面,主要是由于受压的材料有滑动内摩擦力所致主要是由于受压的材料有滑动内摩擦力所致.12设一铸铁压缩试件如图设一铸铁压缩试件如图.其内摩擦系数为其内摩擦系数为f=0.28.试计算受压破坏时的破坏试计算受压破坏时的破坏面的法线与轴线的夹角面的法线与轴线的夹角 530.P x F 解解:对于任意对于任意 角角相应截面的剪力为相应截面的剪力为 FA fAA 即是
14、即是作函数作函数 fAA 由横斜截面应力由横斜截面应力变换公式可知变换公式可知:2cos12 2sin2 AAA 2cos228.0228.02sin2令令 0 02sin28.02cos AA02sin28.02cos 57.328.012tan 0135.742 012.37 0265.1052 0282.52 012.37 不合题意不合题意,故取故取0025382.52 0651050 考查考查 函数可知函数可知:因而对应的截面有最大的剪力因而对应的截面有最大的剪力.13二二.圆轴扭转圆轴扭转基本公式基本公式:斜截面上的应力与斜截面上的应力与横截面应力关系横截面应力关系:2sin 2co
15、s剪切弹性应变能密度剪切弹性应变能密度Gv2212 横截面上的应力横截面上的应力:pIT ppWTIRT max相对扭转角相对扭转角dxGITlp 0pGIlT 或或(T在在l 长内为常量长内为常量)单位长度扭转角单位长度扭转角pGITdxd 剪应力互等定理剪应力互等定理:在互相垂直的平面上在互相垂直的平面上,剪应力必然成对存在剪应力必然成对存在,且数值相等且数值相等,两者垂直于二两者垂直于二平面的交线平面的交线,方向同指或同背离此交线方向同指或同背离此交线.14极惯矩极惯矩dAIDp 2抗扭截面系数抗扭截面系数RIWpt RRrR 空心圆轴空心圆轴薄壁圆筒薄壁圆筒实心圆轴实心圆轴443212
16、1DRIp 3316121DRWt 44444444132112132121 DRdDrRIp 43431161121 DRWt 32022 RRdRIp 22 RWt15例例1.厚度厚度 =8mm的钢质圆筒的钢质圆筒,平均直径平均直径D=200mm.圆筒两端受扭转力偶矩圆筒两端受扭转力偶矩M=30kN.m的作用的作用,试求横截面上的切应力试求横截面上的切应力.如果筒长如果筒长L=1m,试求纵向截试求纵向截面上承受的剪力的大小面上承受的剪力的大小.MMMM MParT7.598100210302262 解解:由薄壁筒扭转之切应力计算公式由薄壁筒扭转之切应力计算公式:由剪切互等定理可得由剪切互等
17、定理可得:而薄壁筒内切应力沿壁厚大致相等而薄壁筒内切应力沿壁厚大致相等于是有于是有:)(6.477477600100087.59kNNLFs sFsF 16圆轴扭转补充例题圆轴扭转补充例题例例2.图示圆轴有图示圆轴有A、B两个凸缘两个凸缘,该圆轴在力偶该圆轴在力偶Me 作用下发生了扭转变形作用下发生了扭转变形.这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起这时将一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起,然后解除力偶然后解除力偶Me.设圆轴和设圆轴和圆筒的抗扭刚度分别是圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和和G2Ip2.求轴内和筒内的扭矩求轴内和筒内的扭矩.(凸缘视为刚体凸缘视为刚体.)解解:属装配应力属装配应力设所
18、求圆轴和圆筒上扭矩分别为设所求圆轴和圆筒上扭矩分别为T1和和T2.由整体平衡可得由整体平衡可得:21TT 1T2 eM1 2T 21 由形变协调可得由形变协调可得:由扭转变形可得由扭转变形可得:11222111peppIGlMIGlTIGlT eMeMABl22112221PppeIGIGIGMTT 17例例3.由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴由两种不同的材料构成的圆筒与圆柱组成一等截面圆轴.里层和外层材料的里层和外层材料的切变模量分别为切变模量分别为G1和和G2 且且G1 G2.圆轴受扭时圆轴受扭时,里层和外层之间无相对滑动里层和外层之间无相对滑动.关关于横截面上切应力分布有
19、于横截面上切应力分布有(a)、(b)、(c)、(d)四种所示的结论四种所示的结论.试判断哪一种是试判断哪一种是正确的正确的?T2G1G a b c d例例4.直径为直径为 d 的圆截面杆的圆截面杆,材料的应力材料的应力 应变关系如图示应变关系如图示.求整个截面全屈服时的极求整个截面全屈服时的极限扭矩限扭矩.TT Os dddATDsDs 212320220dddsds s d18 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。因此，在里、外层交界处二者具
20、有相同的切应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量小于外层（圆环截面）的剪切弹性模量，所以内层在二者交界处的切应力一定小于外层在二者交界处的切应力。19三三.弯曲内力弯曲内力 剪力和弯矩剪力和弯矩(2)简单载荷下的剪力方程和弯矩方程简单载荷下的剪力方程和弯矩方程,剪力剪力 弯矩图弯矩图(3)利用微积关系作剪力利用微积关系作剪力 弯矩弯矩 图图(1)剪力和弯矩正负号的规定剪力和弯矩正负号的规定1.在剪力图中某点处切线的斜率在剪力图中某点处切线的斜率,等于相应截面处的载荷集度等于相应截面处的载荷集度,弯矩图中某点弯矩图中某点处切线的斜率处切线的斜率,等于相应截面处的剪力等于相应截面处的剪力.2.
21、一段梁中一段梁中,若载荷为零若载荷为零,则剪力图为水平直线则剪力图为水平直线,而弯矩图为梁长的一次函数而弯矩图为梁长的一次函数.若载荷为均匀分布若载荷为均匀分布,则剪力图为梁长的一次函数则剪力图为梁长的一次函数,而弯矩图为梁长的二次数而弯矩图为梁长的二次数.若载荷为线性分布若载荷为线性分布,则剪力图为梁长的二次函数则剪力图为梁长的二次函数,而弯矩图为梁长的三次函而弯矩图为梁长的三次函数数,依次类推依次类推3.一段梁中一段梁中,集中力引起剪力的突变集中力引起剪力的突变;集中力偶引起弯矩的突变集中力偶引起弯矩的突变,但对梁内的但对梁内的剪力没有影响剪力没有影响.4.剪力图中剪力图中,距原点某处的剪
22、力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的距原点某处的剪力等于该段梁上的载荷集度面积和集中外力的代数和代数和.5.弯矩图中弯矩图中,距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的距原点某处的弯矩等于该段梁上的剪力面积和集中外力偶矩的代数和代数和.20ABCED1m1m2m1m10kN2kN2kN/m4kNmkNFA7 kNFD9 7kN7kN3kN7kN2kN2kN（）（）（）（）（）（）7kNm4kNm8kNm2kNm（）（）（）（）（）（）例例1.21例例2.组合梁受载荷如图示组合梁受载荷如图示,求作剪力图和弯矩图求作剪力图和弯矩图.m3m2m2m2BmkN/2CEDADFAFBFm
23、kN/2CEBCFBF解解:分别取分别取CE梁及整体分析其平衡梁及整体分析其平衡kN310 kN34 kN6 由载荷图求剪力图由载荷图求剪力图由剪力图求弯矩图由剪力图求弯矩图 kNFsx mkNM.x3424 4C4 kNFB6 kNFA34 kNFD310 可得可得:22例例3.图示为双杠之一梁图示为双杠之一梁,每一梁由两根立柱支撑每一梁由两根立柱支撑,设两柱之间的跨度为设两柱之间的跨度为l;每一梁具有两个外伸段每一梁具有两个外伸段,设每一外伸段的长度均为设每一外伸段的长度均为a,假定运动员在双杠上假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点作动作时在每个梁上只有一个作用点,力的作用线
24、垂直于横梁力的作用线垂直于横梁.试决定在试决定在双杠的设计中双杠的设计中,l与与a的长度的最佳比值的长度的最佳比值,(即运动员在上运动时即运动员在上运动时,其上的弯矩其上的弯矩值的变化最小值的变化最小)设梁与立柱间的连接为铰接设梁与立柱间的连接为铰接.(第二届题第二届题)aal解解:当运动员在中点时当运动员在中点时,杠梁的最杠梁的最有最大弯矩为有最大弯矩为4Pl当运动员在杠梁的两端时当运动员在杠梁的两端时,杠杠梁的立柱处根部最有最大弯梁的立柱处根部最有最大弯矩为矩为Pa令令PaPl 4则有则有4la 232.物理方程物理方程(胡克定律胡克定律)yEE 3.静力学关系静力学关系zAMydA 平面
25、弯曲中横截面上弯曲正应力的公式平面弯曲中横截面上弯曲正应力的公式 y 1.几何变形几何变形zzEIM 1zzIyM :平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力平面纯弯曲梁上的横截面只存在正应力,以中性轴为界分为拉力以中性轴为界分为拉力区和压力区区和压力区.中性轴过截面的形心中性轴过截面的形心.min MMmax zyx四四.弯曲应力弯曲应力24zzmaxmaxWMIyM dAyIAz 2dAzIAy 2横截面对横截面对z 轴的惯性矩轴的惯性矩横截面对横截面对y 轴的惯性矩轴的惯性矩zzIyM yyIzM maxzzyIW 抗弯截面系数抗弯截面系数 常用截面的轴惯矩常用截面的轴惯矩:矩形截面矩形截面z
26、ybh1232222222bhdyydzdydzydAyIhhbbAAz 62bhWz 1232222222hbdzzdydydzzdAzIbbhhAAz 62hbWy 25yzd644442003222dRdrrdsinrdrdsinrdAyIIRAAyz 32433dRWWyz 44444444164114164141 DRdDrRIIyz 43431641141 DRWWyzRrzy平移轴定理平移轴定理:截面对某一轴的惯性矩截面对某一轴的惯性矩,等于该截面对平行此轴且过质心的等于该截面对平行此轴且过质心的轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方轴的惯性矩加上该截面面积乘以两轴距离的平方
27、.2dAIIZcZ 262002003030 Mpat40 Mpac160 z5.157 Cy42.5例例1.铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示铸铁梁的载荷和横截面尺寸如图示,许应拉应力许应拉应力 t=40MPa.许应压应力许应压应力 c=160MPa.试按正应力强度条件校核梁的强度试按正应力强度条件校核梁的强度.若载荷不变若载荷不变,但将但将T形横截面倒置形横截面倒置,即翼缘即翼缘在下成为在下成为形形,是否合理是否合理?何故何故?首先首先,确定梁内弯矩的极值确定梁内弯矩的极值.（）（）（）（）20kNm10kNm中性轴过形心中性轴过形心,故须确定形心的位置故须确定形心的位置.mmAyAyiiiC
28、5.1573020022153020010030200 )(60125005.573020012302005.5720030122003042323mmICz CzC2m3m1m20kN10kN/mABCD30kN10kN27在在B点处点处 tztMPaIC 1.245.7210206 czcMPaIC 39.525.15710206在在C点处点处 tztMPaIC 2.265.15710106故结构是安全的故结构是安全的.如果如果T形梁倒置形梁倒置,则在则在B 处有处有 MPaMPatt4039.52 结构不安全结构不安全.（）（）（）（）20kNm10kNm2002003030 Mpat4
29、0 Mpac160 z5.157 Cy42.5CzCBC czccMPaI 1.125.7210106(可略去可略去)28例例2截面为正方形的梁按图示两种方式放置截面为正方形的梁按图示两种方式放置,试问那一种方式比较合理试问那一种方式比较合理?zy看一看哪一个对看一看哪一个对 z 轴的惯性矩大轴的惯性矩大?zya12224422022adyyaydAyIaDz ayaaz222222 yaz 22124422022022adyydzdAyIazaDz 对于上图形对于上图形或或对于下图形对于下图形121243abhIz 29zyzya关于抗弯截面系数关于抗弯截面系数上图中上图中341222212
30、aaaWz 下图中下图中3341226212aaaaWz 显然显然,下图的放置更合理下图的放置更合理.zzWMmax zzWM 30例例3.在边长为在边长为2a的正方形的中部挖去一个边长为的正方形的中部挖去一个边长为a的正方形的正方形,则该图形对则该图形对 y 轴的惯性矩为多少轴的惯性矩为多少?由前面的例题可知由前面的例题可知,边长为边长为2a的正方形的正方形对对y轴的惯性矩为轴的惯性矩为3412)2(44aaIy 2ayza由对同一轴的惯性矩及图形的组合关系由对同一轴的惯性矩及图形的组合关系该图形对该图形对y轴的惯性矩为轴的惯性矩为451234444aaaIy 同理可有同理可有:454aIz
31、 M例例4.矩形截面梁纯弯曲矩形截面梁纯弯曲,设材料的抗拉弹性模量设材料的抗拉弹性模量Et 大于其抗压弹性模量大于其抗压弹性模量Ec,则正应力的分布应是则正应力的分布应是:A B C D31例例5 为改善载荷分布为改善载荷分布,在主梁在主梁AB上安置辅助梁上安置辅助梁CD.设主梁和辅助梁的抗弯截设主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为面系数分别为W1和和W2,材料相同材料相同,试求辅助梁的合理长度试求辅助梁的合理长度.2al 2al 2a2aFABCD2al 2al 2a2a2F2FABCD解解:对辅助梁对辅助梁,最大弯矩应满足最大弯矩应满足:22WM 24WFa对主梁对主梁,最大弯矩应满足最大弯矩
32、应满足:11WM 14WalF将上两式相除将上两式相除 12WWala 212WWlWa 材料相同材料相同,故故 相同相同.即是即是(对于同一种型材对于同一种型材,只要二梁的最大弯矩值一样即可只要二梁的最大弯矩值一样即可.)32例例6.一直径为一直径为d的钢丝绕在直径为的钢丝绕在直径为D的轴上的轴上,已知钢丝的屈服极限为已知钢丝的屈服极限为 s,弹性模量为弹性模量为E.若使钢丝不产生塑性变形若使钢丝不产生塑性变形,则轴的直径则轴的直径D的最小值应为多少的最小值应为多少?dD解解:由图中可知由图中可知2dD 由上式可得由上式可得EIMdD 2dDEIM 2若不产生塑性变形若不产生塑性变形,则应有
33、则应有:IddDEIIdMs222max dDEds 1sEdD 所以有所以有:EIM 1钢丝在弹性变形范围内恒有钢丝在弹性变形范围内恒有:IdM2max 相应地相应地,钢丝内最大应力为钢丝内最大应力为:33例例7.均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成均布载荷下的简支梁由圆管及实心圆杆套合而成,变形后两杆仍密切接触变形后两杆仍密切接触.两杆材料的弹性模量分别是两杆材料的弹性模量分别是E1和和E2,且且E1=2E2.试求两杆各自承担的最大弯矩试求两杆各自承担的最大弯矩值值.qlAB解解:11IE22IE设设 圆管承受弯矩为圆管承受弯矩为M1,圆圆杆承受弯矩为杆承受弯矩为M2.由静力学关系由
34、静力学关系:MMM 21变形后变形后,同一截面处的曲率相等同一截面处的曲率相等.2221111IEMIEM 联立求解可得联立求解可得:2211111IEIEIMEM 2211222IEIEIMEM 34qlAB11IE22IE2211111IEIEIMEM 2211222IEIEIMEM 由题意及已知条由题意及已知条件件82qlM 212EE 4414rRI 424rI 代入上二式可得代入上二式可得:44442124rRrRqlM 4442228rRrqlM 35 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程而而 tandxdww对于弯曲小变形对于弯曲小变形转角和挠度都是很小的量转角和挠度都是很小的量
35、 tan xyFw w=w(x)tan dxdww又又所以所以,w 23211wwK 考查考查略去高阶小量略去高阶小量2w 221dxwdw zzEIxM 1注意注意 EIxMdxwd 22 EIxMW 或或可有可有:五五.弯曲变形弯曲变形36xy例例1.(习习 6.4(d)用积分法求简支梁的挠曲线方程用积分法求简支梁的挠曲线方程.AqC2l2lB解解:建立坐标如图示建立坐标如图示求支反力得求支反力得:qlFA83 qlFB81 AFBF1OAFsFqx1MA截面法取受力对象如图截面法取受力对象如图,分别剪力分别剪力AC、CB段内的弯矩方程段内的弯矩方程.:01 om21283xqqlxM :
36、0 Cm0282228322 Mlxqllqlql162822qllxqlM CAFAq2lx2O2MsF)8(qlFs 028321 xqqlxM 20lx lxl2sFBF2MB2Oxl x若取右段分析若取右段分析02 Om xlqlM 82 1628822qllxqllxqlM 37xyAqC2l2lBAFBF21283xqqlxM 162822qllxqlM 20lx lxl221283xqqlxwEI 162822qllxqlwEI 13216163CxqqlxwEI 1143124161DxCxqqlxEIw 222216216CxqllxqlwEI 22223232248DxCx
37、qllxqlEIw 由由001 xw01 D02 lxw42238411qlDlC 1由由由由2221lxlxww 3213842qlCC 22221lxlxww 由由02 D由由(1)、(2)联立联立3238411qlC 313849qlC 38整理后可得整理后可得:20lx lxl233212836163qlEIxEIqqlxEI 3223841116216qlEIxEIqllxEIql xqlEIxEIqqlxEI343128324161 xqlEIxEIqllxEIql32233841132248 w 20lx lxl2xyAqC2l2lBAFBF39 三三.用叠加法求梁的转角和挠度用
38、叠加法求梁的转角和挠度几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值几个常用结构简单载荷下最大挠度和转角值,设梁长为设梁长为l,EI=常数常数ABMPABMABPABqABqBAEIMlB EIMlwB22 EIPlB22 EIPlWB32 EIqlB63 EIqlwB84 EIMlA6 EIMlB3 EIMlWl1622 EIPlBA162 EIPlWl4832 EIqlBA243 EIqlWl384542 40例例1.图示悬臂梁的抗弯刚度图示悬臂梁的抗弯刚度EI=30103N.m2,弹簧的刚度为弹簧的刚度为k=175103N/m.若若梁与弹簧间的孔隙为梁与弹簧间的孔隙为 =1.25mm,问当集中力
39、问当集中力F=450N作用于梁的自由端时作用于梁的自由端时,弹簧弹簧将分担多大的力将分担多大的力?750ABF BF 解解:先考虑下降先考虑下降 挠度对应的力挠度对应的力F1 EIlF331 9311030375025.1 F NF67.2661 梁及弹簧共同承担的力为梁及弹簧共同承担的力为:NFFF33.18312 由位移相等可得由位移相等可得:kFEIlFBB 3)33.183(317510303750)33.183(93BBFF NFB616.82 A750B2FBF41例例2.一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上.钢筋单位长度的重量为钢筋单位长度的重
40、量为q,抗抗弯刚度为弯刚度为EI.钢筋的一端伸出桌边钢筋的一端伸出桌边B的长度为的长度为a.试求钢筋自由端试求钢筋自由端A的挠度的挠度.ABa(第五届题第五届题)0 D 0 DMDBADqBAax解解:考虑先满足考虑先满足MD=0计算模型如下图计算模型如下图为满足为满足 D=0,则令则令 06242213 EIxqaEIqxD ax2 ax2 于是有于是有:EIqaEIqaaEIaqaaEIaqyA2432283224244221342例例3.求如下连续梁铰链处转角的间断值求如下连续梁铰链处转角的间断值.(第三届题第三届题)aaaFCAB对于对于AC梁的梁的C点点EIFa22 左左 EIFaa
41、EIFaEIFayC6523323 对于对于BC梁的梁的C点点EIFaayC652 右右 右右 左左 C43表现一点应力状态的媒体表现一点应力状态的媒体 单元体单元体单元体单元体:表现一点应力状态的无限小的闭合多面体表现一点应力状态的无限小的闭合多面体.一般取正六面体一般取正六面体.z x xy y yx 主平面主平面:单元体上无切应力的平面称为主平面单元体上无切应力的平面称为主平面.主应力主应力:主平面上的正应力主平面上的正应力,称为主应力称为主应力.一点的应力状态一点的应力状态,对于正六面体的单元体对于正六面体的单元体,至多有三对主应力至多有三对主应力.如果有一对主应力不为零如果有一对主应
42、力不为零,称此点的应力状态为单向应力状态称此点的应力状态为单向应力状态;如果有两对主应力不为零如果有两对主应力不为零,称此点的应力状态为平面应力状态称此点的应力状态为平面应力状态;如果三对主应力都不为零如果三对主应力都不为零,称此点的应力状态为空间应力状态称此点的应力状态为空间应力状态.六六.平面平面 应力状态分析应力状态分析44xyx y y x xy xy yx yx Ixyyxyx 2sin2cos22 IIxyyx 2cos2sin21.注意注意(I)、(II)式中所设坐标轴式中所设坐标轴x、y 的取向的取向.2.角是所求截面外法线与角是所求截面外法线与 x 轴正向的夹角轴正向的夹角,
43、以逆时针为正以逆时针为正,顺时针为负顺时针为负.3.上面各公式左边各项本身均为代数量上面各公式左边各项本身均为代数量.(含正负号含正负号)任意一点平面应力状态下应力随截面的任意一点平面应力状态下应力随截面的变化规律变化规律45任意两个互相垂直截面上应力的关系任意两个互相垂直截面上应力的关系x y y x xy xy yx yx 对于任意一方向角为对于任意一方向角为 的截面上的应力的截面上的应力,我们有我们有 Ixyyxyx 2sin2cos22 IIxyyx 2cos2sin2对于方向角为对于方向角为 =+900 的截面上的应力的截面上的应力,我们有我们有)90(2sin)90(2cos220
44、0 xyyxyx 2sin2cos22xyyxyx )90(2cos)90(2sin200 xyyx 2cos2sin2xyyx 对比后可得对比后可得:minmax yx 22minmax22xyyxyx 4622minmax22xyyxyx 由由xyxy 22tan0可得上两个主应力平面法向与可得上两个主应力平面法向与x 轴正向的夹角轴正向的夹角0 20 和和主应力和主平面主应力和主平面最大最小剪应力值最大最小剪应力值.22minmax2xyyx 1.平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面平面应力状态下的任一点都存在两个互相正交的主平面.主平面上主平面上 剪应力为零剪应力为零,正应
45、力分别有极大值或极小值正应力分别有极大值或极小值.2.主平面与最大最小剪应力平面相差主平面与最大最小剪应力平面相差450角角.3.对于空间上的一个点来讲对于空间上的一个点来讲,平面应力状态下的自由面为应力为零的平面应力状态下的自由面为应力为零的 主平面主平面.所以所以,一点的主应力总有三个一点的主应力总有三个:1、2、3,它们的大小它们的大小 按其代数量值排序按其代数量值排序.47例例1.一点的应力状态如图所示一点的应力状态如图所示.试求其主应力并确定主平面的位置试求其主应力并确定主平面的位置.MPa75MPa25MPa40 x由图示可知由图示可知,MPax25 MPay75 MPayxxy4
46、0 由由22minmax22xyyxyx 22minmax402752527525 22405025 6425 MPaMPa89039321 48MPa75MPa40 xMPaMPa89039321 由由xyxy 22tan08.025754022tan0 00166.382 00133.19 000218066.382 00233.109 由上可确定主应力所在平面如上图中所示由上可确定主应力所在平面如上图中所示.1 1 3 3 01(参阅书上参阅书上p219的另解的另解)49平面平面 应力状态分析应力状态分析 图解法图解法(应力圆法应力圆法)Ixyyxyx 2sin2cos22 IIxyyx
47、 2cos2sin2将将(I)式改写为式改写为:Ixyyxyx 2sin2cos22 22III IIIxyyxyx222222 由于由于 x、y、xy 是已知量是已知量,(III)式是以式是以 、为变量的圆周方程为变量的圆周方程.222Ryax 对比对比横座标轴为横座标轴为 轴轴,纵座标轴为纵座标轴为 轴轴.圆心座标为圆心座标为 0,2yx 半径为半径为22max2xyyxR 50 x x y xy yx yx xy y BEO xyx ,yxy ,DDC 0,1 1A 0,3 1B12O 22O C点横座标点横座标:222yxyxyOBOEOBOC 半径半径:22222xyyxDECECD
48、 2211122xyyxyxCAOCOA 2211322xyyxyxCBOCOB G ,251例例2.在图示的一点的应力状态下在图示的一点的应力状态下,试用解析法求试用解析法求:1)指定斜截面上的正应力和切应力指定斜截面上的正应力和切应力;2)主应力主应力,并确定主平面的位置并在图上表示并确定主平面的位置并在图上表示;3)作出其应力圆作出其应力圆.(应力单位应力单位:MPa)5020045 5020解解:045 MPax50 0 y MPaxy20 2sin2cos22xyyxyx MPa5202590sin2090cos2050205000 2cos2sin2xyyx MPa2590cos2
49、090sin205000 5222minmax22xyyxyx 3225202050205022minmax MPa571 MPa73 8.0504022tan0 xyxy00166.382 00133.19 000218066.382 00267.70 50203 3 1 1 033.1953 O50201 1 3 3 033.19 MPax50 0 y MPaxy20 20,50D 20,0 D C012 1A1B 0,57 0,7 54 广义胡克定律广义胡克定律运用单向拉压下的胡克定律和泊松效应运用单向拉压下的胡克定律和泊松效应,和平面纯剪切下的胡克定律和平面纯剪切下的胡克定律,我我们可
50、得到复杂应力状态下的广义胡克定律们可得到复杂应力状态下的广义胡克定律.x y z y x xy yx yz zy zx xz zyxxE 1 xzyyE 1 yxzzE 1Gxyxy Gyzyz Gzxyz 在各向同性材料及小变形的条件下在各向同性材料及小变形的条件下,正应力产生正应变正应力产生正应变,剪应力产生剪应变剪应力产生剪应变.55对于平面应力状态对于平面应力状态x y y x xy xy yx yx 0 z 0 yz 0 zx yxxE 1 xyyE 1Gxyxy yxzE 或者表达为或者表达为 yxxE 21 xyyE 21xyxyG 0 z 561 1 2 2 3 3 在受力点的
