1、第二部第二部分分 专题提升专题提升第第3636讲讲 动态专题动态专题(2)(2)(旋转、翻折问题旋转、翻折问题)近五年广东中考情况近五年广东中考情况2015年（7分）2016年（11分）2017年（4分）2018年（4分）2019年（0分）翻折问题翻折问题、旋转规律题翻折问题翻折问题、旋转问题知识梳理知识梳理 轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换.纵观几年的数学试卷，虽然广东中考考翻折和旋转综合题比较少，但是我们还是要重视.此类问题涉及几何、函数、方程、相似等多方面的知识点，其解题关键在于认真分析图形的变换过程，明确在图形变换的各个不同阶段，所要求的量的变化情况，进而准确确定其函数表达式或具
2、体的值.考点突破考点突破考点一：旋转问题考点一：旋转问题1.（2018天津）如图2-36-1，在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0）,点B（0,3）.以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O，B，C的对应点分别为D，E，F.（1）如图2-36-1，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图2-36-1，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H，连接AB.求证：ADBAOB；求点H的坐标.（3）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积,求S的取值范围.（直接写出结果即可）解：（解：（1 1）A A（5 5，0 0），），B B（
3、0 0，3 3），），OA=5OA=5，OB=3.OB=3.四边形四边形AOBCAOBC是矩形，是矩形，AC=OB=3AC=OB=3，OA=BC=5OA=BC=5，OBC=C=90OBC=C=90.矩形矩形ADEFADEF是由矩形是由矩形AOBCAOBC旋转得到，旋转得到，AD=AO=5.AD=AO=5.在在RtRtADCADC中，中，CD=CD=BD=BC-CD=1.DBD=BC-CD=1.D（1 1，3 3）.（2 2）由四边形）由四边形ADEFADEF是矩形，得到是矩形，得到ADE=90ADE=90.点点D D在线段在线段BEBE上，上，ADB=90ADB=90.由（由（1 1）可知，）
4、可知，AD=AOAD=AO，又，又AB=AB=ABAB，AOB=90AOB=90，RtRtADBRtADBRtAOBAOB（HLHL）.由由ADBADBAOBAOB，得，得BAD=BAO.BAD=BAO.又在矩形又在矩形AOBCAOBC中，中，OABCOABC，CBA=OAB.BAD=CBA.BH=AH.CBA=OAB.BAD=CBA.BH=AH.设设AH=BH=mAH=BH=m，则，则HC=BC-BH=5-m.HC=BC-BH=5-m.在在RtRtAHCAHC中，中，AHAH2 2=HC=HC2 2+AC+AC2 2，m m2 2=3=32 2+（5-m5-m）2 2.（3 3）如答图）如答
5、图2-36-12-36-1，a.a.当点当点D D在线段在线段BKBK上时，上时，KDEKDE的的面积最小，最小值面积最小，最小值b.b.当点当点D D在在BABA的延长线上时，的延长线上时，DEKDEK的面积最大，的面积最大，最大值最大值综上所述，综上所述，S S的取值范围为的取值范围为变式诊断变式诊断2.（2019内江）两条抛物线C1：y13x2-6x-1与C2：y2x2-mx+n的顶点相同.（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作APx轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（-1,-4),问在C2的对
6、称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90得到线段QB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（解：（1 1）y y1 13x3x2 2-6x-1-6x-1的顶点为（的顶点为（1 1，-4-4），），抛物线抛物线C C1 1：y y1 13x3x2 2-6x-1-6x-1与与C C2 2：y y2 2x x2 2-mx+n-mx+n的顶点的顶点相同相同,m m2 2，n n-3.-3.抛物线抛物线C C2 2的解析式为的解析式为y y2 2x x2 2-2x-3.-2x-3.（2 2）如答图）如答图2-36-22-36-2，设，设A A（a a，
7、a a2 2-2a-3-2a-3）.点点A A在第四象限，在第四象限，0 0a a3.3.APAP-a-a2 2+2a+3+2a+3，POPOa.a.AP+OPAP+OP-a-a2 2+3a+3+3a+30 0a a3 3，AP+OPAP+OP的最大值为的最大值为（3 3）假设）假设C2C2的对称轴的对称轴l l上存在点上存在点Q Q，如答图如答图2-36-32-36-3，过点，过点BB作作BDlBDl于点于点D.D.BDQBDQ9090.当点当点Q Q在顶点在顶点C C的下方时，的下方时，B B（-1-1，-4-4）,C,C（1 1，-4-4）,抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为x x1,1,
8、BClBCl，BCBC2 2，BCQBCQ9090.BCQBCQQDBQDB（AASAAS）.BD.BDCQCQ，QDQDBC.BC.设点设点Q Q（1 1，b b），），BDBDCQCQ-4-b-4-b，QDQDBCBC2 2，可知可知BB（-3-b-3-b，2+b2+b），又点），又点BB在抛物线在抛物线C C2 2上，上，（-3-b-3-b）2 2-2-2（-3-b-3-b）-3-32+b.b2+b.b2 2+7b+10+7b+100.0.bb-2-2或或b b-5.-5.bb-4-4，Q Q（1 1，-5-5）.当点当点Q Q在顶点在顶点C C的上方时，同理可得的上方时，同理可得Q Q
9、（1 1，-2-2）.综上所述，点综上所述，点Q Q的坐标为（的坐标为（1 1，-5-5）或（）或（1 1，-2-2）.考点突破考点突破考点二：翻折问题考点二：翻折问题3.已知：如图2-36-2,在ABC中，AB=6，AC=33,BC=3，过边AC上的动点E（点E不与点A，C重合）作EFAB于点F，将AEF沿EF所在的直线折叠得到AEF，设CE=x，折叠后的AEF与四边形BCEF重叠部分的面积记为S.（1）如图2-36-2,当点A与顶点B重合时,求AE的长;（2）如图2-36-2，当点A落在ABC的外部时，AE与BC相交于点D，求证：ABD是等腰三角形；（3）试用含x的式子表示S，并求出S的最
10、大值.解：（解：（1 1）ACAC2 2+BC+BC2 2=（）2 2+3+32 2=36=36，ABAB2 2=36=36，ABCABC是直角三角形，是直角三角形，C=90C=90.当点当点AA与顶点与顶点B B重合时，重合时，AF=FB=3AF=FB=3，（2 2）由（）由（1 1）可知）可知A=30A=30，C=90C=90，ABC=60ABC=60.ABC=A+BDAABC=A+BDA，A=A=30A=A=30，A=ADB=30A=ADB=30.BA=BD.BA=BD.BDABDA是等腰三角形是等腰三角形.（3 3）如图）如图2-36-22-36-2，当，当0 0 x x 时，时，重叠
11、部分是四边形重叠部分是四边形EFBDEFBD，S=SS=SEFAEFA-S-SBDABDA如图如图2-36-22-36-2，x x 时，重叠部分是时，重叠部分是EFAEFA，4.（2018鄂尔多斯）如图2-36-3，在ABC中，BAC45，ADBC于点D，BD6，DC4，求AD的长.小明同学利用翻折，巧妙地解答了此题，按小明的思路探究并解答下列问题：（1）分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出ABD和ACD的对称图形，点D的对称点分别为点E，F，延长EB和FC相交于点G，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设ADx，建立关于x的方程模型，求出AD的长.（1 1）证明：由题意可得，）证明：由题意
12、可得，ABDABDABEABE，ACDACDACF.ACF.DABDABEABEAB，DACDACFAC.FAC.又又BACBAC4545，EAFEAF9090.又又ADBC.EADBC.EADBADB9090，F FADCADC9090.四边形四边形AEGFAEGF是矩形是矩形.又又AEAEADAD，AFAFADAD，AEAEAF.AF.矩形矩形AEGFAEGF是正方形是正方形.（2 2）解：设）解：设ADADx x，则，则AEAEEGEGGFGFx.x.BDBD6 6，DCDC4 4，BEBE6 6，CFCF4.BG4.BGx-6,CGx-6,CGx-x-4.4.在在RtRtBGCBGC中
13、，中，BGBG2 2+CG+CG2 2BCBC2 2，（x-6x-6）2 2+（x-4x-4）2 210102 2.化简，得化简，得x x2 2-10 x-24-10 x-240.0.解得解得x x1 11212，x x2 2-2-2（舍去）（舍去）.ADADx x12.12.分层训练分层训练A A组组5.（2019桂林）如图2-36-4，抛物线y-x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0）和B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使CHB的周长最小.若存在，求出点H的坐标；若不存在，请
14、说明理由.解：（解：（1 1）抛物线与抛物线与x x轴交于点轴交于点A A（-2-2，0 0）和）和B B（1,0),1,0),交点式为交点式为y y-（x+2x+2）（）（x-1x-1）-（x x2 2+x-2+x-2）.抛物线的表达式为抛物线的表达式为y y-x-x2 2-x+2.-x+2.（2 2）在射线）在射线ADAD上存在一点上存在一点H H，使，使CHBCHB的周长最小的周长最小.如答图如答图2-36-42-36-4，延长，延长CACA到到CC，使，使ACACACAC，连接，连接BC,BC,BCBC与与ADAD交点即为满足条件的点交点即为满足条件的点H.H.x x0 0时，时，y
15、y-x-x2 2-x+2-x+22 2，C C（0 0，2 2）.OA.OAOCOC2.2.CAOCAO4545，直线，直线ACAC的解析式为的解析式为y yx+2.x+2.射线射线ACAC绕点绕点A A顺时针旋转顺时针旋转9090得射线得射线ADAD，CADCAD9090.OAD.OADCAD-CAOCAD-CAO4545.直线直线ADAD的解析式为的解析式为y y-x-2.-x-2.ACACACAC，ADCCADCC，CC（-4-4，-2-2），），ADAD垂直平分垂直平分CC.CC.CHCHCH.CH.当当CC，H H，B B在同一直线上时，在同一直线上时，CHBCHB的周长为的周长为C
16、H+BH+BCCH+BH+BCCH+BH+BCCH+BH+BCBC+BCBC+BC，此时周长最小，此时周长最小.设直线设直线BCBC的解析式为的解析式为y ykx+akx+a，直线直线BCBC的解析式为的解析式为 .联立直线联立直线ADAD与直线与直线BCBC的解析式，得的解析式，得B B组组6.（2018烟台）【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图2-36-5，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3你能求出APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下两种思路：思路一：将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，连接PP，求出APB的度数；思路二：将AP
17、B绕点B顺时针旋转90，得到CPB，连接PP，求出APB的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【类比探究】如图2-36-5,若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1，PC=，求APB的度数解：解：【问题解决问题解决】思路一，如答图思路一，如答图2-36-52-36-5，将，将BPCBPC绕绕点点B B逆时针旋转逆时针旋转9090，得到，得到BPABPA，连接，连接PPPP，ABPABPCBP.CBP.PBP=90PBP=90，BP=BP=2BP=BP=2，AP=CP=3.AP=CP=3.在在RtRtPBPPBP中，中，BP=BP=BPBP=2=2，BPP=45BPP=45.
18、根据勾股定理，得根据勾股定理，得PP=PP=AP=1AP=1，APAP2 2+PP+PP2 2=1+8=9.=1+8=9.APAP2 2=3=32 2=9=9，APAP2 2+PP+PP2 2=AP=AP2 2.APPAPP是直角三角形，且是直角三角形，且APP=90APP=90.APB=APP+BPP=90APB=APP+BPP=90+45+45=135=135.思路二同思路一的方法思路二同思路一的方法.【类比探究类比探究】如答图如答图2-36-62-36-6，将，将BPCBPC绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转9090，得到，得到BPABPA，连接，连接PPPP，ABPABPCBP.CBP
19、.PBP=ABC=90PBP=ABC=90，BP=BP=1BP=BP=1，AP=CP=.AP=CP=.在在RtRtPBPPBP中，中，BP=BP=BPBP=1=1，BPP=45BPP=45.根据勾股定理，得根据勾股定理，得PP=BP=.PP=BP=.AP=3AP=3，APAP2 2+PP+PP2 2=9+2=11.=9+2=11.APAP2 2=（）2 2=11=11，APAP2 2+PP+PP2 2=AP=AP2 2.APPAPP是直角三角形，且是直角三角形，且APP=90APP=90.APB=APP-BPP=90APB=APP-BPP=90-45-45=45=45C C组组7.如图2-36
20、-6，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与射线DC相交于点Q.过点P作AD的平行线交于边AB于点M，交于CD于点N，设APx.（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的数量关系？并证明；（2）是否存在点P（P不与A重合），使PCQ为等腰三角形？若存在，请求出相应的x值；若不存在，请说明理由；（3）设以点B，C，P，Q为顶点的多边形的面积为y，试确定y与x之间的函数关系式.解：（解：（1 1）PQPQPB.PB.证明：如答图证明：如答图2-36-72-36-7，过，过P P点作点作MNBCMNBC分别交分别
21、交ABAB，DCDC于点于点M M，N N，在正方形在正方形ABCDABCD中，中，ACAC为对角线，为对角线，AMAMPM.PM.又又ABABMNMN，MBMBPN.PN.BPQBPQ9090，BPM+NPQBPM+NPQ9090.又又MBP+BPMMBP+BPM9090，MBPMBPNPQ.NPQ.在在RtRtMBPMBP与与RtRtNPQNPQ中，中，RtRtMBPRtMBPRtNPQ.PBNPQ.PBPQ.PQ.（2 2）存在）存在.如答图如答图2-36-82-36-8，当点，当点Q Q在在DCDC的延长线上的延长线上,且且CPCPCQCQ时，时，（3 3）如答图）如答图2-36-72-36-7，当点，当点Q Q在线段在线段CDCD上时，上时，S S四边形四边形PBCQPBCQS SPBCPBC+S+SPCQPCQ.当点当点Q Q在在DCDC的延长线上时，如答图的延长线上时，如答图2-36-8.2-36-8.S S四边形四边形PCQBPCQBS SPBCPBC+S+SBCQBCQ
