1、第三章概率的进一步认识章末复习第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识概率的进一步认识概率的进一步认识随机事件发随机事件发生的可能性生的可能性概率的计算概率的计算发生的频率来估计这发生的频率来估计这一事件发生的概率一事件发生的概率用试验频率估用试验频率估计概率计概率第三章概率的进一步认识只涉及一步试验的随只涉及一步试验的随 机事件机事件发生的概率发生的概率 概率的计算概率的计算涉及两步或两步以上试验涉及两步或两步以上试验 的随机事件发生的概率的随机事件发生的概率随机事件发生随机事件发生 的可能性的可能性第三章概率的进一步认识理论计算理论计算前提：每种结果出现前提：每种结果出现 的可能的可能
2、性相同性相同方法：方法：列表；列表；画树状图画树状图概率的应用：游戏公平性概率的应用：游戏公平性概率的计算概率的计算专题一专题一 概率的计算概率的计算第三章概率的进一步认识【要点指导要点指导】(1)(1)一般地一般地,如果在一次试验中如果在一次试验中,有有n n种可能的结种可能的结果果,并且它们发生的可能性都相等并且它们发生的可能性都相等,事件事件A A包含其中包含其中m m种结果种结果,那那么事件么事件A A发生的概率发生的概率对于简单事件对于简单事件,直接利用公式计算即可直接利用公式计算即可,但对于比较复杂的事件但对于比较复杂的事件,宜利用画树状图或列表的方法宜利用画树状图或列表的方法,先
3、确定先确定m,nm,n的值的值,再代入公式计再代入公式计算算.(2).(2)有的问题需要借助概率的计算方法有的问题需要借助概率的计算方法,通过列方程来解答通过列方程来解答.第三章概率的进一步认识例例1 1 一只不透明的袋子中一只不透明的袋子中,装有装有2 2个白球和个白球和1 1个红球个红球,这些球除颜色这些球除颜色不同外其余都相同不同外其余都相同.(1)(1)小明认为小明认为,搅匀后从中任意摸出一个球搅匀后从中任意摸出一个球,不是白球就是红球不是白球就是红球,因此摸出白球和摸出红球是等可能的因此摸出白球和摸出红球是等可能的.你同意他的说法吗？为什么？你同意他的说法吗？为什么？(2)(2)从中
4、摸出一个球从中摸出一个球,不放回不放回,搅匀后再从中摸出一个球搅匀后再从中摸出一个球,请通过请通过列表格列表格 或画树状图的方法求摸出的两个球都是白球的概率或画树状图的方法求摸出的两个球都是白球的概率.第三章概率的进一步认识分析分析(1)(1)根据公式分别求出摸出白球和摸出红球的概率根据公式分别求出摸出白球和摸出红球的概率,则易知小明则易知小明 的说法正确与否；的说法正确与否；(2)(2)用列表格或画树状图的方法均可用列表格或画树状图的方法均可.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识相关题相关题1 贺州中考贺州中考 在甲口袋中有三在甲口袋中有三 张完全相同的卡片张完全相同的卡片,分别标分
5、别标 有数有数-1,1,2,-1,1,2,在乙口袋中也在乙口袋中也 有三张完全相同的卡片有三张完全相同的卡片,分分 别标有数别标有数-2,3,4,-2,3,4,从这两个从这两个 口袋中各随机取出一张卡片口袋中各随机取出一张卡片.(1)(1)用画树状图或列表的方法用画树状图或列表的方法 表示所有可能出现的结果；表示所有可能出现的结果；(2)(2)求两次取出卡片上的数之求两次取出卡片上的数之 积为正数的概率积为正数的概率第三章概率的进一步认识专题二专题二 用频率估计概率用频率估计概率 第三章概率的进一步认识【要点指导要点指导】用画树状图或列表的方法求出的概率是理论概率用画树状图或列表的方法求出的概
6、率是理论概率.当当 某个事件发生的概率无法用列举法计算时某个事件发生的概率无法用列举法计算时,我们可以通过试我们可以通过试验获得概率验获得概率 的近似值的近似值,当试验次数足够多时当试验次数足够多时,事件发生的频率事件发生的频率就稳定在理论概率附就稳定在理论概率附 近近,这时就可以利用频率来估计概率这时就可以利用频率来估计概率.第三章概率的进一步认识0 0.9595第三章概率的进一步认识分析分析观察表格得到这种菜籽发芽的频率稳定在观察表格得到这种菜籽发芽的频率稳定在0.950.95附近附近,则这种菜则这种菜 籽发芽的概率是籽发芽的概率是0.95.0.95.第三章概率的进一步认识相关题相关题2
7、阜新中考阜新中考 为了估计暗箱里为了估计暗箱里 白球的数量白球的数量 (箱内只有白箱内只有白 球球),),将将5 5个红球放进去个红球放进去,随随 机摸出一个球机摸出一个球,记下颜色后记下颜色后 放回放回,搅搅匀后再摸出一个球匀后再摸出一个球 记下颜色记下颜色,多次重复后发现多次重复后发现 红球出现的频红球出现的频率约为率约为0.2,0.2,那么可以估计暗箱里白球的数量为那么可以估计暗箱里白球的数量为 个个.2020第三章概率的进一步认识专题三专题三 游戏中的概率问题游戏中的概率问题 第三章概率的进一步认识【要点指导要点指导】利用概率解答游戏规则是否公平的问题利用概率解答游戏规则是否公平的问题
8、,实质仍实质仍是概是概 率的计算问题率的计算问题.通过概率的计算通过概率的计算,既可以判断游戏是否公既可以判断游戏是否公平平,也可以用来也可以用来 修改游戏规则修改游戏规则.第三章概率的进一步认识例例3 3 图图3-Z-23-Z-2是一个转盘是一个转盘,转盘被平均分成转盘被平均分成4 4份份,即被分成即被分成4 4个大小相个大小相 等的扇形等的扇形,4,4个扇形分别标个扇形分别标有数字有数字1,2,3,4,1,2,3,4,指针的位置固定指针的位置固定,转动转转动转盘后任盘后任 其自由停止其自由停止,每次指针落在每一扇形的每次指针落在每一扇形的机会均等机会均等(若指针恰好落在分界线上若指针恰好落
9、在分界线上 则重转则重转).).第三章概率的进一步认识(1)(1)图中标有图中标有“1”“1”的扇形至少绕圆心旋转的扇形至少绕圆心旋转度能与标有度能与标有“4”“4”的扇形的起始位置重合的扇形的起始位置重合.(2)(2)现有一本故事书现有一本故事书,姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢姐妹俩商定通过转盘游戏定输赢(赢的一方赢的一方先先 看看).).游戏规则：姐妹俩各转动一次转盘游戏规则：姐妹俩各转动一次转盘,两次转动后两次转动后,若指若指针所指扇形上针所指扇形上 的数字之积为偶数的数字之积为偶数,则姐姐赢；若指针所指扇形则姐姐赢；若指针所指扇形上的数字之积为奇数上的数字之积为奇数,则妹妹赢则妹妹赢.这
10、个游戏规则对双方公平这个游戏规则对双方公平 吗？吗？请利用画树状图或列表法说明理由请利用画树状图或列表法说明理由.第三章概率的进一步认识解解(1)(1)转盘被平均分成转盘被平均分成4 4份份,每份的圆心角的度数是每份的圆心角的度数是9090,图中标有图中标有“1”“1”的扇形至少绕圆心旋转的扇形至少绕圆心旋转9090才能与标有才能与标有“4”“4”的扇的扇形形 的起始位置重合的起始位置重合.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识相关题相关题3现有一个六面分别标有数现有一个六面分别标有数 字字1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6且质地均匀且质地均匀 的正的正方体骰子方体骰子,另有三
11、张正另有三张正 面分别标有数字面分别标有数字1,2,31,2,3的卡的卡 片片(卡片除卡片除数字不同外数字不同外,其他其他 都相同都相同),),先由小明投骰子一次先由小明投骰子一次,记下骰子向记下骰子向上一面出现上一面出现 的数字的数字,然后由小王从三张然后由小王从三张 背面朝上放置在桌面上背面朝上放置在桌面上的的 卡片中随机抽取一张卡片中随机抽取一张,记下记下 卡片上的数字卡片上的数字第三章概率的进一步认识(1)(1)请用列表或画树状图的请用列表或画树状图的 方法方法,求出骰子向上一面出求出骰子向上一面出 现的数字现的数字与卡片上的数字与卡片上的数字 之积为之积为6 6的概率的概率 (2)(
12、2)小明和小王做游戏小明和小王做游戏,约定约定 游戏规则如下：若骰子向上游戏规则如下：若骰子向上 一面出一面出现的数字与卡片上的现的数字与卡片上的 数字之积大于数字之积大于7,7,则小明赢；则小明赢；若骰子向上一若骰子向上一面出现的数字面出现的数字 与卡片上的数字之积小于与卡片上的数字之积小于7,7,则小王赢问小明和则小王赢问小明和小王谁小王谁 赢的可能性大？请说明理由赢的可能性大？请说明理由.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识专题四专题四 统计中的概率统计中的概率 第三章概率的进一步认识【要点指导要点指导】概率与统计知识相综合的典型题概率与统计知识相综合的典型题,是对学生基本运是对
13、学生基本运算算 能力的考查能力的考查,数据的描述和概率的计算与应用是中考的一个数据的描述和概率的计算与应用是中考的一个热点问题热点问题,尤其是近几年概率在中考中经常与统计图表等相结合尤其是近几年概率在中考中经常与统计图表等相结合,从相关的统计图表中获取信息从相关的统计图表中获取信息,提取数据进行分析与综合提取数据进行分析与综合,运用运用概率的意义概率的意义P=P=分析和分析和 解决现实生活中的概率问题解决现实生活中的概率问题.第三章概率的进一步认识例例4 4 为了解市民对全市创卫工作的满意程度为了解市民对全市创卫工作的满意程度,某中学数学兴趣小组某中学数学兴趣小组 在全市甲、乙两个区进行了调查
14、统计在全市甲、乙两个区进行了调查统计,将调查结果分为将调查结果分为“不满不满意意”“”“一一 般般”“”“满意满意”“”“非常满意非常满意”四类四类,回收、整理好全部问回收、整理好全部问卷后卷后,得到下列不得到下列不 完整的统计图完整的统计图.第三章概率的进一步认识请结合图中信息请结合图中信息,解决下列问题：解决下列问题：(1)(1)求此次调查中接受调查的人数；求此次调查中接受调查的人数；(2)(2)求此次调查中结果为求此次调查中结果为“非常满意非常满意”的人数；的人数；(3)(3)兴趣小组准备从调查结果为兴趣小组准备从调查结果为“不满意不满意”的的4 4个市民中随机选择个市民中随机选择2 2
15、人人 进行回访进行回访,已知已知4 4个市民中有个市民中有2 2人来自甲区人来自甲区,另另2 2人来自乙区人来自乙区,请请用列表或用用列表或用 画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识相关题相关题4 在九年级一班开展了在九年级一班开展了“读一读一 本好书本好书”的活动的活动,班班委会对委会对 学生阅读书籍的情况进行了学生阅读书籍的情况进行了 问卷调查问卷调查,问问卷设置了卷设置了“小小 说说”“”“戏戏 剧剧 ”“”“散散 文文”“”“其其 他他”四个类别四个类别,每名同学仅选每名同学仅选 一项一项,
16、根据调查结果绘根据调查结果绘制了制了 不完整的频数分布表和扇形不完整的频数分布表和扇形 统计图根据图统计图根据图表提供的信表提供的信 息息,解答下列问题：解答下列问题：第三章概率的进一步认识(1)m=(1)m=；(2)(2)在扇形统计图中在扇形统计图中,“,“其他其他”类所占的百分比为类所占的百分比为；(3)(3)在调查问卷中在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四名同学选择了甲、乙、丙、丁四名同学选择了“戏戏 剧剧 ”类类 ,现从中任意选出现从中任意选出2 2名同学参加学名同学参加学 校校 的戏剧的戏剧 社团社团 ,请用请用画树状图或列表的方法画树状图或列表的方法 ,求选取的求选取的 2 2人恰好是乙
17、和丙的概率人恰好是乙和丙的概率 第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识专题专题 方程思想在概率中的应用方程思想在概率中的应用第三章概率的进一步认识例例 一只不透明的袋子中一只不透明的袋子中,装有装有2 2个白球和个白球和1 1个红球个红球,这些球除这些球除颜色不颜色不 同外其余都相同同外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球搅匀后从中任意摸出一个球,要使要使摸出红球的概率为摸出红球的概率为 ,应如何添加红球？应如何添加红球？第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识相关题相关题 包头中考包头中考 一个不透明的袋一个不透明的袋 子中装有红、白两种颜色的小球子中装有红、
18、白两种颜色的小球,这这些球除颜色不同外其余都相同些球除颜色不同外其余都相同,其中红球有其中红球有1 1个个.若从中随机摸出若从中随机摸出一个球一个球,这个球是白球的概率为这个球是白球的概率为 .(1)(1)求袋子中白球的个数；求袋子中白球的个数；(通过列式或列方程解答通过列式或列方程解答)(2)(2)随机摸出一个球后随机摸出一个球后,放放 回并搅匀回并搅匀,再随机摸出一个球再随机摸出一个球,求两求两次都摸到相同颜色次都摸到相同颜色 的小球的概率的小球的概率.(.(请结合树请结合树 状图或列表解答状图或列表解答)第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识母题母题1 1(教
19、材教材P62P62习题习题3.13.1第第2 2题题)一个盒子中有一个盒子中有1 1个红球、个红球、1 1个白球个白球,这些球除颜色外都相同这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球从中随机摸出一个球,记下颜色后放回记下颜色后放回,再从中随机摸出一再从中随机摸出一个球个球.求：求：(1)(1)两次都摸到红球的概率；两次都摸到红球的概率；(2)(2)两次摸到不同颜色的球的概率两次摸到不同颜色的球的概率.第三章概率的进一步认识考点考点：用画树状图或列表的方法求概率用画树状图或列表的方法求概率.考情考情：以不同颜色的球为载体求概率问题是中考以不同颜色的球为载体求概率问题是中考 常见内容常见内容,这类问
20、题在这类问题在中考中可分为中考中可分为“放回放回”和和 “不放回不放回”两种类型两种类型.策略策略：先运用树状图或表格列出所有等可能的先运用树状图或表格列出所有等可能的 结果结果,然后找出所求事件然后找出所求事件包含的结果数包含的结果数,最后运最后运 用概率公式求解即可用概率公式求解即可.第三章概率的进一步认识链接链接1 1 宿迁中考宿迁中考 在一个不透明的袋子中装在一个不透明的袋子中装 有有2 2个白球和个白球和2 2个个黑球黑球,这些球除颜色不同外其余都相同这些球除颜色不同外其余都相同.(1)(1)若先从袋子中拿走若先从袋子中拿走m m个白球个白球,这时从袋子中这时从袋子中 随机摸出一个随
21、机摸出一个球是黑球的事件为球是黑球的事件为“必然事件必然事件”,”,则则m m 的值为的值为；(2)(2)若将袋子中的球搅匀后随机摸出若将袋子中的球搅匀后随机摸出1 1个球个球(不放回不放回),),再从袋子再从袋子中余下的中余下的3 3个球中随机摸出个球中随机摸出1 1个球个球,求两次摸到的球颜色相同的求两次摸到的球颜色相同的概率概率.第三章概率的进一步认识分析分析 (1)(1)由必然事件可知当拿走由必然事件可知当拿走m m个白球后个白球后,再从袋子中摸球一定摸出再从袋子中摸球一定摸出黑球黑球,则白球必须全部拿走；则白球必须全部拿走；(2)(2)按照不放回试验按照不放回试验,通过列表得出所有等
22、可通过列表得出所有等可 能情况能情况,然后找出两次然后找出两次摸到颜色相同的球的情况摸到颜色相同的球的情况,即可求出概率即可求出概率.解解 (1)(1)由题意由题意,知从袋子中必然拿出了所有知从袋子中必然拿出了所有 的白球的白球,则则m=2.m=2.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识链接链接2 2 云南中考云南中考 在一个不透明的盒子中在一个不透明的盒子中,装装 有有3 3个分别写有数个分别写有数6,-2,76,-2,7的小球的小球,它们的形状、大它们的形状、大 小、质地完全相同小、质地完全相同,搅拌均搅拌均匀后匀后,先从盒子里随机抽先从盒子里随机抽 取取1 1个小球个小球,记下小球
23、上的数后放回盒记下小球上的数后放回盒子子,搅拌均匀搅拌均匀 后再随机抽取后再随机抽取1 1个小球个小球,再记下小球上的数再记下小球上的数.(1)(1)用列表法或画树状图法中的一种方法用列表法或画树状图法中的一种方法,写写 出所有可能出现的出所有可能出现的结果；结果；(2)(2)求两次取出的小球上的数相同的概率求两次取出的小球上的数相同的概率P.P.第三章概率的进一步认识分析分析 (1)(1)根据题意先画出树状图根据题意先画出树状图,得出所有可得出所有可 能出现的结果；能出现的结果；(2)(2)根据根据(1)(1)可得共有可得共有9 9种情况种情况,两次取出的小球两次取出的小球 上的数相同的情况
24、有上的数相同的情况有3 3种：种：(6,6),(-2,-2),(7,7),(6,6),(-2,-2),(7,7),再再 根据概率公式即可得出答案根据概率公式即可得出答案.第三章概率的进一步认识第三章概率的进一步认识母题母题2 2(教材教材P70P70随堂练习第随堂练习第2 2题题)一个口袋中有红球、白球共一个口袋中有红球、白球共1010个个,这些球除这些球除 颜色外都相同颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀将口袋中的球搅拌均匀,从中随机从中随机 摸出一个球摸出一个球,记下它的颜记下它的颜色后再放回口袋中色后再放回口袋中.不断不断 重复这一过程重复这一过程,共摸了共摸了100100次球次球,发发现
25、有现有6969次摸到红次摸到红 球球.请你估计这个口袋中红球和白球的数量请你估计这个口袋中红球和白球的数量.第三章概率的进一步认识考点考点：利用频率估计概率利用频率估计概率.考情考情：用频率估计概率是中考试题中常见的内用频率估计概率是中考试题中常见的内 容容,多以选择题、填空题多以选择题、填空题的形式出现的形式出现.策略策略：运用频率和概率的计算公式求出每一事运用频率和概率的计算公式求出每一事 件的数目后件的数目后,即可使问题即可使问题获解获解.第三章概率的进一步认识链接链接3 3 黔东南州中考黔东南州中考 黔东南下司黔东南下司“蓝莓蓝莓 谷谷”以盛产以盛产“优质蓝优质蓝莓莓”而吸引来自四面八
26、方的而吸引来自四面八方的 游客游客,某果农今年的蓝莓得到了丰某果农今年的蓝莓得到了丰收收,为了了解自为了了解自 家蓝莓的质量家蓝莓的质量,随机从种植园中抽取适量蓝莓随机从种植园中抽取适量蓝莓进行进行 检测检测,发现在多次重复的抽取检测中发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓优质蓝莓”出现的出现的频率逐渐稳定在频率逐渐稳定在0.7,0.7,该果农今年的蓝莓总该果农今年的蓝莓总 产量约为产量约为800 kg,800 kg,由由此估计该果农今年的此估计该果农今年的“优质蓝优质蓝 莓莓”产量约是产量约是 kg.kg.560560第三章概率的进一步认识分析分析由题意可得由题意可得,该果农今年的该果农今年的
27、“优质蓝优质蓝 莓莓”产量约是产量约是8008000.7=560(kg).0.7=560(kg).第三章概率的进一步认识链接链接4 4 锦州中考锦州中考 一个口袋中有红球、白球一个口袋中有红球、白球 共共1010个个,这些这些球除颜色不同外其余都相同球除颜色不同外其余都相同,将口袋将口袋 中的球搅拌均匀中的球搅拌均匀,从从中随机摸出一个球中随机摸出一个球,记下它的记下它的 颜色后再放回口袋中颜色后再放回口袋中,不断不断重复这一过程重复这一过程,共摸了共摸了 100100次球次球,发现有发现有7171次摸到红球次摸到红球.估估计这个口袋中红计这个口袋中红 球的数量为球的数量为个个.7 7第三章概
28、率的进一步认识分析分析 共摸了共摸了100100次球次球,发现有发现有7171次摸到次摸到 红球红球,摸到红球的频率为摸到红球的频率为0.71,0.71,故摸到红球的概率故摸到红球的概率 近似等于近似等于0.7,0.7,这个口袋中红球的数量为这个口袋中红球的数量为10100.7=7(0.7=7(个个).).第三章概率的进一步认识母题母题3 3(教材教材P73P73复习题第复习题第8 8题题)小明和小亮小明和小亮 用如图用如图3-Z-73-Z-7所示的两个转盘所示的两个转盘(每个转盘被分成五个面每个转盘被分成五个面积相等的扇形积相等的扇形)做游戏做游戏,转动两个转盘各一次转动两个转盘各一次.第三
29、章概率的进一步认识(1)(1)若两次数字之和为若两次数字之和为6,76,7或或8,8,则小明胜则小明胜,否则小亮胜否则小亮胜.这个游这个游戏对双方公平吗？说说你的理由戏对双方公平吗？说说你的理由.(2)(2)若两次数字之和为奇数若两次数字之和为奇数,则小明胜；若两则小明胜；若两 次数字之和为偶数次数字之和为偶数,则小亮胜则小亮胜.这个游戏对双方公这个游戏对双方公 平吗？说说你的理由平吗？说说你的理由.第三章概率的进一步认识考点考点：运用概率判断游戏规则公平与否运用概率判断游戏规则公平与否.考情考情：这类问题因其具有实际应用价值这类问题因其具有实际应用价值,所以在所以在 中考中是一大热点中考中是
30、一大热点,很很多试题还与其他知识相多试题还与其他知识相 融合融合.策略策略：先借助画树状图或列表的方法求得事件发先借助画树状图或列表的方法求得事件发 生的概率生的概率,然后通过比然后通过比较概率的大小确定游戏规较概率的大小确定游戏规 则的公平与否则的公平与否.第三章概率的进一步认识链接链接5 5 青岛中考青岛中考 小华和小军做摸球游戏：小华和小军做摸球游戏：A A 袋装有编号为袋装有编号为1,2,1,2,3 3的三个小球的三个小球,B,B袋装有编号为袋装有编号为 4,5,64,5,6的三个小球的三个小球,两袋中的所两袋中的所有小球除编号不同有小球除编号不同 外其余都相同从两个袋子中分别随机摸出一外其余都相同从两个袋子中分别随机摸出一个个 小球小球,若从若从B B袋摸出小球的编号与从袋摸出小球的编号与从A A袋摸出小球袋摸出小球 的编号之差的编号之差为偶数为偶数,则小华胜则小华胜,否则小军胜这个否则小军胜这个 游戏对双方公平吗？请说游戏对双方公平吗？请说明理由明理由第三章概率的进一步认识
