1、2.1.2 演绎推理 【自主预习自主预习】 1.1.演绎推理演绎推理 (1)(1)含义含义: :从一般性的原理出发从一般性的原理出发, ,推出某个推出某个_下下 的结论的结论, ,这种推理称为演绎推理这种推理称为演绎推理. . (2)(2)特点特点: :演绎推理是由演绎推理是由_到到_的推理的推理. . 特殊情况特殊情况 一般一般 特殊特殊 2.2.三段论三段论 一般模式一般模式 常用格式常用格式 大前提大前提 _ M M是是P P 小前提小前提 _ S S是是M M 结论结论 根据一般原理根据一般原理, ,对对_ 做出的判断做出的判断 S S是是P P 已知的一般原理已知的一般原理 所研究的
2、特殊情况所研究的特殊情况 特殊情况特殊情况 【即时小测即时小测】 1.1.下列说法正确的个数是下列说法正确的个数是 ( ( ) ) 演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理 演绎推理得到的结论一定是正确的演绎推理得到的结论一定是正确的 演绎推理的一般模式是“三段论”形式演绎推理的一般模式是“三段论”形式 演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推 理形式有关理形式有关 A.1A.1 B.2B.2 C.3C.3 D.4D.4 【解析解析】选选C.C.由演绎推理的概念可知说法正确由演绎推理的概念可知说法正确, , 不正确不正确. . 2
3、.2.下列几种推理过程是演绎推理的是下列几种推理过程是演绎推理的是_._. 两条平行直线与第三条直线相交两条平行直线与第三条直线相交, ,内错角相等内错角相等, ,如果如果 A A和和B B是两条平行直线的内错角是两条平行直线的内错角, ,则则A=B;A=B;金导金导 电电, ,银导电银导电, ,铜导电铜导电, ,铁导电铁导电, ,所以一切金属都导电所以一切金属都导电; ;由由 圆的性质推测球的性质圆的性质推测球的性质; ;科学家利用鱼的沉浮原理制科学家利用鱼的沉浮原理制 造潜艇造潜艇. . 【解析解析】是演绎推理是演绎推理; ;是归纳推理是归纳推理; ;是类比推是类比推 理理. . 答案答案
4、: : 【知识探究知识探究】 探究点探究点 演绎推理演绎推理 1.1.“三段论三段论”与与“演绎推理演绎推理”有何关系有何关系? ? 提示提示: :“三段论”是演绎推理的一般模式三段论”是演绎推理的一般模式. . 2.2.演绎推理所得的结论一定正确吗演绎推理所得的结论一定正确吗? ? 提示提示: :不一定不一定. .演绎推理中只要前提和推理形式正确演绎推理中只要前提和推理形式正确, ,其其 结论才正确结论才正确. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.演绎推理的三个特点演绎推理的三个特点 (1)(1)演绎推理的前提是一般性原理演绎推理的前提是一般性原理, ,演绎推理所得的结演绎推理所得的结 论是蕴
5、涵于前提之中的个别、特殊事实论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实, ,结论完全蕴涵结论完全蕴涵 于前提之中于前提之中. . (2)(2)在演绎推理中在演绎推理中, ,前提与结论之间存在必然的联系前提与结论之间存在必然的联系, ,只只 要前提是真实的要前提是真实的, ,推理的形式是正确的推理的形式是正确的, ,那么结论也必那么结论也必 定是正确的定是正确的. . (3)(3)演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理. . 2.2.对对“三段论三段论”的三点说明的三点说明 (1)(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理三段论中的大前提提供了一个一般性原理, ,小前提小前提 指出了一
6、种特殊情况指出了一种特殊情况, ,两个命题结合起来两个命题结合起来, ,揭示了一般揭示了一般 性原理与特殊情况的内在联系性原理与特殊情况的内在联系, ,从而得到了第三个命从而得到了第三个命 题题结论结论. . (2)(2)若集合若集合M M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P,SP,S是是M M中的一个子中的一个子 集集, ,那么那么S S中的元素也具有性质中的元素也具有性质P;P;若若M M中的元素都不具有中的元素都不具有 性质性质P,P,则则S S中的元素也不具有性质中的元素也不具有性质P.P. (3)(3)从以上两点可以看出从以上两点可以看出: :三段论推理的结论正确与否三段论推理
7、的结论正确与否, , 取决于两个前提是否正确取决于两个前提是否正确, ,推理形式是否正确推理形式是否正确. . 特别提醒特别提醒: :演绎推理与合情推理的本质区别演绎推理与合情推理的本质区别: :合情推理合情推理 是由特殊到一般是由特殊到一般( (特殊特殊) )的推理的推理. .由合情推理得到的结论由合情推理得到的结论 具有不可靠性具有不可靠性, ,而由演绎推理得到的结论是可靠的而由演绎推理得到的结论是可靠的. . 类型一类型一 用三段论表示演绎推理用三段论表示演绎推理 【典例典例】1.(20161.(2016淄博高二检测淄博高二检测)“)“因为四边形因为四边形ABCDABCD 是矩形是矩形,
8、 ,所以四边形所以四边形ABCDABCD的对角线相等”的对角线相等”, ,补充以上推补充以上推 理的大前提是理的大前提是 ( ( ) ) A.A.正方形都是对角线相等的四边形正方形都是对角线相等的四边形 B.B.矩形都是对角线相等的四边形矩形都是对角线相等的四边形 C.C.等腰梯形都是对角线相等的四边形等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.D.矩形都是对边平行且相等的四边形矩形都是对边平行且相等的四边形 2.2.三段论三段论: :平面内没有任何公共点的直线为平行线平面内没有任何公共点的直线为平行线; ; 直线直线a a ,b,b 且且a a与与b b没有公共点没有公共点; ;abab中的小前中的
9、小前 提是提是:_(:_(填序号填序号).). 3.3.将下列演绎推理写成三段论的形式将下列演绎推理写成三段论的形式. . (1)(1)一切偶数都能被一切偶数都能被2 2整除整除,100,100是偶数是偶数, ,所以所以100100能被能被2 2 整除整除. . (2)(2)函数函数y=2x+1y=2x+1是定义域上的单调函数是定义域上的单调函数. . (3) (3) 是有理数是有理数. . 0.3 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中的小前提和结论隐含了什么信中的小前提和结论隐含了什么信 息息? ? 提示提示: :四边形四边形ABCDABCD、矩形、对角线相等、矩形、对角线相等. .
10、 2.2.典例典例2 2中中, ,大前提、小前提、结论分别是什么大前提、小前提、结论分别是什么? ? 提示提示: :是大前提是大前提; ;是小前提是小前提; ;是结论是结论. . 3.3.典例典例3 3把演绎推理写成三段论的关键是什么把演绎推理写成三段论的关键是什么? ? 提示提示: :分清大前提、小前提和结论分清大前提、小前提和结论. . 【解析解析】1.1.选选B.B.由大前提、小前提、结论三者的关系由大前提、小前提、结论三者的关系 知知, ,大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”. . 2.2.根据演绎推理及三段论知根据演绎推理及三段论知, ,是大前
11、提是大前提; ;是小前提是小前提; ; 是结论是结论. . 答案答案: : 3.(1)3.(1)一切偶数都能被一切偶数都能被2 2整除整除, , 大前提大前提 100100是偶数是偶数小前提小前提 100100能被能被2 2整除整除结论结论 (2)(2)一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)是定义域上的单调函数是定义域上的单调函数 大前提大前提 函数函数y=2x+1y=2x+1是一次函数是一次函数小前提小前提 函数函数y=2x+1y=2x+1是定义域上的单调函数是定义域上的单调函数结论结论 (3)(3)所有循环小数都是有理数所有循环小数都是有理数大前提大前提 0. 0. 是循
12、环小数是循环小数小前提小前提 0. 0. 是有理数是有理数结论结论. . 3 3 【方法技巧方法技巧】将演绎推理写成三段论的方法将演绎推理写成三段论的方法 (1)(1)用三段论写推理过程时用三段论写推理过程时, ,关键是明确大、小前提关键是明确大、小前提. . (2)(2)用三段论写推理过程中用三段论写推理过程中, ,有时可省略小前提有时可省略小前提, ,有时甚有时甚 至也可将大前提与小前提都省略至也可将大前提与小前提都省略. . (3)(3)在寻找大前提时在寻找大前提时, ,可找一个使结论成立的充分条件可找一个使结论成立的充分条件 作为大前提作为大前提. . 【拓展延伸拓展延伸】合情推理与演
13、绎推理的区别与联系合情推理与演绎推理的区别与联系 合情推理合情推理 演绎推理演绎推理 区区 别别 思维方向思维方向 不同不同 归纳推理是从部分到整归纳推理是从部分到整 体体, ,从个别到一般的推理从个别到一般的推理; ; 类比推理是从特殊到特类比推理是从特殊到特 殊的推理殊的推理 在一般性知识的前提下推出在一般性知识的前提下推出 一个特殊性的知识的结论一个特殊性的知识的结论, , 即从一般到特殊的推理即从一般到特殊的推理 前提与结前提与结 论联系的论联系的 性质不同性质不同 结论超过了前提所断定结论超过了前提所断定 的范围的范围, ,其结论具有或然其结论具有或然 性性 结论不超过前提所断定的范
14、结论不超过前提所断定的范 围围, ,前提和结论的联系是必前提和结论的联系是必 然的然的 应用不同应用不同 不能作为数学证明的工不能作为数学证明的工 具具, ,但它具有创造性思维但它具有创造性思维, , 对于数学发现很有意义对于数学发现很有意义 可以作为数学证明的工具可以作为数学证明的工具, , 较少具有创造性较少具有创造性, ,但它严密但它严密 的论证有助于数学的理论化的论证有助于数学的理论化 和系统化和系统化 联联 系系 两者紧密联系两者紧密联系, ,互为依赖互为依赖, ,互为补充互为补充. . (1)(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归 纳
15、推理从具体的经验中概括出来纳推理从具体的经验中概括出来. .从这个意义上可以从这个意义上可以 说说, ,没有归纳推理就没有演绎推理没有归纳推理就没有演绎推理. . (2)(2)合情推理也离不开演绎推理合情推理也离不开演绎推理, ,合情推理活动的目合情推理活动的目 的、任务和方向必须借助于理论思维的、任务和方向必须借助于理论思维, ,依靠人们先前依靠人们先前 积累的一般性理论知识作指导积累的一般性理论知识作指导. .这本身就是一种演绎这本身就是一种演绎 活动活动, ,并且合情推理得到的结论正确与否并且合情推理得到的结论正确与否, ,必须借助必须借助 于演绎推理去论证于演绎推理去论证, ,从这个意
16、义上说从这个意义上说, ,没有演绎推理没有演绎推理 也就没有合情推理也就没有合情推理 【变式训练变式训练】(2016(2016焦作高二检测焦作高二检测) )论语论语云云: :“名名 不正不正, ,则言不顺则言不顺; ;言不顺言不顺, ,则事不成则事不成; ;事不成事不成, ,则礼乐不兴则礼乐不兴; ; 礼乐不兴礼乐不兴, ,则刑罚不中则刑罚不中; ;刑罚不中刑罚不中, ,则民无所措手足则民无所措手足; ;所所 以名不正以名不正, ,则民无所措手足则民无所措手足. .”上述理由用的是上述理由用的是( ( ) ) A.A.合情推理合情推理 B.B.归纳推理归纳推理 C.C.类比推理类比推理 D.D
17、.演绎推理演绎推理 【解析解析】选选D.D.由演绎推理的定义知由演绎推理的定义知, ,该推理为演绎推理该推理为演绎推理. . 类型二类型二 用三段论证明几何问题用三段论证明几何问题 【典例典例】如图如图,D,E,F,D,E,F分别是分别是BC,CA,ABBC,CA,AB上的点上的点,BFD= ,BFD= A,DEBA,A,DEBA,求证求证:ED=AF,:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理写出三段论形式的演绎推理. . 【解题探究解题探究】本例证明本例证明“ED=AFED=AF”依据的前提是什么依据的前提是什么? ? 提示提示: :四边形四边形AFDEAFDE为平行四边形为平行四边形. .
18、【解析解析】因为同位角相等因为同位角相等, ,两直线平行两直线平行, , 大前提大前提 BFDBFD与与A A是同位角是同位角, ,且且BFD=A,BFD=A,小前提小前提 所以所以FDAE.FDAE.结论结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, ,大前大前提提 DEBA,DEBA,且且FDAE,FDAE,小前提小前提 所以四边形所以四边形AFDEAFDE为平行四边形为平行四边形. .结论结论 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等, ,大前提大前提 EDED和和AFAF为平行四边形为平行四边形AFDEAFDE的对边的对边, ,小前提小
19、前提 所以所以ED=AF.ED=AF.结论结论 【延伸探究延伸探究】1.1.若增加条件若增加条件“C=AC=A”, ,证证 明明:BFD=BDF.:BFD=BDF. 【证明证明】因为同位角相等因为同位角相等, ,两直线平行两直线平行, ,大前提大前提 BFDBFD与与A A是同位角是同位角, ,且且BFD=A,BFD=A,小前提小前提 所以所以FDAE.FDAE.结论结论 因为两直线平行因为两直线平行, ,同位角相等同位角相等, ,大前提大前提 FDAE,FDAE,且且BDFBDF与与C C是同位角是同位角, ,小前提小前提 所以所以BDF=C.BDF=C.结论结论 又因为又因为C=A,BFD
20、=AC=A,BFD=A小前提小前提 所以所以BFD=BDFBFD=BDF结论结论 2.2.将典例中将典例中“BFD=ABFD=A”改为改为“BFD=DECBFD=DEC”, ,如何如何 证明结论证明结论. . 【证明证明】因为因为DEBA.DEBA.所以所以DEC=A,DEC=A, 又因为又因为BFD=DEC,BFD=DEC,所以所以BFD=A.BFD=A. 所以所以DFAC.DFAC.又因为又因为DEBA,DEBA, 所以四边形所以四边形AEDFAEDF为平行边行形为平行边行形. . 所以所以ED=AF.ED=AF. 【方法技巧方法技巧】 1.1.用用“三段论三段论”证明命题的格式证明命题的
21、格式 ( (大前提大前提) ) ( (小前提小前提) ) ( (结论结论) ) 2.2.用用“三段论三段论”证明命题的步骤证明命题的步骤 (1)(1)理清证明命题的一般思路理清证明命题的一般思路. . (2)(2)找出每一个结论得出的原因找出每一个结论得出的原因. . (3)(3)把每个结论的推出过程用把每个结论的推出过程用“三段论三段论”表示出来表示出来. . 【补偿训练补偿训练】已知平面已知平面 平面平面 , ,直直l , ,l =A,=A, 求证求证: :l . . 【证明证明】在平面在平面内任取一条直线内任取一条直线b,b,平面平面是经过点是经过点A A 与直线与直线b b的平面的平面
22、, ,设设=a.=a. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交如果两个平行平面同时和第三个平面相交, ,那么它们的那么它们的 交线平行交线平行, , 大前提大前提 ,且且=a,=b,=a,=b, 小前提小前提 所以所以ab.ab. 结论结论 如果一条直线与一个平面垂直如果一条直线与一个平面垂直, ,那么这条直线和这个平那么这条直线和这个平 面内的任意一条直线都垂直面内的任意一条直线都垂直, , 大前提大前提 l,a,a , 小前提小前提 所以所以l a.a. 结论结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直如果一条直线和两条平行线中的一条垂直, ,那么它也与那么它也与 另一条垂直另一条垂直, ,
23、大前提大前提 ab,ab,且且l a,a, 小前提小前提 所以所以l b.b. 结论结论 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直, ,那那 平面垂直平面垂直, 大前提大前提 因为因为lb,b,且直线且直线b b是平面是平面内的任意一条直线内的任意一条直线, 小前提小前提 所以所以l. 结论结论 类型三类型三 用三段论证明代数问题用三段论证明代数问题 【典例典例】1.(20161.(2016菏泽高二检测菏泽高二检测) )已知已知 , ,函数函数 f(x)=af(x)=ax x, ,若实数若实数m,nm,n满足满足f(m)f(n),f(m)f(n)
24、,则则m,nm,n的大小关系的大小关系 是是_. _. 2.2.设函数设函数f(x)= ,f(x)= ,其中其中a a为实数为实数, ,若若f(x)f(x)的定义的定义 域为域为R,R,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 5 1 a 2 x 2 e xaxa 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中条件中条件“ ”的作用是什么的作用是什么? ? 提示提示: :“ ”的作用是指明函数的单调性的作用是指明函数的单调性. . 2.2.典例典例2 2中中“f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R”说明什么说明什么? ? 提示提示: :“f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R”说明“
25、说明“x x2 2+ax+a+ax+a0 0恒成立”恒成立”. . 5 1 a 2 5 1 a 2 【解析解析】1.1.当当0f(n),得得m0. 所以在所以在( (- -,0),0)上上,f(x)0,f(x)0, x 2 2 x xa2 e xaxa ， 在在(0,2(0,2- -a)a)上上,f(x)0, 所以所以f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为(0,2(0,2- -a).a). 当当a=2a=2时时,f(x)0,f(x)0恒成立恒成立; ; 当当20, 在在(2(2- -a,0)a,0)上上,f(x)0, 所以所以f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为(2(2- -a,
26、0).a,0). 综上综上, ,当当00,f(x)= 是是R R上的偶函数上的偶函数. . (1)(1)求求a a的值的值. . (2)(2)求证求证:f(x):f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . x x ea ae 【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)f(x)是是R R上的偶函数上的偶函数, , 所以对一切所以对一切xR,xR,都有都有f(x)=f(f(x)=f(- -x),x), 即即 整理得整理得 对一切对一切xRxR恒成立恒成立. . 因因e ex x- - 不恒为不恒为0,0,故故 - -a=0,a=0,所以所以a=a=1.1. 又又a0,a0,所以所以a
27、=1.a=1. xx x xxx eaea1 ae aeaeae ， x x 11 (a)(e)0 ae x 1 e 1 a (2)(2)任取任取x x1 1,x,x2 2(0,+)(0,+)且且x x1 10,x2 200且且x x1 10,x1 1+x+x2 20,0, 所以所以 1,11,1- - 0,0,所以所以f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2)0)0 即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),故故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数. . 12 12 12 21121 1212 xx 12 xx xx xxxxx xxxx 11 f(
28、x ) f(x )ee ee 11 e ee(1)e (e1) ee 则 （） 21 xx e 12 xx e 自我纠错自我纠错 演绎推理演绎推理 【典例典例】求证求证: :四边形的内角和等于四边形的内角和等于 360360. . 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是推理过程错误错误的根本原因是推理过程错误, ,犯了借换论题犯了借换论题 的错误的错误. .实际上题设中的四边形实际上题设中的四边形, ,不一定是矩形不一定是矩形, ,它指的它指的 是任意四边形是任意四边形. . 正确的解答过程如下正确的解答过程如下: : 【解析解析】如图所示如图所示, , 在四边形在四边形ABCDABCD中中, ,连接连接AC,AC, 在在ACDACD中中,3+4+D=180,3+4+D=180, , 在在ABCABC中中,1+2+B=180,1+2+B=180, , + +, ,得得(1+3)+(2+4)+B+D=360(1+3)+(2+4)+B+D=360, , 即即DAB+DCB+B+D=360DAB+DCB+B+D=360. . 所以四边形的内角和等于所以四边形的内角和等于360360. .
