1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第五章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利用建立递推关系式求积分的方法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式.理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法.能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知
2、的几何体的体积、平面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。第五章第五章 一元函数的积分学一元函数的积分学第三节第三节 不定积分及其计算不定积分及其计算一.不定积分的概念二.不定积分的计算上的全体原函数的集合在区间 I )(xf I ,)()(|)(xxfxFxF记为上的不定积分在称为 ,I )(xf)()(d)(为任意常数CCxFxxf的一个原函数；为其中)()(,xfxF称为被积表达式；称为被积函数 d)(,)(xxfxf称为不定积分号；.称为积分常数C一.不定积分的概念,)(,的全部原函数的过程称求已知函数习惯上xf .)(的不定积分为求函数xf .运算求不
3、定积分是求导的逆 例如：;d2 ,2)(22Cxxxxx ;sin dcos ,cos)(sinCxxxxx.|lnd1 ,1)|(lnCxxxxx每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.不定积分与定积分是两个不同的概念.)(limd)(:10|niiixbaxfxxf限定积分是一种和式的极 ),()(:则算不定积分是求导的逆运xfxF .)(d)(CxFxxf 请参看第五章第二节微积分基本公式中关于函数的原函数与函数的可积性的论述.二.不定积分的计算利用不定积分的性质利用不定积分的性质换元法换元法(第一、第二第一、第二)分部积分法分部积分法部分
4、分式法部分分式法1.利用性质计算不定积分首先介绍不定积分的基本性质.),()d)(xfxxf,d)(d)(dxxfxxf,)(d)(Cxfxxf.)()(dCxfxf 逆运算则设 (I),)(),(21Rxfxf,d)(d)(d)()(2121xxfbxxfaxxbfxaf .,为常数其中ba.函数的和的形式该性质可推广至有限个 线性性质例1.d)12(33xx求解 d1)6128(d)12(24633xxxxxxxxxxxxxdd6d12d8246 .251278357Cxxxx例2.d1132 2xxxx求解)(165211322除法xxxxxxxxxxxxd)1652(d11322xxx
5、xxd116d5d2 .|1|ln652Cxxx绝对值绝对值例3.d13 22xxx求解xxxxxxxxxd113d3d1333d1322222 .arctan33Cxx利用加一项、减一项的方法.例4.1d xex求解xeexxeeeexxxxxxxd1dd111d.)1ln(Cexx?利用加一项、减一项的方法.例5.)()(d babxaxx求解xbxaxbabxaxxd111)(d xbxxaxbad1d11 .ln1Cbxaxba部分分式法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解 dsincossincosdsincos2cos222222xxxxxxxxxxxxxdcos1ds
6、in122.tancotCxx .下面看另一种解法例6 .dsincos2cos 22xxxx求解xxxxxxxxdsincos42cos 4dsincos2cos2222xxxd)2(sin2cos2 2221vvv .2sin2Cx 有何想法？两个解法答案不同，你例7 .sin1d xx求解 d )sin1)(sin1(sin1 sin1dxxxxxxxxxdcossin12xxxxxdcossindcos122.sectanCxx想想它是谁的导数？怎么做？怎么做？利用平方差公式例8 .d2 xexx求解Ceexexexxxx)2ln()(2 d)2(d2 .2ln12Cexxaaaxxl
7、n)(例9 .d|xex求解 ,0 时当 x,dd1|Cexexexxx ,0 时当 x,dd2|Cexexexxx ,故必是连续函数由于一个函数的原函数,)(lim)(lim2010CeCexxxx ,2 21从而即有 CC .0 ,0 ,2d|xCexCexexxx.)(为积分常数C2.不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.它是在积分运算过程中进行适当的变量代换,将原来的积分化为对新的变量的积分,而后者的积分是比较容易积出的.(1)不定积分的第一换元法
8、:公式首先看复合函数的导数 )(),(上的可构成区间设可微函数IxuuFy ),()()(xxFxF ),(则可微的复合函数xFy 它的微分形式为xxxFxFd)()()(d(),()(则记ufuF ,d)(d)()()(d(uufxxxfxF看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?定理 ,)()(上的一个原函数在区间是设IufuF ,)(),()(且上可微在区间又JxuICuf ,)(上有则在区间JIJ .)()(d)(d)()(CxFCuFuufxxxf该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!例10解
9、.dcossin 3xxx求 ,dcosd ,sin 故则令xxuxuuuxxxddcossin33Cu 441C4sin41例11解.dsin 3xx求 ,sin)cos1(sinsinsin 223xxxxx由于 ,dsind ,cos 得从而，则故令xxuxu)d)(1(dsin)cos1(dsin223uuxxxxx ddd)1(22uuuuu.coscos313133CxCuu 常用的公式有：;)sin(d)(dcos)(sin )1(xuuufxxxf;)cos(d)(dsin)(cos )2(xuuufxxxf;)tan(d)(cosd)(tan )3(2xuuufxxxf;)s
10、in(d)1(dcossin )4(1212xuuuuxxxnmnm;)cos(d)1(dcossin )5(1212xuuuuxxxnmmn;)tan()1(ddcossin )6(12222xuuuuxxxnmmnm;)cos()1(dusind )7(222xuuxxnn;)sin()1(dcosd )8(222xuuuxxnn;)tan(d)1(sind )9(2122xuuuuxxnnn;)tan(d)1(cosd )10(122xuuuxxnn.,Znm其中例12解.dcossin 310 xxx计算 ,dcosd ,sin 于是则令xxuxuuuuxxxd)1(dcossin21
11、0310uuud)(1210Cuu1311131111.sin131sin1111311Cxx例13解.cos d 4xx计算 ,cos dd tan 2于是，则令xxuxuxxxxxxxxdcos1secdcos1cos1cosd22224xxx22cosd)tan1(.tan31tan3133CxxCuuuud)1(2例14解.dsec xx求xxxxxxxdsec sec)sec(tan dsecxxxxxdsectan)sec(tan.|sectan|lnCxxCxxCuuuuxxxxxxxx 1sin1sin ln21 11 ln21 1dsin1dcoscos dcos dsec
12、222则有此题若按下面方式做，Cxfxxfxf|)(|lnd)()(:一般有例15解.dsectan 35xxx计算xxxxxxxxdsectansectandsectan2435xxxxdsectansec)1(sec22xusec 令uuud)1(222uuuud)2(246Cuuu357315271Cxxx357sec31sec52sec71例16解.ln d xxx求于是则令 ,1d ,ln xuxuCuuuxxx|lndlnd.|ln|lnCx .)ln(d)(d)(ln :xuuufxxxf一般公式例17解.d1 4xxx求 ,d2d ,2故则令xxuxu241d21d1uuxxx
13、.arctan21arctan212CxCu.)(d)(1d)(:1nnnxuuufnxxxf一般公式为例18解.d1 2xeexx求 ,dd ,故则令xeueuxx 1dd122uuxeexx.arctanarctanCeCux.)(d)(d)(:xkxkxeuuufxeef一般公式为例19解.1 d 4xxx计算，故，则令xxuxud2d 2241 d211 duuxxxCuu|1|ln212 .)1 ln(2142Cxx例20解.)1 ln()1(d 22xxxx计算，故，则令 1 dd )1 ln(2xxuxxu d )1 ln()1(d22uuxxxx 2Cu .)1 ln(22Cx
14、x例21解.d)ln(ln1 2xxxx计算xxxxxxxxxd)ln1(ln1d)ln(ln1222 dln1d ln1 2，故，则令xxxuxxu dd)ln(ln122uuxxxx 1Cu .lnCxxx例22解.)0(d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa .arcsin22Cxaaxa例23解 .d)1(arctan xxxx计算，故，则令xxuxu2dd uuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21dd arctan uuvuv d2d)1(arctanvvxxx
15、xCv 2.)(arctan)(arctan22CxCu 换元法可以连续使用(2)不定积分的第二换元法 d)(d)()(是被积表达式第一换元法：uufxxxf常遇到的是一般形。而在实际问题中，常已明显含有因子)(x。，而不能分出因子式的积分：)(d)(xxxf 将积分转化：及反函数的导数公式，这时我们利用复合函数ttgtttfd)(d)()(xxfd)()(tx令CtF)(容易积出：应满足什么条件？想想函数)(t定理上在区间，函数设函数*)()()(ItxICxf。，且严格单调增加，可微，IIt)(0)(*)()()(*，则上有原函数在区间若tFIttf 上有在区间 I ,)(d)(1CxFx
16、xf是积分常数。的反函数；是其中，)()(1Ctx分第二换元法。该定理描述的是不定积证存在，存在定理可知：由定理的条件及反函数 )(1xt 上单调增加、可微。且在 I导法则，有由复合函数及反函数求)()()(111xxFxF)(1)(ttF)(1)()(tttf.)()()(的原函数是ttftF)(tf .)(xf )()(1上的一个原函数，故在是即IxfxF .)(d)(1CxFxxf0)(t例24解 ).0(d 22aaxx计算计算。第一换元法此题可以用 算。现在采用第二换元法计 22 dsecd tan 2，故，则令tttaxtaxtattaaxxsecdsecd222ttdsec1|t
17、ansec|lnCtt)ln(.|ln122aCCCaxx22ax xat的表达式的积分，、一般说来，含有 2222axxa。来代替原变量的三角函数或双曲函数可用新变量 xt例25解 .)0(d 22aaxx计算 .),(),(1)(22aaaxxf的连续区间为时 ),()1(ax dtansecd 20 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.|ln122aCCCaxxxat22ax 时 ),()2(ax dtansecd 2 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtanse
18、cd22ttdsec1|tansec|lnCtt|ln222Caxx0 x2222222)(lnCaxxaxxaxx)ln(.|ln122aCCCaxx ),(),(均有或综上所述，不论axax ).0(,|lnd2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时 例26解 .)0(d 22axxa计算故则令 ,dcosd ,22 ,sin ttaxttax dcosdcoscosd2222ttattataxxattad22cos12Ctta)2sin21(22 .2arcsin2222Cxaxaxaxat22xa 例27解.)0()(d 322axax计算
19、 ,dcosd ,22 ,sin 故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12 .222Cxaaxxat22xa 例28解 .d 3xxx计算.6 ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx ,0 ,61txt令 ,d 6d ,56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd)111(62Ctttt|1|ln6 6 3 223 .)1ln(6632663Cxxxx .,.,2111的最小公倍数为分母其中可作变量代换四则运算构成时通过被积函数由一般说来nkqpqpqqqkxtxxxnn例29解 .)1(d 24xxx计算 ),0
20、 ,0(,dd ,1 2故则令txttxtx1d)1(d2424tttxxxtttd11)1(24 d)111(22tttCtttarctan33 .1arctan1313Cxxx 此法称为“倒代换”法 积分经常有效：“倒代换”法对于下列)(d2cbxaxnmxx)1 (tnmx令 的好方法。倒代换法是一个去分母例30解 .)1(123 d 2xxxxx计算 ,dd ,1 2故则令xxtxt2223d 123 dtttxxxx2)1(4d tt ,)10(dcos2d ,sin21 从而则令tt22cos 2dcos2 123 dxxxxdC .21arcsinCxx掉根式。积分，原则上是设法
21、去对于含有根式的函数的分。的不含根式的函数的积即可将问题转化为一般变量积分，直接令根式为新有些含有根式的函数的 例31解 .1d xx计算 d 2d ，故，则令ttxxttttxx1d 21dtttd111 2ttd)111 (2Ctt)|1|ln(2.)1ln(22Cxx例32解 .1 d 25 xxx计算 dd 1 1 222，故，则令ttxxtxxtttxxxd)1(1 d2225tttd)1 2(24Cttt353251.1 )1 (32)1 (5123252Cxxx例33解 .d111 xxxx计算 121 )1(d 4d 11 222，故，则令txtttxxxt)1)(1(d 4d
22、1121222ttttxxxtttttd)1)(1()1()1(222221d21d222ttttCtttarctan2|1|1|lnCxxxxxx11arctan2|11|11|ln例34解 .522d 2xxx计算4)1(2d522d22xxxxx ,dsec2d ,tan21 2故则令ttxtxtttxxxsec1dsec522d22tttcos)cos1(dttttcos1dcosdttttd2sec 21dsec212tan|tansec|lnCttt .1252|152|ln22Cxxxxxxtttsincos12tan配方例35解 ).0(d 22axxxa计算 dcosd 20 sin ，故，则，令ttaxttaxtattaxxxasin dcos d222ttttadsinsincos 22221)d(uuuatucos 令uuad)111 (2Cuuaua|1|1|ln2 .|ln2222Cxxaaaxa混合使用。第二换元法可该例说明第一、
