1、第六第六章章 数数 列列 6 6.3 3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和 -3-知识梳理双基自测211.等比数列(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学2 同一个常数 公比 q(q0)-4-知识梳理双基自测21(2)等比中项如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.(3)等比数列的通项公式an=;可推广为an=.(4)等比数列的前n项和公式G2=ab a1qn-1 amqn-m-5-知识梳理双基自测212.等比数列及
2、其前n项和的性质(1)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=;若m+n=2k,则(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为.(3)若an,bn(项数相同)是等比数列,则aman qm-6-知识梳理双基自测21当q1,则a3=.答案解析解析关闭 答案解析关闭-12-知识梳理双基自测23415-13-考点1考点2考点3考点4例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于()(2)(2017全国,理14)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.思考解决等比数列基
3、本运算问题的常见思想方法有哪些?答案:(1)B(2)-8(3)32-14-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意可知公比q1.-15-考点1考点2考点3考点4-16-考点1考点2考点3考点4解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.-17-考点1考点2
4、考点3考点4对点训练对点训练1(1)已知公比q1的等比数列an的前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()(2)在等比数列an中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则an的公比q等于()A.3B.2或3C.2D.6 答案解析解析关闭 答案解析关闭-18-考点1考点2考点3考点4例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?-19-考点1考点2考点3考点4-20-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判断数列an为等比数列的方法:2.解答选择题、填空题时也可用如下方法:(1)通项
5、公式法:若数列通项公式可写成an=cqn(c,q均是不为0的常数,nN*),则数列an是等比数列.(2)前n项和法:若Sn=kqn-k(k为常数,且k0,q0,1),则数列an为等比数列.3.若证明一个数列不是等比数列,则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可,一般证明-21-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2已知数列an的前n项和为Sn,在数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n.(1)设cn=an-1,求证:cn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.(1)证明:an+Sn=n,an+1+Sn+1=n+1.-得an+1-an+an+1=1,2an+
6、1=an+1,2(an+1-1)=an-1,-22-考点1考点2考点3考点4-23-考点1考点2考点3考点4考向一等比数列项的性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?答案 答案关闭(1)B(2)14-24-考点1考点2考点3考点4-25-考点1考点2考点3考点4考向二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则
7、S6=()A.31 B.32C.63 D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?答案解析解析关闭(方法1)S2=3,S4=15,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(方法2)设等比数列an的公比为q,则S2=a1+a2=3,S4=a1+a2+a3+a4=(1+q2)(a1+a2)=(1+q2)3=15,解得q2=4.故S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=(1+q2+q4)(a1+a2)=(1+4+42)3=63.答案解析关闭C-26-考点1考点2考点3考点4解
8、题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.-27-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为()A.5B.6C.10 D.12(2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为S
9、n,若 ,则公比q=.答案解析解析关闭 答案解析关闭-28-考点1考点2考点3考点4例5已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?-29-考点1考点2考点3考点4解:设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2,得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0,解得q=
10、-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.-30-考点1考点2考点3考点4解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.-31-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列a
11、n的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.-32-考点1考点2考点3考点4(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.-33-考点1考点2考点3考点41.等比数
12、列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(3)等比中项法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.-34-考点1考点2考点3考点43.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.求等比数列的前n项和时,易忽略q
13、=1这一特殊情形.-35-审题答题指导如何理解条件和转化条件典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN*,将数列an中落入区间(9m,92m)内的个数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.审题要点(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范围.-36-解(1)设等差数列an的公差为d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.-37-反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,这是对考生数学能力的挑战,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列bm的通项公式是解答该问题的核心与关键.
