1、章末复习课第二章随机变量及其分布学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题.5.通过实际问题的频率分布直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.条件概率的性质(1)非负性：0P(B|A)1.(2)可加性：如果B和C
2、是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A).2.相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An).(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(AB).P(A1)P(A2)P(An)P(A)P(B)P(AB)3.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是n次独立重复试验中某事件发生的次数.4.均值与方差的性质(1)若ab(a，b是常数)，是随机变
3、量，则也是随机变量，且E()E(ab).(2)D(ab).(3)D().aE()ba2D()E(2)E()25.正态总体在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X).(2)P(2X2).(3)P(3X3).0.682 60.954 40.997 4题型探究例例1口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？解解记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球.从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有45个，解答类型一条件概率的
4、求法(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？解解从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共65个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有43个，解答(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？解解利用条件概率的计算公式，解答条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法反思与感悟在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数.跟踪训练跟踪训练1掷两颗均匀的骰子，已知第一颗
5、骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.解答方法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种，n(B)6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n(AB)3.解解设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.例例2某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；类型二互斥、对立、独立事件的概率解答解解记
6、E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功.(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.解答解解设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.故所求的分布列为在本类题求解中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式(1)P(A)1P().(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)P(A)P(B).(3)若事件A，B是互斥事件，则P(AB)P(A)P(B).反思与感悟跟踪训练跟踪训练2红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A，乙胜B，丙胜C
7、的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.(1)求红队至少两名队员获胜的概率；解答解解设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5.由对立事件的概率公式，(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求P(1).解答解解由题意，知的可能取值为0,1,2,3.所以P(1)P(0)P(1)0.45.例例3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字).(1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布列；类型三离散型随机变量的分布列、均值和方差解答解解由已知，随机变量的取值为2,
8、3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为0，故的分布列为(2)若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E()，D().解答求离散型随机变量的均值与方差的步骤反思与感悟跟踪训练跟踪训练3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 假设各局比赛结果相互独立.解答(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；解解记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0
9、分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及均值.解答解解设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知各局比赛结果相互独立，由题意知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性，得故X的分布列为例例4某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列和均值；解答类型四概率的实际应用解
10、解三个问题均答错，得00(10)10(分).三个问题均答对，得10102040(分).三个问题一对两错，包括两种情况：前两个问题一对一错，第三个问题错，得100(10)0(分)；前两个问题错，第三个问题对，得002020(分).三个问题两对一错，也包括两种情况：前两个问题对，第三个问题错，得1010(10)10(分)；第三个问题对，前两个问题一对一错，得2010030(分).故的可能取值为10,0,10,20,30,40.P(10)0.20.20.40.016，P(10)0.80.80.40.256，P(20)0.20.20.60.024，P(40)0.80.80.60.384.所以的分布列为
11、所以E()100.01600.128100.256200.024300.192400.38424.10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384(2)求这位挑战者总得分不为负分(即0)的概率.解答解解这位挑战者总得分不为负分的概率为P(0)1P(0)10.0160.984.解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想.反思与感悟跟踪训练跟踪训练4某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受
12、A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 同样也假定D受A、B和C感染的概率都是 在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程).解答随机变量X的分布列是当堂训练1.抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为23451解析解析解析设抛掷一枚骰子出现的点数不超过4为事件A，抛掷一枚骰子出现的点数是奇数为事件B，答案23451解析答案23451解析解析设“国庆节放假，甲，乙，丙三人去北京旅游”分别为事件A，B，C，3.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取
13、一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%23451解析答案23451解析解析由正态分布的概率公式，知P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，23451解析答案5.盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差.解答2345123451解解取出的白球个数可能取值为0,1,2.0时表示取出的两个球都为黑球，1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球，2表示取出的两个球均为白球，23451即D()E(2)E()21.81.220.36.规律与方法1.条件概率的两个求解策略其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P(AB)1P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.3.求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.
