1、经典题型随堂练经典题型随堂练第五节二次函数的应用考点一 二次函数的实际应用例1(2018达州中考)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？【分析】(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，根据利润相等可
2、得方程，解方程即可得到进价，进而得到标价；(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用“销售量每辆自行车的利润总利润”列出函数关系式，即可求解【自主解答】(1)设进价为x元，则标价是1.5x元由题意得1.5x0.988x(1.5x100)77x，解得x1 000，151 0001 500(元)答：该型号自行车的进价为1 000元，标价为1 500元(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元由题意得w(51 3)(1 5001 000a)(a80)226 460.0，当a80时，w最大26 460.答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26 460元20a2032031(2018
3、滨州中考)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y5x220 x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解：(1)当y15时，有5x220 x15，化简得x24x30，解得x1或3.答：飞行时间是1 s或者3 s.(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y0，有05x220 x，解得x0或4，小球从飞出到落地所用时间是4
4、04(s)(3)当x 2(s)时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m.考点二 二次函数的综合应用命题角度线段、周长问题例2(2019肥城二模)如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B，D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2【分析】(1)利用顶点式求得二次函数的表达式，再求出点D
5、的坐标，即可求得直线BD的表达式；(2)设P点横坐标为m，则P(m，m3)，M(m，m22m3)，可得PMm23m(m )2 ，即可得解；(3)过Q作QEx轴，交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，连接QD，QB，设Q(x，x22x3)，G(x，x3)，可得QG，利用等腰直角三角形的性质、根的判别式，即可得解2349【自主解答】(1)抛物线的顶点C的坐标为(1，4)，可设抛物线表达式为ya(x1)24.把B(3，0)代入得0a(31)24，解得a1，抛物线表达式为y(x1)24，即yx22x3.点D在y轴上，令x0可得y3，D点坐标为(0，3)，可设直线BD表达式为ykx3.把B点坐标代
6、入可得3k30，解得k1，直线BD表达式为yx3.(2)设P点横坐标为m(m0)，则P(m，m3)，M(m，m22m3)，PMm22m3(m3)m23m(m )2 ，当m 时，PM有最大值，最大值为 .(3)如图，过Q作QEx轴，交BD于点G，交x轴于点E，作 QHBD 于H，连接QD，QB.23492349设Q(x，x22x3)，则G(x，x3)，QG|x22x3(x3)|x23x|.BOD是等腰直角三角形，DBO45，HGQBGE45.当BDQ中BD边上的高为2 时，即QHHG2 ，QG 2 4，|x23x|4，2222当x23x4时，9160，方程无实数根，当x23x4时，解得x1或x4
7、，Q(1，0)或(4，5)综上可知，存在满足条件的点Q，其坐标为(1，0)或(4，5)2(2018泰安模拟)如图，抛物线yax2bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4.矩形OADC的边CD1，延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，作PHEO，垂足为H，求PH的最大值；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，若四边形ACMN是平行四边形，求点M，N的坐标解：(1)将x0代入抛物线的表达式得y2，C(0，2)四边形OADC为矩形，OACD1，A(1，0)又AB4，B(3，0)设抛物线的表达式为ya(x3)(x1)将点C的坐标代
8、入得3a2，解得a ，抛物线的表达式为y x2 x2.323234(2)点E在DC的延长线上，y2.将y2代入二次函数表达式得 x2 x22，解得x10(舍去)，x22，E(2，2)，ECOC2，COE45.如图，过点P作PGy轴交直线OE于点G，PGHCOE45.又PHOE，PH PG.设直线OE的表达式为ykx，将点E的坐标代入得2k2，解得k1，直线OE的表达式为yx，323422设点P的坐标为(m，m2 m2)，则点G的坐标为(m，m)，PH的最大值为3234(3)由(1)可得抛物线的对称轴为x1，设点N的坐标为(1，n)，点M的坐标为(e，f)过点M作MQ垂直于对称轴，垂足为Q.由A
9、AS易证MNQACO，QNOC2，MQAO1，点M的横坐标为2.代入抛物线y x2 x2得y 4 222，点M的坐标为(2，2)，N的纵坐标为0，点N的坐标为(1，0)32343234命题角度图形面积问题例3(2018泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)把已
10、知点坐标代入函数表达式，得出方程组求解即可；(2)根据函数表达式设出点D坐标，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，表示出ADE的面积，运用二次函数分析最值即可；(3)设出点P坐标，分PAPE，PAAE，PEAE三种情况讨论分析即可【自主解答】(1)由题意可得二次函数的表达式为y x2 x6.(2)由A(4，0)，E(0，2)，可求得AE所在直线表达式为y x2.如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H.432321设D点坐标为(x0，x02 x06)，则F点坐标为(x0，x02)，则DF x02 x06(x02)x02x08.又SADE SADF
11、SEDF，SADEDFAGDFEH 4DF2(x02x08)(x0 )2 ，当x0 时，ADE的面积取得最大值 .(3)P点的坐标为(1，1)，(1，)，(1，2 )432321432321432121214323323503235011193在平面直角坐标系xOy中抛物线yx2bxc经过点A，B，C，已知A(1，0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若MNC90，直接写出实数m的取值范围解
12、：(1)由题意得抛物线解析式为yx22x3.(2)令x22x30，x11，x23，即B(3，0)设直线BC的解析式为ykxb.由题意得直线BC的解析式为yx3.设P(a，3a)，则D(a，a22a3)，PDa22a3(3a)a23a，SBDCSPDCSPDB PD3 (a23a)(a )2 ，当a 时，BDC的面积最大，此时P(，)21232323827232323(3)m5.提示：由(1)得yx22x3(x1)24，E(1，4)如图，设N(1，n)，则0n4.取CM的中点Q(，)，MNC90，NQ CM，4NQ2CM2.NQ2(1 )2(n )2，4(1 )2(n )2m29，452m232
13、12m232m23整理得mn23n1，即m(n )2 .0n4，当n 时，M最小值 .当n4时，M最大值5.综上，m的取值范围为 m5.2345234545命题角度动点、存在点问题例4(2017泰安中考)如图，是将抛物线yx2平移后得到的抛物线，其对称轴为x1，与x轴的一个交点为A(1，0)，另一交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；(3)点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y x 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P，Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由2323【分析】(1)设出
14、顶点式，利用待定系数法求函数表达式；(2)易证BOC是等腰直角三角形，过点N作NHy轴，根据CHNH即可列方程求解；(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQOA1，且PQOA，设P点坐标，代入y x 即可求解【自主解答】(1)设抛物线的表达式为y(x1)2k.A(1，0)在抛物线上，0(11)2k，k4，抛物线的表达式为y(x1)24x22x3.2323(2)当x0时，y(01)243，点C(0，3)，OC3.又B(3，0)，BOC为等腰直角三角形，OCB45.如图，过点N作NHy轴，垂足为H.NCB90，NCH45，NHCH，HOOCCH3CH3NH，则设点N为(a，a22a3)，a3a22
15、a3，解得a0(舍去)或a1，N(1，4)(3)四边形OAPQ是平行四边形，则PQOA1，且PQOA，设P(t，t22t3)，则Q(t1，t22t3)将点Q(t1，t22t3)代入y x 得t22t3 (t1)，23232323整理得2t2t0，解得t10，t2 .t22t3的值为3或 ，点P，Q的坐标为(0，3)，(1，3)或(，)，(，)2141521415234154(2019泰安中考)若二次函数yax2bxc的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)，B(0，2)，且过点C(2，2)(1)求二次函数表达式；(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；(3)在抛物线上
16、(AB下方)是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yax2bxc过点(0，2)，c2.又抛物线过点(3，0)，(2，2)，解得抛物线表达式为(2)如图，连接PO，设点P(m，m2 m2)，则SPABSPOASAOBSPOB由题意得m23m4，m4或m1(舍)，点P的坐标为(4，)3234310(3)设直线AB的表达式为ykxn，因直线AB过点A(3，0)，B(0，2)，解得AB的表达式为y x2.设存在点M满足题意，点M的坐标为(t，t2 t2)323234如图，过点M作MEy轴，垂足为E，作MDx轴交AB于点D，则D的坐标为又MDy轴
17、，ABOMDB.又ABOABM，MDBABM，MDMB，MB t22t.32在RtBEM中，解得t ，点M到y轴的距离为 .811811核心考点 二次函数综合题 (5年5考)1命题规律分析：2命题研究专家点拨：(1)确定二次函数最值的方法图象法：即画出图象，图象的最高点的纵坐标为最大值，最低点的纵坐标为最小值；对称轴法：当对称轴在自变量范围内时，y最值 ；端点取值：当对称轴不在自变量范围内时，则计算自变量两端点的函数值再比较(2)确定对称轴的方法当已知二次函数的表达式时，对称轴为x ；已知顶点坐标(h，k)时，对称轴为xh；已知纵坐标相同的两点(x1，y (x2，y)时，对称轴为x 在平面直角
18、坐标系中，二次函数yax2bx2的图象与x轴交于A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.求这个二次函数的表达式a2b【分析】利用待定系数法，将A，B两点分别代入yax2bx2中求解即可【自主解答】把A(3，0)，B(1，0)分别代入yax2bx2中得解得二次函数的表达式为yx2x2.百变一：长度型1点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作 MNy 轴交直线AC于点N,当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值，并求出其最大值解：如图，由题知C(0，2)，设点M坐标为(x，x2 x2)3234直线AC经过A，C两点，设直线AC表达式为ykxb，则有直线AC的表达式为y x2，则点N坐标为(
19、x，x2)，线段MN长度为当x 时，线段MN长度有最大值为 ，此时点M的坐标为(，)3232232323252点M为直线AC上方抛物线上一动点，过M点作MNy轴交直线AC于点N,作MEAC于点E，当点M的坐标为多少时，MEN的周长有最大值，并求出其最大值.解：如图，延长MN交x轴于点P，则MNEACO，当MN最大时，MEN的周长有最大值由上题知，当M的坐标为(，)时，MN的最大值为，则MEN的周长的最大值为2325百变二：面积型3点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：设点P坐标为(m，n)，则n m2 m2.如图，
20、连接PO，作PMx轴于M，PNy轴于N，则PM m2 m2，PNm，AO3.当x0时，y 0 022，OC2，323432343234a10，SPACm23m有最大值当m 时，SPAC有最大值，存在点P(，)，使PAC的面积最大23254点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使SACQ10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：如图，作QEy轴于点E，连接QC.设Q(m，n)，则QEm，OEn，CE2n，SACQS梯形AOEQSAOCSCEQ (3m)(n)32 (2n)(m)10，化简得2m3n14.Q(m，n)在抛物线上，n m2 m2，代入整理得2m26m200，解
21、得m15，m22，点Q的坐标为(5，8)或(2，)2121213234310百变三：特殊三角形存在性5在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：存在理由：如图，以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3，则点Q1，Q2，Q3，Q4为符合题意要求的点，过Q1点作Q1Dy轴于点D.BCQ190，Q1CDOCB90.又在RtOBC中，OCBCBO90，Q1CDOBC.又Q1CBC，Q1DCBOC，Q1CDCBO，Q1DOC2，CDOB1，ODOCCD3，Q1(2，3)同理求得Q2(3，1)，Q3(1，1)，Q
22、4(2，1)，存在点Q，使BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形，Q点坐标为Q1(2，3)，Q2(3，1)，Q3(1，1)，Q4(2，1)6在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使BCQ是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：存在理由如下：由题知，抛物线的对称轴为x1，设点Q的坐标为(1，m)点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，直线BC的表达式为y2x2，CQ2(10)2(m2)2m24m5，BQ2(11)2(m0)2m24，BC2(01)2(20)25.如图，分三种情况考虑：当BQBC时，m245，解得m11，m21，点Q1的坐标为(1，1)，点Q2的坐标为(1，1)
23、当CQCB时，m24m55，解得m30，m44，点Q3的坐标为(1，0)，点Q4的坐标为(1，4)当QBQC时，m24m24m5，解得m5 ，点Q5的坐标为(1，)综上所述，抛物线的对称轴上存在动点Q，使得BCQ为等腰三角形，点Q的坐标为(1，1)，(1，1)，(1，0)，(1，4)，(1，)414141如果QCA90，那么QC2AC2QA2，则(10)2(y2)213(13)2(y0)2，解得y ，点Q2的坐标为(1，)如果CQA90，那么QC2QA2AC2，则(10)2(y2)2(13)2(y0)213，解得y1 1，y21 ，点Q3(1，1)，Q4(1，1 )综上所述，所求点Q的坐标为(
24、1，3)，(1，)，(1，1)，(1，1 )2727333327337在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：由题知，抛物线的对称轴为x1.A(3，0)，C(0，2)，AC2(30)2(02)213.设点Q的坐标为(1，y)，分三种情况：如果QAC90，那么QA2AC2QC2，则(13)2(y0)213(10)2(y2)2，解得y3，点Q1的坐标为(1，3)百变四：几何最值型8在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使BCQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标与周长最小值；若不存在，请说明理由解：存在理由如下：如图，作点C关于对称轴对称的点M
25、，连接BM，则BM与对称轴交点即是点Q的位置由题知M(2，2)，设直线BM的表达式为ykxb.将点B，M的坐标代入可得直线BC的表达式为y x .将x1代入直线BC表达式可得y ，点Q的坐标为(1，)，最小周长为323234349在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使|QAQC|最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：存在理由如下：由题知，抛物线的对称轴为x1，A(3，0)，B(1，0)Q在对称轴上，QAQB，|QAQC|QBQC|BC，即当Q，B，C三点在一条线上时|QAQC|最大由题知，直线BC的表达式为y2x2，令x1可得y224，存在满足条件的点Q，其坐标为(1，4)10若D
26、为OC的中点，P是抛物线对称轴上一动点，Q是x轴上一动点，当P，Q两点的坐标为多少时，四边形CPQD的周长最小？并直接写出四边形CPQD周长的最小值解：如图，作点C关于对称轴的对称点M，点D关于x轴的对称点N，连接MN，与对称轴交于点P，与x轴交于点Q，则点P，Q即为所求由题可得M(2，2)，N(0，1)，则MN ，13MN的表达式为y x1.当x1时，y ，P(1，)令 x10，解得x ，Q(，0)，当P(1，),Q(，0)时，四边形CPQD的周长最小，最小值为 1.232121233232213213百变五：相似存在性11点Q是抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q
27、，使以点B，Q，E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：如图，设E(n，0)，则BE1n，QEn2n2.假设以点B，Q，E为顶点的三角形与AOC相似，则有两种情况：若AOCBEQ，则有即 化简得n2n20，解得n12，n21(与B点重合，舍去)，n2，QE2，Q(2，2)若AOCQEB，则有即 化简得4n2n30，解得n1 ，n21(与B点重合，舍去)，n ，QE ，Q(，)综上所述，存在点Q，使以点B，Q，E为顶点的三角形与AOC相似，Q点坐标为(2，2)或(，)43438214382143821百变六：特殊四边形存在性问题12点M为抛物线上一动点，在x
28、轴上是否存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由解：假设存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形若CM为平行四边形的一边时，则CMx轴，如图，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1AQ2ACM.CMx轴，点M，点C(0，2)关于对称轴x1对称，M(2，2)，CM2.由Q1AQ2ACM2得Q1(5，0)，Q2(1，0)若CM为平行四边形的对角线时，如图，过点M作MGx轴于G，易证MGQCOA，得QGOA3，MGOC2，即yM2.设M(x，2)，则有 x2 x22，解得x1 .又QG3，xQxG32 ，Q3(2 ，0)，Q4(2 ，0)综上所述，存在点Q，使以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为Q1(5，0)，Q2(1，0)，Q3(2 ，0)，Q4(2 ，0)3234777777学习了本课后，你有哪些收获和感想？学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？告诉大家好吗？光读书不思考也许能使平庸之辈知识光读书不思考也许能使平庸之辈知识丰富，但它决不能使他们头脑清醒。丰富，但它决不能使他们头脑清醒。约约诺里斯诺里斯
