1、第十一章第十一章 勒让德多项式勒让德多项式 球函数球函数第四节第四节 连带勒让德多项式、球函数连带勒让德多项式、球函数二、球函数二、球函数第十一章第十一章 勒让德多项式勒让德多项式 球函数球函数第四节第四节 连带勒让德多项式、球函数连带勒让德多项式、球函数 二、球函数二、球函数 1、球函数的定义球函数的定义 对不具备轴对称的情况，球函数方程的解对不具备轴对称的情况，球函数方程的解 是是 其中其中,m=0,1,2,n,n=0,1,2,3.。称为球函数，称为球函数，n 叫做它的阶。独立的球函数共叫做它的阶。独立的球函数共(,)cossin(cos)mmnmmnYCmDmP mPmPmnmnsin)
2、(cos,cos)(cos 有有 2n+1个，因为对个，因为对 m=0 有一个球函数有一个球函数 Pn(cos)，对于对于m=1,2,3，n 各有两个各有两个 球函数球函数 。根据欧拉公式：根据欧拉公式：独立的独立的 n 阶球函数还是阶球函数还是 2n+1 个。个。2、球函数的正交归一性球函数的正交归一性 球函数中的任意两个在球面上正交，即球函数中的任意两个在球面上正交，即 如采用三角形式：如采用三角形式：mPmPmnmnsin)(cos,cos)(cosmimeimsincos,3,2,1,0,1,0,1,)(cos),(nnnnmePAYimmnmmn 如采用指数形式：如采用指数形式：),
3、(0sin),(),(020kmlnddYYklmn )0(1)0(2)!()!(122sin),(0220mmmnmnnddYmmmn),(0sin),(),(*kmlnddYYsklmnsmnmnmnnddY)!()!(124sin),(2 3、展开定理、展开定理 任一函数任一函数f(，)可在球面上可在球面上(0，0 2)按球函数展开：按球函数展开：nnmimmnmnnePcf)(cos),(0nmmnmnmnnPmBmAf00)(cossincos),(200200sinsin)(cos),()!()!(212sincos)(cos),()!()!(212ddmPfmnmnnBddmPf
4、mnmnnAmnmnmnmmn 有了球函数，拉普拉斯方程有了球函数，拉普拉斯方程例例2、在半径为、在半径为 a 的球的的球的(1)内部，内部，(2)外部，求解外部，求解 200sin)(cos),()!()!(412ddePfmnmnncimmnmn0sin1sinsin112222222ururrurrru)(cos)sincos(1),(010mnnmmnmnnnnnnPmBmArDrCru),(|03fuuar 研究一个特例研究一个特例解：解：(1)球球的内部：当的内部：当r 0时，时，u(r,)有限，有限，Dn=0 sincos2sin),(f)(cos)sincos(1),(010m
5、nmnnmmnnnnnnPmBmArDrCru)(cos)sincos(),(00mnnmmnmnnnPmBmArru),()(cos)sincos(00fPmBmAamnnmmnmnnn smnnmnsmnmnmnddmPfmnmnanBddmPfmnmnanAsinsin)(cos),()!()!(212sincos)(cos),()!()!(2122sin)(cos612sinsin32sinsinsincossin),(22231212212Pf2sin)(cos61)(cos)sincos(),(2200PPmBmAaaumnnmmnmnnnsincos2sin),(f 当当n 2,
6、m 2时时 当当n=2,m=2时时 (2)在在球球的外部：当的外部：当r 时，时，u(r,)有限有限 Cn=0，故，故 22222222sin2sin21sin32sin61)(cos2sin61),(ararPraru00mnmnnBBa2222226161aBBa),2,1,0;,3,2,1,0(00nmnAAamnmnn )(cos)sincos(1),(010mnnmmnmnnnPmBmArru),()(cos)sincos(1010fPmBmAamnnmmnmnnnsmnnmnsmnmnmnddmPfmnmnnaBddmPfmnmnnaAsinsin)(cos),()!()!(212
7、sincos)(cos),()!()!(212112sin)(cos61sincossin),(222Pf2sin)(cos61)(cos)sincos(1),(22010PPmBmAaaumnnmmnmnnn 当当n 2,m 2时时 当当n=2,m=2时时 232233sin2sin)(21)(cos2sin161),(raPraau),2,1,0;,3,2,1,0(0011nmnAAamnmnn0011mnmnnBBa32222361611aBBa主要内容主要内容(1)、三维拉普拉斯方程、波动方程、热、三维拉普拉斯方程、波动方程、热传导方程在柱坐标下的分离变量法传导方程在柱坐标下的分离变量
8、法(2)、奇点邻域的幂级数解法、奇点邻域的幂级数解法(3)、贝塞尔微分方程及贝塞尔函数的定、贝塞尔微分方程及贝塞尔函数的定义、性质义、性质(4)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式、贝塞尔函数的母函数及其递推公式(5)、贝塞尔函数的零点、本征值、正交、贝塞尔函数的零点、本征值、正交归一性、按贝塞尔函数展开归一性、按贝塞尔函数展开(6)、虚宗量贝塞尔函数的定义及性质、虚宗量贝塞尔函数的定义及性质(7)、柱函数在物理学中的应用、柱函数在物理学中的应用(8)、球贝塞尔方程的导出、球贝塞尔方程的导出(9)、球贝塞尔函数及其应用、球贝塞尔函数及其应用采用极坐标：重点和难点重点和难点 重点：重点：柱坐标下的分
9、离变量法；贝塞尔柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义和基本性质；虚宗量贝塞尔函函数的定义和基本性质；虚宗量贝塞尔函数的定义及性质；柱函数的应用；球贝塞数的定义及性质；柱函数的应用；球贝塞尔函数及其应用尔函数及其应用 难点：难点：柱坐标下的分离变量法；贝塞尔柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义；虚宗量贝塞尔函数的定义；函数的定义；虚宗量贝塞尔函数的定义；球贝塞尔函数的定义；柱函数的应用；球球贝塞尔函数的定义；柱函数的应用；球贝塞尔函数的应用贝塞尔函数的应用第十二章第十二章 贝塞耳函数柱函数贝塞耳函数柱函数第一节第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数贝塞尔微分方程及贝塞尔函数 一、贝塞尔微分方程的
10、导出一、贝塞尔微分方程的导出 1 1、在柱坐标下求解拉普拉斯方程、在柱坐标下求解拉普拉斯方程 考察三维拉普拉斯方程考察三维拉普拉斯方程 采用极坐标：0222222zuyuxuusincosryrxzrzz,20,0 如果讨论的问题具有对称性，研究对象与如果讨论的问题具有对称性，研究对象与z轴无关轴无关,则三维拉氏方程变为二维拉氏方程：则三维拉氏方程变为二维拉氏方程：现在讨论三维拉普拉斯方程的解：以分离现在讨论三维拉普拉斯方程的解：以分离变数形式的解变数形式的解 zZrRzru),(02222222dzZdrRddrzZrRdrdRrzZdrRdzZ01122222zuurrurrr011222
11、urrurrr 微分方程微分方程(1)与自然周期条件：与自然周期条件：构成特征值问题，其特征值和特征函数为：构成特征值问题，其特征值和特征函数为：将将代入（代入（2）得：）得：22222221dddzZdrdrdRRrdrRdRr)()2(nBnAnnsincos)(,3,2,1,0,2)1(0 )2(22222dzZdrdrdRRrdrRdRr 1)当当=0时，时，2)当当 0时，（至于时，（至于 0，=0还是还是 0，要要根据具体的边界条件考虑）根据具体的边界条件考虑）222nZZrRRrRRr ZZrnRRrRR221)4(0)3(0)(122 ZZRrnRrRnnnnrDrCrRBzA
12、Z1)(,令令 贝塞尔方程，其解称为贝塞尔函数贝塞尔方程，其解称为贝塞尔函数。3)当当 0时，记时，记 对于这种情况，如果要求对于这种情况，如果要求 Z(z)在在 z=0，z=h 满足齐次边界条件：满足齐次边界条件：Z(0)=0,Z(h)=0，那么这那么这zzBeAezZ)(hzBhzczZsincos)(rx0112222RxndxdRxdxRd022222RnxdxdRxdxRdx2h 时应排除时应排除 的情况。再看常微分方程的情况。再看常微分方程(6)，令令 x=hr，则方程变为则方程变为 (5)方程（方程（5）称为虚宗量贝塞尔方程。虚宗量）称为虚宗量贝塞尔方程。虚宗量的贝塞尔方程的解叫
13、做虚宗量贝塞尔函数。它的贝塞尔方程的解叫做虚宗量贝塞尔函数。它没有实的零点。因此，如果要求没有实的零点。因此，如果要求R(r)在端点在端点r=a 满足齐次边界条件，即：满足齐次边界条件，即：R(a)=0 ，就应就应排除排除 0 的可能。的可能。022222RnxdxdRxdxRdx0112222RxndxdRxdxRd0 2、波动方程、波动方程 偏微分方程（偏微分方程（7）叫做亥姆霍兹方程。）叫做亥姆霍兹方程。3、输运方程、输运方程 232kvvTaT 032uautt 70602322 vkvTakT katDkatCtTsincos ikatikatDeCetT032 vTavT tTrv
14、tru)(),(032uaut 偏微分方程（偏微分方程（9）是亥姆霍兹方程。）是亥姆霍兹方程。tTrvtru)(),(032vTavT232kvvTaT 90802322vkvTakT takCetT22 4、在柱坐标下求解亥姆霍兹方程、在柱坐标下求解亥姆霍兹方程 在柱坐标系，亥姆霍兹方程的表达式是在柱坐标系，亥姆霍兹方程的表达式是 方程（方程（10）与自然周期条件）与自然周期条件 构成特征值问题特征值和特征函数是：构成特征值问题特征值和特征函数是：011222222vkzvvrrvrrr zZrRzrv),()12(0)11(0)(122 ZZRrkRrR)10(0 )()2(方程（方程（12）的解已给出：如果问题的边界条）的解已给出：如果问题的边界条件全是齐次的，就应该排除件全是齐次的，就应该排除0，把把 记作记作 h2，则则 作自变数的代换：作自变数的代换：这是这是n阶贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数。阶贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数。nBnAnnsincos)(,3,2,1,0,2()cossinZ zAhzBhz0)(1222222RrnhkdrdRrdrRdrhkx22022222RnxdxdRxdxRdx
