1、1240limd1nnxxn x 1.极限极限0()()sin d8,(0)3,f xf xx xf_.2.设设f(x)函数函数 满足满足()f 则则_。难题征解难题征解:第六章第六章 定积分的应用定积分的应用6.1 定积分的元素法定积分的元素法回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)(xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩
2、形总面积越显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）计算曲边梯形面积方法计算曲边梯形面积方法:面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（2）计算）计算iA 的近似值的近似值iiixfA )(iix （3）求和求和,得得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)
3、(，于是于是 dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxx dA面积元素面积元素这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法6.2 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、一、平面图形的面积平面图形的面积dxxfxxfdA)()(xxxx x dxxfxfdA)()(12 1.直角坐标情形直角坐标情形例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解
4、两曲线的交点两曲线的交点)1,1()0,0(选选 x为积分变量为积分变量1,0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx dx)xx(dA2 ),(),(0101 11dAA解解:两曲线的交点两曲线的交点),(),(0101 dx)x(dx)x(102112141238314103 xxdx)x()x(dA1122 dx)x()x(112112 解解两曲线的交点两曲线的交点).4,8(),2,2(MN 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4,2 y 4224224dyyydAdyAxy22 4 xyM(8,4)N(2,-2)18 dxy)y(dA242 解解椭
5、圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab ydxdA 设由曲线设由曲线)(r及射线及射线 、围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)(在在,上连续，且上连续，且0)(xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 2、极坐标系情形、极坐标系情形)(r对应对应 从从 0 变变例例5.计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线解解:)0(aard d)a(221 dA
6、A202022a 331 022334a 到到 2 所围图形面积所围图形面积.a2x例例 6 6 求心形线求心形线)cos1(ar所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0(a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1(02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1.旋转体的体积旋转体的体积二、体积二、体积一一般般地地，如如果果旋旋转
7、转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax dxxfdV2)(xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)()(xfy 类类似似 地地，如如果果 旋旋 转转体体 是是由由 连连 续续曲曲 线线)(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为xyo)(yx cddyy2)(dcVdy)y(dV2 其中其中yr解解:hPxh
8、ry 取取积积分分变变量量为为x，,0hx xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrdV2 圆圆锥锥体体的的体体积积dxxhrdVVhh200 hxhr03223 .hr32 yrhPxoayxb例例2.计算由椭圆计算由椭圆所围图形绕所围图形绕 x 轴旋轴旋转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积.解解:利用直角坐标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby则则xd)xa(aba202222 (利用对称性利用对称性)3222312xxaab0a234ab O aadVVxdya202 x12222 byax例例 3 3 求求摆摆线线)sin(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0
9、 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕x轴轴、y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a)(xyxyOa2a绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为)0(aa2 22)tsint(atdtsina 2)(2yxx 22)tsint(atdtsina 0 tdtsin)tsint(a2023)(1yxx 注注 )cos1()sin(tayttaxyyxVayd)(2022yyxad)(202133
10、6axoab2.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角，计计算算这这平平
11、面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆直直径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx截面面积为：截面面积为：22221xRhyhh)y()x(A 立
12、体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12定积分应用小结：定积分应用小结：dxxfxxfdA)()(xxxx x dxxfxfdA)()(12 1.直角坐标情形直角坐标情形一、平面图形的面积一、平面图形的面积xo d d ddA2)(21.)(212 dA 2、极坐标系情形、极坐标系情形)(rdxxfdV2)(xdxx xyo旋转体体积：旋转体体积：dxxfVba2)()(xfy 二、体积二、体积轴绕xbxaxfy)()
13、(轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时Oxy)(yx当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段)()(dycyx绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,2)(yyddcVycddy)y(dV2 第六章第六章 单元自测题（定积分应用）单元自测题（定积分应用）的面积的面积一、计算下列平面图形一、计算下列平面图形。所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积及直线及直线与与求由曲线求由曲线2112 xxyxy.),(xyxy1112交交点点为为解解：2121dx)xx(A2133|)x|lnx(.ln237 .xxxarcsiny.所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积轴
14、及直线轴及直线与与求由曲线求由曲线212 210210210 xarcsinxd)xarcsinx(xdxarcsinA解解：210222102)1(112112112xdxdxxx 210222102)1(112112112xdxdxxx .123121221122102 x所围成平面图形的面积所围成平面图形的面积与直线与直线求由曲线求由曲线232 xyxy.),(),(xyxy241122 交交点点解解：由由 2122dyy)y(A2132322 yyy.29.)(cosr.平平面面图图形形的的面面积积所所围围成成求求由由曲曲线线2244 2024212 d)cos(A解解：2228 dc
15、os 222218 dcos二、计算下列立体的体积二、计算下列立体的体积的体积。的体积。轴旋转一周所得旋转体轴旋转一周所得旋转体绕绕轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形上与上与在在求由正弦曲线求由正弦曲线xx,0sinxy1 002221dxxcosdxxsinV解解：00222122xxdcosdx 0242xsin .22 .xxyxy.体积体积旋转一周所得旋转体的旋转一周所得旋转体的轴轴所围成平面图形绕所围成平面图形绕与直线与直线求由曲线求由曲线 22),(),(xyxy11002交交点点解解：由由 .dxxdxxV 1022102 10535131 xx .152.xy,exxlny.体积体积旋转一周所得旋转体的旋转一周所得旋转体的轴轴所围成平面图形绕所围成平面图形绕与直线与直线求由曲线求由曲线03 edxxlnV:12 解解 eexlnxd)xlnx(1212 exdxlne12 eexlnxd)xlnx(e112 edxee12 .e 2 .ybyax.所得旋转体的体积所得旋转体的体积轴旋转一周轴旋转一周所围成平面图形绕所围成平面图形绕求由椭圆求由椭圆142222 bbydy)y(xV2 解解：bbdy)by(a2221 bb)byy(a 2323.ba234
