1、第四章 多个样本均数比较的方差分析,方差分析的基本思想及其应用条件 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 拉丁方设计资料的方差分析 两阶段交叉设计资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较 多样本方差比较的Bartlett检验和Levene检验,主要内容,方差分析的基本思想 完全随机设计(成组设计)资料的方差分析 随机区组设计的方差分析 多个样本均数的两两比较 方差分析的应用条件 正态性检验 方差齐性检验 变量变换 注意点,因素和水平,因素(factors)：将试验对象随机分为若干个组，加以不同的干预，称为处理因素。 不同性别对红细胞计数的影响 是否手术治疗对生存率的影响 在相
2、同的因素下的不同干预，称为不同的水平(level) 性别：男、女 手术：是、否,案例,一种新的降血脂药，120人分为安慰剂组，用药组1(2.4g)，用药组2(4.8g)，用药组3(7.2g)。实验结束后观察血脂水平，评价不同的药物剂量作用。问：采用什么样的检验方法？,？,问题的提出,假如每次t检验犯 I 类错误的概率是0.05，那么要完全地进行比较，犯 I 类错误的概率是 t检验的局限性：只用于单因素两水平的检验。,方差分析,方差分析，又称变异数分析。 Analysis of Variance，简写为ANOVA。 由英国统计学家R.A.Fisher提出。,Sir Ronald Aylmer F
3、isher,18901962,Rothamste Agricultural Station,Fisher于Rothamste研究作物产量时，完善了方差分析的思想,第一节 方差分析的基本思想,例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临床疗效，按统一纳入标准选择120名高血脂患者，采用完全随机设计方法将患者等分为4组（具体分组方法见例4-1），进行双盲试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂蛋白含量总体均数有无差别?,120 2.71 342.3 958.52,总变异（Total variation）：全部测量值Xij与总均数 间的差别 组间变异（ betw
4、een group variation ）：各组的均数 与总均数 间的差异 组内变异（within group variation )：每组的n个原始数据与该组均数 的差异,试验数据有三个不同的变异,下面先用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)表示变异的大小,SS总反映了所有测量值之间的总变异程度， SS总=各测量值Xij与总均数 差值的平方和。,1. 总变异SS总,X11、X12X1n1,X21、X22X2n2,X31、X32X3n3,SS组间反映了各组均数与总的平均值的变异程度， SS组间=各组均数 与总均数 的差异。,2.组间
5、变异 SS组间,n1 n2 n3,SS组内反映了在同一处理组内，每个受试对象虽然接受的处理相同，但测量值仍各不相同，即随机误差。,3. 组内变异SS组内,X11、X12X1n1,X21、X22X2n2,X31、X32X3n3,“变异”的含义,SS组间反映了各组均数间的变异程度 组间变异随机误差+处理因素效应,在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异。SS组内仅仅反映了随机误差的影响。也称SS误差,均方(mean square，MS),均方之比F value,F 分布,F分布概率密度函数：,F 分布曲线,1=1, 2=10,1=5, 2=10,F
6、界值表,附表3 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01,(附表3),方差分析的基本思想,首先将总变异分解为组间变异和误差（组内）变异，然后比较两者的均方，即计算F值，若F值大于某个临界值，表示处理组间的效应不同，若F值接近甚至小于某个临界值，表示处理组间效应相同(差异仅仅由随机原因所致)。 对于不同设计的方差分析，其思想都一样，即均将处理间平均变异与误差平均变异比较。不同之处在于变异分解的项目因设计不同而异。,方差分析的原理,计算统计量,计算变异：总、组间、组内变异 计算自由度：总、组间、组内自由度 计算均方：组间、组内 计算F值,3.53-3.43=0.1,
7、3.53-2.71=0.82,3.43-2.71=0.72,三种变异之间的关系,变异间的相互关系,与界值F 0.01(3,116) =3.98比较,完全随机设计资料的方差分析步骤,建立假设 H0： 1=2=3=4 H1 ： 1、2、3、4不等或不全相等 选择检验水准=0.05；,计算统计量,方差分析表,F 0.01(3,116) =3.98,结论,按=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为四组的差别具有统计学意义，四组低密度脂蛋白值的总体均数不同。 如想知道哪两组间有差别可进行多个均数的两两比较。,例：随机抽取50-59岁男性正常者、冠心病人、脂肪肝患者各11人，测定空腹血糖值(见下表)，试推
8、断这三类人群总体均值是否相同?,正常组 冠心病组 脂肪肝组 4.75 6.26 5.78 4.75 4.36 6.68 4.77 5.24 5.44 4.61 4.67 5.86 4.49 4.55 5.67 4.02 5.18 5.24 5.03 4.61 5.42 4.57 5.12 5.14 4.21 5.26 6.09 4.88 4.83 5.74 4.62 5.59 5.72,正常组 冠心病组 脂肪肝组 4.75 6.26 5.78 4.75 4.36 6.68 4.77 5.24 5.44 4.61 4.67 5.86 4.49 4.55 5.67 4.02 5.18 5.24 5
9、.03 4.61 5.42 4.57 5.12 5.14 4.21 5.26 6.09 4.88 4.83 5.74 4.62 5.59 5.72,ni,50.70 55.67 62.78 169.15 ( ),11 11 11 33 ( N ),4.61 5.06 5.71 5.13 ( ),234.52 284.71 360.12 879.35 ( ),（1） 计算离均差平方和,H0: 1=2 =3 , H1: 1、2、3不等或不全相等 =0.05,1. 建立检验假设，确定检验水准,2. 计算统计量F,SS总= =879.35-867.02=12.33,SS组间=,SS组内= SS总-SS
10、组间=12.33-6.70=5.63,（3）计算均方,（4）计算统计量F F= MS组间/ MS组内=3.35/0.19=17.63,（2） 计算自由度,总=N-1=33-1=32 组间= k-1 =3-1=2 组内=N-k=33-3=30,MS组间= SS组间/ 组间=6.70/2=3.35 MS组内= SS组内/ 组内=5.63/30=0.19,4. 列方差分析表,查F表得到：F0.05(2,30)=3.32， F0.01(2,30)=5.39 F=17.635.39，则 p0.01,拒绝H0 可认为三组人群的空腹血糖有显著性差异,3. 确定概率，判断结果,方差分析表,变异来源,SS,MS
11、,F,P,组间,组内,总,6.70 2 3.35 17.63 0.01,5.63 30 0.19,12.33 32,第二节 完全随机设计的方差分析,完全随机设计(completely random design) 也叫单因素方差分析（oneway ANOVA）。将受试对象随机地分配到各个处理组的设计。,完全随机设计方法,随机分组方法： 1. 编号,确定分组方案（如较小10个随机数为A，中间10个数为B，较大10个随机数为C） 2. 产生随机数字（附表15，或电脑），排序 3. 按方案分组,i为组的编号，1，2，3 j为组内为个体编号， 1，2，10,变异分解及检验步骤,单因素方差分析步骤,1.
12、 建立检验假设，确定检验水准,H0: 1=2 = a H1: i j , =0.05,2. 计算统计量F （1）计算各部分离均差平方和：,SS总= =,SS组间= =,SS组内= SS总-SS组间,（2）计算自由度：,总=N-1 组间= k-1 组内=N-k,（3）计算均方：,（4）计算统计量F：,F = MS组间/ MS组内,MS组间= SS组间/ 组间 MS组内= SS组内/ 组内,单因素分析的方差分析表,3. 确定概率，判断结果,查F表，得到F0.05，（组间, 组内) 的临界值， 如果FF0.05，（组间, 组内) ，则p0.05，拒绝H0。,4. 列方差分析表,变异来源,SS,MS,
13、F,P,总,组间,组内,【例】 某医师研究胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系，分别测定正常人、胃粘膜增生患者和胃癌患者的胃粘膜细胞中DNA含量（A.U），数据如表。试问三组人群的胃粘膜细胞中DNA含量是否相同？,胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系,171.1 2115.75,176.7 2626.93,256 5100.74,603.8 9843.42,完全随机设计资料的方差分析步骤,建立假设： H0：I=II=III H1：三组的DNA平均含量不同或不全相同。 =0.05 分别计算SS总，SS组间，和SS组内。 总变异： 组间变异： 组内变异：,方差分析表,方差分析结论,该F值分子的自由度组
14、间=2，分母的自由度组内=36，查方差分析表得F0.01(2,36)=5.25，FF0.01(2,36)，则P0.01。拒绝H0，接受H1，故可认为三组总体均数不相等或不全相等 。 上述结论仅说明三组总体均数有差别，并不表示任何两组总体均数均有差别。若要了解组相互间有无差别，还需作进一步的两两比较。,第三节 随机区组设计的方差分析,随机区组设计(randomized block design) ：又称配伍组设计，也叫双因素方差分析（two-way ANOVA）。是配对设计的扩展。 具体做法：将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成n个
15、区组（配伍组），每个区组中有m个受试对象，分别随机地分配到m个处理组。 这样，各个处理组不仅样本含量相同，生物学特点也较均衡。比完全随机设计更容易察觉处理间的差别 。,随机区组设计方法,每个单位组内随机： 1. 将同种类同窝大白鼠为一个单位组，并编号； 2. 给同窝中3只大白鼠编号；规定随机数小者分到 甲组，中等分到乙组，大者分到丙组； 3. 给每个大白鼠一个随机数； 4. 按规定分组,表 4个区组大白鼠按随机区组设计分组,【例】 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物（具
16、体分配方法见例4-3），以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？,随机区组设计资料的总平方和可以分解为三项：,SS总= SS误差+ SS组间+ SS区组间 总= 误差+ 组间+区组间,总变异： 所有观察值之间的变异 处理变异（T） 区组变异（B ）随机误差（E） (2) 处理间变异：处理变异（T ）随机误差（E） (3) 区组间变异：区组变异（B ）随机误差 （E） (4) 误差变异： 随机误差（E）,变异分解,H0为真，即无处理效应时， 在大多数情况下，F较小。 H0非真时，即有处理效应时，在大多数情况下 ，F较大， 比较： 当统计量 时，拒绝H0。,随机
17、区组设计的统计表,1. 总变异SS总,X11、X12X1n1,X21、X22X2n2,X31、X32X3n3,2.组间变异 SS组间,n1 n2 n3,在同一处理组内，每个受试对象接受相同的处理， SS组内反映了测量误差和区组的差异，即 SS组内= SSe+ SS区组,3. 组内变异SS组内,X11、X12X1n1,X21、X22X2n2,X31、X32X3n3,在同一区组内，每个受试对象相近，不同的区组之间有差异，区组变异反映了不同区组之间的差异。,4. 区组变异SS区组,X11 X12 X1n1,X21 X22 X2n2,Xm1 Xm2 Xmn,完全随机设计ANOVA与随机区组设计ANOV
18、A,随机区组设计ANOVA将完全随机设计ANOVA的组内变异分解为区组组间变异与误差变异，即：,随机区组设计资料的总平方和可以分解为三项：,SS总= SS误差+ SS组间+ SS区组间 总= 误差+ 组间+区组间,总变异： 所有观察值之间的变异 处理变异（T） 区组变异（B ）随机误差（E） (2) 处理间变异：处理变异（T ）随机误差（E） (3) 区组间变异：区组变异（B ）随机误差 （E） (4) 误差变异： 随机误差（E）,变异分解,H0为真，即无处理效应时， 在大多数情况下，F较小。 H0非真时，即有处理效应时，在大多数情况下 ，F较大， 比较： 当统计量 时，拒绝H0。,随机区组设
19、计的统计表,SSe=SS总-SS处理-SS配伍,其中校正项 。m为因素A的水平数，n为因素B的水平数。在随机区组设计中因素A每个水平观察的例数恰好等于因素B的水平数n；而因素B每个水平观察的例数恰好为因素A的水平数m。,。c,比较： 当统计量 时，拒绝H0。,【例】 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物（具体分配方法见例4-3），以肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？,(1) 建立假设和确定检验水准 H0: 1=2=3 H1: 三组总
20、体均数不相等 =0.05 (2) 计算检验统计量 C=(x)2/N=(6.81)2/15=3.0917 SST=xij 2-C=2.6245-3.0917=0.5328 T=23,SSe=SS总-SS处理-SS配伍=0.5328-0.228-0.2284=0.0764,不同设计应采用不同的ANOVA方法,例 对小白鼠喂以A、B、C三种不同的营养素，目的是了解不同营养素增重的效果，采用随机区组设计方法，以窝别作为划分区组的特征，以消除遗传因素对体重增长的影响。现将同品系同体重的24只小白鼠分为8个区组，每个区组3只小白鼠。三周后体重增量结果（克）如下，问小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重有无差
21、别？,(1) 建立假设和确定检验水准 H0: 1=2=3 H1: 三组总体均数不相等 =0.05 (2) 计算检验统计量 C=(x)2/N=(1335.9)2/24=74359.53 SST=xij 2-C=2681.84 T=23,（3）查表确定p值和作出推断结论,按=0.05水平不拒绝H0，认为小白鼠经三种不同营养素喂养后所增体重无差别。 注：作方差分析时同样可以检验区组效应，本例区组效应显著，即不同窝别的小白鼠的增重不全相等。,例 为比较不同产地石棉的毒性的大小，取体重200-220g的雌性Wistar大鼠36只，将月龄相同，体重相近的3只分为一组。每组的3只动物随机分别接受不同产地石棉
22、处理后，以肺泡巨噬细胞（PAM）存活率（%）评价石棉毒性大小。实验结果见表。试问不同产地石棉毒性是否相同？,1）建立检验假设 H0：1=2=3 H1：i（i=1，2，3）不全相等 H0：1=2=12 H1：i(i=1,12)不全相等 =0.05 2）计算统计量,3） 查表及统计推断 对关于不同产地石棉毒性的检验假设，按1=2，2=22查附表（F界值表），F0.01（2，22）=5.72，知P0.01。按=0.05水平拒绝H0，接受H1。可以认为不同产地石棉导致的PAM存活率不同。,对关于动物区组的检验假设，按1=11，2=22查附表，F0.05（11，22）=2.26，知P0.05。按=0.0
23、5水平不能拒绝H0，尚不能认为动物区组间PAM存活率不同。,单因素方差分析：研究的是一个处理因素的不同水平间效应的差别；,t检验与F检验的关系,t检验与F检验的关系,当处理组数为2时，对于相同的资料，如果同时采用t检验与F检验，则有： 随机区组设计ANOVA的处理组F值与配对设计的t值；完全随机设计ANOVA的F值与两样本均数比较的t值间均有：,5种防护服, 由5个人在不同的5天中穿着测定其脉搏数(试验是以脉搏数作为人对高温反应的指标), 试比较5种防护服在不同天气, 对人脉搏的影响是否不同?,拉丁方设计的方差分析,不同日期5个受试者穿着5种不同防护服时脉搏次数(次数/分),拉丁方设计(lat
24、in square design),拉丁方设计将处理从纵横二个方向排列为区组(或重复)，使每个处理在每一列和每一行中出现的次数相等（通常一次），所以它是比随机区组多一个方向局部控制的随机排列的设计。如图2.10所示为55拉丁方。 每行及每列各字母均出现一次,图2.10 55拉丁方,设有5个品种分别以1、2、3、4、5代表，拟用拉丁方排列进行比较试验。 取上面所列的(55)选择标准方。 从随机数字表中，查随机数字，将0和大于5的数字去掉，得1、4、5、3、2，即为直行的随机。 再往下读，如得5、1、2、4、3，即为横行的随机。 再往下读，得2、5、4、1、3，即为品种随机。 将(55)选择标准方
25、按上面三个随机步骤，就得到所需的拉丁方排列。,图2.11 （55）拉丁方的随机,不同日期5个受试者穿着5种不同防护服时脉搏次数,统计分析,记xijk为第i个动物、第j部位、第k种药物下的变量观察值。,T=nn-1,A=n-1,B=n-1,C=n-1,C(2949.6)2/25348005.6 总： 352111.52-348005.6=4105.92 衣服： 时间： 受试者： 误 差： 4105.92218.032508.082853.68526.128,方差分析,查F值表，当1=4，2=12时，F0.05(4,12)=3.26,家兔注射某种药物后不同部位所生疱疹大小（cm2）,C(265.2
26、)2/361953.64 总：(7.52+8.52+7.32+7.12+7.32)-(265.2)2/36=30.36 动 物 间 注射次序间 部 位 间 误 差： 30.3612.830.563.8313.14,家兔疱疹资料的方差分析,查F值表，当1=5，2=20时，F0.05(5,20)=2.71,拉丁方设计的缺点,只能分析三个因素（包括区组因素） 各因素的水平数必须相等 不能分析因素间的交互作用,两阶段交叉设计,交叉试验是对两组受试者使用两种不同的处理措施，经过一定时期后，相互交换处理措施，最后将结果进行对照比较。 生脉饮对心肌左室功能和运动耐量的影响。 研究采用随机双盲交叉试验，试验期
27、限为50天，分两个阶段，各20天。“洗脱期”即两个阶段间停药10天。第一、第二阶段分别服1、2号液，共研究了26例病人。测量指标为阶段开始前、后分别进行MLTCG心功能测定。,两阶段交叉设计优点,每个研究对象都接受了两方案的治疗，消除了个体间的差异。 患者自身比较，效果观察较准确。 随机分组避免了组间差异。 可有效地控制选择性偏倚。 所需样本含量较少。,两阶段交叉设计缺点,对于各种急性炎症病变、不可能回复到第一阶段治前的疾病(如心肌梗塞、溃疡病等)，以及那些不应当回到第一阶段治前状态的疾病(如心衰、昏迷、休克等)都不能采用交叉试验。 两阶段治疗可能存在顺序效应。 若每个阶段用药周期过短，药效可
28、能不易充分发挥；若周期过长，则难以保证良好的依从性。,设计方法,10个血浆样本用A、B两种闪烁液测定血浆中3H-cGMP，采用交叉试验。现将样本编号，抄上随机数字，再将随机数字从小到大排列，排在第1与2，3与4，9与10组成一对，再将第1、3、5抄上随机号码，是偶数的，先用A，再用B，另一组刚好相反，以此类推。,结论,还不能认为A、B两种闪烁液有差别 可认为测定阶段对测定结果有影响 可认为各受试者的值不同,均数间的多重比较,当方差分析的结果拒绝H0，接受H1 时，只说明k个总体均数不全相等。若想进一步了解哪些两个总体均数不等，需进行多个样本均数间的两两比较或称多重比较（multiple com
29、parison）也叫post hoc检验方差分析得到有差别的结论后多个组之间的相互比较的探索性研究。,一、SNKq检验（多个均数间全面比较） 二、LSDt检验（有专业意义的均数间比较） 三、Dunnett检验 （多个实验组与对照组比较） 还有TUKEY 、DUNCAN、 SCHEFFE、 WALLER 、BON等比较方法,“多重比较”的几种方法,SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验 多个组之间的相互比较,一、SNKq检验,MS误差:误差均方 （单因素：MS组内） : 残差离均差的自由度 = n-k a: 组间跨度， a= j i +1 查q值表，如果 | q |
30、则P ,拒绝H0。,胃癌与胃粘膜细胞中DNA含量的关系,方差分析表,SNK法步骤,H0: 相比较的两总体均数相等； H1: 相比较的两总体均数不等。 0.05。 计算检验统计量: q 组次 1 2 3 均数 12.221 14.725 19.692 组别 正常 增生 胃癌 a=2 a=2 a=3,结论：正常人、胃黏膜增生与胃癌病人的胃黏膜细胞中DNA含量均有差别,SNK法步骤,i为组的编号，A，B，C j为组内为个体编号， 1，2，10,最小显著差异（Least significant difference）t检验 用于一对或几对在专业上有特殊意义的样本均数之间的比较,二、LSDt检验,LSD
31、法的步骤,H0: 相比较的两总体均数相等； H1: 相比较的两总体均数不等。 0.05。 计算检验统计量:LSD-t（胃癌组与胃粘膜增生组比较）,查附表2t界值表（=36） 结论:,三、Dunnett检验,多个试验组与一个对照组之间的比较,Dunnettt 法步骤,H0: 相比较的两总体均数相等； H1: 相比较的两总体均数不等。 0.05。 计算检验统计量: Dunnett-t,Dunnettt 法步骤,查附表5Dunnettt界值表（T=2， =36） 结论:,两两比较的注意事项,对于方差分析后的两两比较均应以方差分析拒绝相应的H0为前提，且结论均不应与方差分析的结论相悖； 出现模糊结论，
32、下结论应该谨慎； 方差分析拒绝H0，但两两比较得不出有差异的结论，因为方差分析效率高。,方差分析的要求,独立随机抽样(Independence)； 正态性(Normality)； 方差齐性(Homoscedascity)；,正态性检验,图示法 概率图probability-probability plot（P-P图） 分位数图quantile-quantile plot（Q-Q图） 计算法 矩法（偏度skewness与峰度kurtosis） W检验法和w检验法（适用于样本含量少于100的资料 D检验法（适用于样本含量为102000的资料）,正态峰,P-P图,Q-Q图,矩法,既能用于小样本资料，
33、亦可用于大样本资料的正态性检验 当频数分布为正态时，偏度系数与峰度系数分别等于0，但从正态分布总体中抽出的随机样本，由于存在抽样误差，其样本偏度系数g1与样本峰度系数g2不一定为0，为此，需检验g1、g2与0的相差是否有显著性。其检验假设为偏度系数等于O，即频数分布对称；峰度系数等于0，即为正态峰。,假设检验用u检验， u1=g1/Sg1 u2=g2/Sg2 u0.05 在=0.05的水准上接受H0，成正态分布,宜用于小样本资料的正态性检验，尤其是n50时,方差齐性检验,两个方差的齐性检验 Levene法 多个方差的齐性检验 Bartlett法 Levene法,某单位测定了蓄电池厂工人32号，
34、得尿氨基乙酰丙酸(mg/l)的平均含量为7.06，方差为42.3072，又测定了化工厂工人6名，得平均含量为3.48，方差为0.9047，试比较两方差的相差是否有显著意义？,检验假设H0：12=22 ，H1：1222 =0.05 定方差较大的一组为第1组，较小者为第2组，求出F值，公式为 F=S12/S22, S1S2 本例F=42.3072/0.9047=46.76 现将F值与附表中的F.05(1,2)比较。该表上端数值是较大均方(即方差)的自由度，用1,表示，左侧的数值是较小均方的自由度，用2表示。本例1=n1-1=32-1=31(表内1纵行没有31，可查邻近的数值30)，2=n2-1=6
35、-1=5,查得F0.05(30,5)=6.23,本例F=46.76F0.05(30,5),P0.05,故在=0.05水准处拒绝H0，接受H1。两方差的差别显著。,Bartlett方差齐性检验,对照组、A降脂药组、B降脂药组和C降脂药组家兔的血清胆固醇含量（mmol/L）的均数分别为5.845、2.853、2.972和1.768，方差分别为5.941、2.370、0.517和0.581，样本含量分别为6、6、6和7，问四样本的方差是否齐同？,H0： H1：各总体方差不同或不全相同 =0.05,=2.268,=17.19687,C=1+,=1.090,=9.663,本例自由度为,，查,界值表，得0.025P0.01，按,=0.05水准拒绝H0，接受H1，可以认为四总体方差不同或不全相同。,Levene方差齐性检验,变量变换(Variable Transformation),变量变换 目的：方差齐性化，正态化，线性化 常用方法： 对数变换 平方根变换 倒数变换 平方根反正弦变换,方差分析 小结,分析单因素多水平间或多个因素对结果的影响； 要求数据满足正态性、独立性、方差齐性 两两比较 变量变换 方差分析应用于两组资料的比较时，等价于t检验。,
