1、第2课时 分 析 法 主题：主题：分析法分析法 【自主认知自主认知】 证明不等式：证明不等式： 成立，可用下面的方法进行成立，可用下面的方法进行. . 证明：要证明证明：要证明 由于由于 只需证明只需证明 展开得展开得 只需证明只需证明6cabc，且，且 a+b+c=0a+b+c=0，求证，求证 则证明的依据应是则证明的依据应是( ( ) ) A.aA.a- -b0b0 B.aB.a- -c0c0 C.(aC.(a- -b)(ab)(a- -c)0c)0 D.(aD.(a- -b)(ab)(a- -c)0(a(a- -c)(ac)(a- -b)0.b)0. 2 bac3a 2.2.证明不等式证
2、明不等式 (a2)(a2)成立所用的最适合的成立所用的最适合的 方法是方法是 . . 【解析解析】由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式由于此式两边都有根号，由其特点可用分析法证明此不等式. . 答案：答案：分析法分析法 a 1aa 1a2 【归纳总结归纳总结】 1.1.对分析法的两点说明对分析法的两点说明 (1)(1)思维方法：分析法是指思维方法：分析法是指“执果索因执果索因”的思维方法，即从结论出发，的思维方法，即从结论出发， 不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法不断地去寻找需知，直至找到已知事实的方法. . (2)(2)分析法的形式：分析法的形式：“结论结论需知需知1
3、1需知需知2 2已知已知”. . 2.2.分析法与综合法的区别与联系分析法与综合法的区别与联系 综合法综合法 分析法分析法 区区 别别 符号符号 表示表示 A(A(已知已知) )P P1 1P P2 2 P Pn nB(B(结论结论) ) B(B(结论结论) )P P1 1P P2 2 P Pn nA(A(已知已知) ) 特特 点点 从“已知”看“可知”，从“已知”看“可知”， 逐步推向未知，其逐步逐步推向未知，其逐步 推理，实际上是步步寻推理，实际上是步步寻 找上一步的必要条件找上一步的必要条件. . 可概括为“由因导果”可概括为“由因导果” 从“未知”看“需知”，逐从“未知”看“需知”，逐
4、 步靠拢“已知”，其逐步推步靠拢“已知”，其逐步推 理，实际上是步步寻找上一理，实际上是步步寻找上一 步的充分条件步的充分条件. .可概括为“执可概括为“执 果索因”果索因” 综合法综合法 分析法分析法 联联 系系 (1)(1)用综合法和分析法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，用综合法和分析法证明同一个问题时，一般思路恰好相反， 过程相逆过程相逆 (2)(2)有的问题单纯用二者之一不能奏效时，可二者兼用，一般有的问题单纯用二者之一不能奏效时，可二者兼用，一般 先分析后综合先分析后综合 类型一：类型一：分析法证明不等式分析法证明不等式 【典例典例1 1】设设a a，b b为实数，求证：为实数，
5、求证： 【解题指南解题指南】讨论讨论 成立的条件，分成立的条件，分a+ba+b0 0和和 a+b0，b0b0，求证，求证 ”， 如何证明？如何证明？ 【证明证明】要证要证 只需证只需证 即证即证(a(a- -b)( )0b)( )0， 因为因为a0a0，b0b0， 所以所以a a- -b b与与 符号相同，符号相同， 不等式不等式(a(a- -b)( )0b)( )0成立，所以原不等式成立成立，所以原不等式成立. . ab ab ba ab ab ba a ab ba bb a， ab ab ab 【规律总结规律总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)
6、(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知 的重要不等式和逻辑推理的基本理论的重要不等式和逻辑推理的基本理论. . (2)(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常 用综合法用综合法. .而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分 析法析法. . (3)(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐 步寻求使它成立的
7、充分条件，最后得到的充分条件是已知步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知( (或已证或已证) )的的 不等式不等式. . (4)(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要要 证证”、“只需证只需证”、“即证即证”等词语等词语. . 【巩固训练巩固训练】当当a2a2时，求证时，求证 【证明证明】要证要证 只需证只需证 只需证只需证 只需证只需证 只需证只需证 a 1aa 1a2. a 1aa 1a2 ， a 1a2aa 1 ， 22 a 1a2aa 1 ， a 1 a22a 1 a2aa 1 2 a a 1 . (a
8、 1) a2a a 1， 只需证只需证(a+1)(a(a+1)(a- -2)0， 只需只需a0a0，b0b0，a a- -b0b0，即，即a a，b b要满足的条件为要满足的条件为ab0.ab0. abab abab， abab， b ab， b ab 类型二：类型二：分析法证明其他问题分析法证明其他问题 【典例典例2 2】求证：以过抛物线求证：以过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与焦点的弦为直径的圆必与 直线直线x= x= 相切相切. . 【解题指南解题指南】 p 2 【证明证明】如图所示，过点如图所示，过点A A，B B分别作分别作AAAA，BBBB垂
9、直准线于点垂直准线于点AA， BB， 取取ABAB的中点的中点M M，作，作MMMM垂直准线于点垂直准线于点MM， 要证明以要证明以ABAB为直径的圆与准线相切，为直径的圆与准线相切， 只需证只需证|MM|= |AB|.|MM|= |AB|. 由抛物线的定义有由抛物线的定义有|AA|=|AF|AA|=|AF|， |BB|=|BF|BB|=|BF|， 1 2 所以所以|AB|=|AA|+|BB|AB|=|AA|+|BB|， 因此只需证因此只需证|MM|= (|AA|+|BB|).|MM|= (|AA|+|BB|). 根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线根据梯形的中位线原理可知上式
10、是成立的，所以以过抛物线y y2 2=2px=2px 焦点的弦为直径的圆必与直线焦点的弦为直径的圆必与直线x= x= 相切相切. . 1 2 p 2 【规律总结规律总结】分析法证明问题的两个关键点分析法证明问题的两个关键点 (1)(1)利用分析法证明时，在叙述过程中利用分析法证明时，在叙述过程中“要证要证”“”“只需证只需证”“”“即要证即要证” 这些词语必不可少，否则会出现错误这些词语必不可少，否则会出现错误. . (2)(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结 论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解论
11、成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解. . 【巩固训练巩固训练】如图所示，如图所示，SASA平面平面ABCABC，ABBCABBC，过，过A A作作SBSB的垂线，的垂线， 垂足为垂足为E E，过，过E E作作SCSC的垂线，垂足为的垂线，垂足为F F，求证：，求证：AFSC.AFSC. 【证明证明】要证要证AFSCAFSC，只需证，只需证SCSC平面平面AEFAEF， 只需证只需证AESC(AESC(因为因为EFSC).EFSC). 只需证只需证AEAE平面平面SBCSBC， 只需证只需证AEBC(AEBC(因为因为AESB)AESB)， 只需证只需证BCBC平面平面SABSAB
12、， 只需证只需证BCSA(BCSA(因为因为ABBC)ABBC)， 由由SASA平面平面ABCABC可知，可知，BCSABCSA成立成立. . 所以所以AFSC.AFSC. 【补偿训练补偿训练】若函数若函数f(x+1)f(x+1)与与f(x)f(x)的图象关于的图象关于y y轴对称，求证：轴对称，求证： 为偶函数为偶函数. . 【证明证明】记记F(x)= F(x)= 欲证欲证F(x)F(x)为偶函数，只需证为偶函数，只需证F(F(- -x)=F(x)x)=F(x)， 即证即证 由已知，函数由已知，函数f(x+1)f(x+1)与与f(x)f(x)的图象关于的图象关于y y轴对称，轴对称， 而函数
13、而函数f(x)f(x)与与f(f(- -x)x)的图象也是关于的图象也是关于y y轴对称的，轴对称的， 1 f(x) 2 1 f(x) 2 ， 11 f(x)f(x). 22 所以所以f(f(- -x)=f(x+1).x)=f(x+1). 于是有于是有 所以所以 为偶函数为偶函数. . 11 f(x)f(x) 22 11 f(x) 1f(x). 22 1 f(x) 2 类型三：类型三：综合法与分析法的综合应用综合法与分析法的综合应用 【典例典例3 3】已知已知a a，b b，c c表示表示ABCABC的三边长，的三边长，m0m0，求证：，求证： 【解题指南解题指南】根据在根据在ABCABC中任
14、意两边之和大于第三边，再利用中任意两边之和大于第三边，再利用 分析法与综合法结合证明不等式成立分析法与综合法结合证明不等式成立. . abc . ambmcm 【证明证明】要证明要证明 只需证明只需证明 即可，即可， 所以所以 因为因为a0a0，b0b0，c0c0，m0m0，所以，所以(a+m)(b+m)(c+m)0.(a+m)(b+m)(c+m)0. abc . ambmcm abc 0 ambmcm abc ambmcm a bm cmb am cmc ambm ambm cm 因为因为a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)- -c(a
15、+m)(b+m)c(a+m)(b+m) =abc+abm+acm+am=abc+abm+acm+am2 2+abc+abm+bcm+bm+abc+abm+bcm+bm2 2- -abcabc- -bcmbcm- -acmacm- -cmcm2 2 =2abm+am=2abm+am2 2+abc+bm+abc+bm2 2- -cmcm2 2 =2abm+abc+(a+b=2abm+abc+(a+b- -c)mc)m2 2. . 因为因为ABCABC中任意两边之和大于第三边，中任意两边之和大于第三边， 所以所以a+ba+b- -c0c0， 所以所以(a+b(a+b- -c)mc)m2 200， 所
16、以所以2abm+abc+(a+b2abm+abc+(a+b- -c)mc)m2 200， 所以所以 abc . ambmcm 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )本例增加条件本例增加条件“三个内角三个内角A A，B B，C C成等差数列成等差数列”求证：求证： 【证明证明】要证要证 即证即证 即证即证 即证即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，即证，即证c c2 2+a+a2 2=ac+b=ac+b2 2. . 113 . abbcabc 113 abbcabc ， abcabc 3 abbc ， ca 1.
17、abbc 因为因为ABCABC三个内角三个内角A A，B B，C C成等差数列，所以成等差数列，所以B=60B=60. . 由余弦定理由余弦定理，有，有b b2 2=c=c2 2+a+a2 2- -2cacos602cacos60， 即即b b2 2=c=c2 2+a+a2 2- -ac.ac. 所以所以c c2 2+a+a2 2=ac+b=ac+b2 2成立，即命题得证成立，即命题得证. . 2.(2.(改变问法改变问法) )证明：证明： 【证明证明】要证要证 只需证只需证a+b+(a+b)c(1+a+b)c.a+b+(a+b)c(1+a+b)c. 即证即证a+bc.a+bc.而而a+bc.
18、a+bc.显然成立显然成立. .所以所以 abc . 1 ab1 c abc 1 ab1 c ， abc . 1 ab1 c 【规律总结规律总结】综合法、分析法的应用综合法、分析法的应用 (1)(1)综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思 路路. . (2)(2)在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分 析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中 间结论间结论Q Q；根据结
19、论的结构特点去转化条件，得到中间结论；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P P；若由；若由P P 可推出可推出Q Q，即可得证，即可得证. . (3)(3)在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产在实际解决问题中，先分析由条件能产生什么结论，再分析要产 生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突生需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突 破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程. . 【巩固训练巩固训练】设设a a，b b，c c均为大于均为大于1 1的正数，且的正数，且ab=10.
20、ab=10.求证：求证： logloga ac+logc+logb bc4lg c.c4lg c. 【证明证明】由于由于a1a1，b1b1，故要证明，故要证明logloga ac+logc+logb bc4lg cc4lg c， 只要证明只要证明 4lg c4lg c， 又又c1c1，故，故lg c0lg c0， 所以只需证明所以只需证明 4 4，即，即 4 4， lg clg c lg alg b 11 lg alg b lg alg b lg a lg b 因为因为ab=10ab=10，故，故lg a+lg b=1.lg a+lg b=1. 只需证明只需证明 4 4，(*)(*) 由于由于a1a1，b1b1，故，故lg a0lg a0，lg b0lg b0， 所以所以00，(a(a- -b)b)2 200，所以，所以- -8ab(a8ab(a- -b)b)2 20.0. 所以该一元二次方程没有实数根所以该一元二次方程没有实数根. .
