1、2020全国高中物理学奥林匹克竞赛人大附中竞赛班辅导讲义（含物理竞赛真题练习）物理竞赛中的数学知识玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何一一、玻耳兹曼分布律玻耳兹曼分布律如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量 E=Ep+Ek分子势能分子势能在麦克斯韦速度分布律中，在麦克斯韦速度分布律中，kTmve22 因子因子kTEke 分子动能分子动能理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能麦克斯韦速度分布可
2、以看作是无外场中分子数麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布按能量的分布zyxvvvkTmdvdvdvekTmNdNzyx)(223222)2(玻耳兹曼将麦氏分布推广为：玻耳兹曼将麦氏分布推广为：在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量分布都与（经典粒子）按能量分布都与 成正比。成正比。kTEe kTEe 玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：经典粒子按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（MB分布）分布）外力场中，粒子分布不仅按速率区间外力场中，粒子分布不仅按速率区间
3、vv+dv分布，分布，还应按位置区间还应按位置区间xx+dx、yy+dy、zz+dz分布分布该区间内的粒子数为：该区间内的粒子数为：dxdydzdvdvdvCedNzyxkTE 玻耳兹曼玻耳兹曼分布律分布律能量越低的粒子出现的概率越大，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+dxdydzeCNdkTEp 则分子数密度则分子数密度kTEpeCdxdydzN
4、dn kTEpenn 0粒子数按势能分布粒子数按势能分布0,0nCEp 时时为势能等于零处的分子数密度为势能等于零处的分子数密度zyxkTvvvmkTEdvdvdvedxdydzCeNdzyxp 2)(222+按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值能取一系列分立值E1,E2,Ei,EN 能级能级kTEiieAN 处于处于Ei状态状态的粒子数的粒子数常数常数对于两个任意能级对于两个任意能级kTEEeNN)(2121 2121,NNEE 则则如果如果在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子
5、数分布服从玻尔兹曼分布粒子数分布服从玻尔兹曼分布二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布kTEpenn 0mghEp kTmghenn 0由气体状态方程由气体状态方程nkTP ,00kTnP kTmghePP 0kTmghenn 0重力场中粒子按高度的分布规律重力场中粒子按高度的分布规律式中式中P0为为h=0处的大气压强，处的大气压强，P为为h处的大气压强，处的大气压强，m是大气分子质量。是大气分子质量。大气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低）kTmghePP 0kTmghenn 0RMkNmN
6、molAA hRTgMmolePP 0两边取对数两边取对数PPgMRThmol0ln 测知地面和高空处的压强与温度，测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。可估算所在高空离地面的高度。kTmghePP 0恒温气压公式恒温气压公式例例 氢原子基态能级氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温，求出在室温T=270C时原子处于第一激时原子处于第一激发态与基态的数目比。发态与基态的数目比。（18联赛改编题）联赛改编题）解：解：102.3943001038.1106.12.10)(121058.1231912 eeeNNkTEE在
7、室温下，氢原子几乎都处于基态。在室温下，氢原子几乎都处于基态。范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正范徳瓦尔斯方程是对理想气体的模型的修正1 1摩尔理想气体的状态方程摩尔理想气体的状态方程RTPV 0V V0分子自由活动空间分子自由活动空间.理想气体分子是没有体积的理想气体分子是没有体积的质点，故质点，故v v0等于容器的体积。等于容器的体积。(1)(1)考虑分子体积引起的修正考虑分子体积引起的修正,理想气体状态方程的理想气体状态方程的修正为修正为RTbVP )(0可估算可估算363Am102d34N4b V0为气体所占容积为气体所占容积,V,V0 0-b-b为分子
8、自由活动空间为分子自由活动空间(2)(2)进一步考虑分子间引力引起的修正进一步考虑分子间引力引起的修正r r r r0 0 斥力斥力r r r r0 0 引力引力r r R R 几乎无相互作用几乎无相互作用 R R称为分子力的有效作用距离称为分子力的有效作用距离R=R=r r0 0 无相互作用无相互作用.r r0 0称为平衡距离称为平衡距离 当两个分子彼此接近到当两个分子彼此接近到r r r r0 0时斥力迅速增大，时斥力迅速增大，阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有阻止两个分子进一步靠近，宛如两个分子都是具有一定大小的球体。一定大小的球体。d0fRrr r0 0设想设想：气体中任一分
9、子都：气体中任一分子都有一个以其为中心，以有一个以其为中心，以R R为为半径的力作用球，其它分半径的力作用球，其它分子只有处于此球内才对此子只有处于此球内才对此分子有吸引作用。分子有吸引作用。处于容器当中的分子处于容器当中的分子 ,平衡态下，周围的分子相平衡态下，周围的分子相对于对于 球对称分布，它们对球对称分布，它们对 的引力平均说来相互抵消。的引力平均说来相互抵消。R d 处于器壁附近厚度为处于器壁附近厚度为R的表层内的分子的表层内的分子,的力作用球被的力作用球被器壁切割为球缺，器壁切割为球缺，周围分子的分布周围分子的分布不均匀，使不均匀，使 平均起来受到一个指向气体内部的合力，平均起来受
10、到一个指向气体内部的合力，这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，叫总效果相当于一个指向内部的压强，叫内压强内压强 P。所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实验可测得的压强为并由实验可测得的压强为PbVRTP 0 R d所有运动到器壁附近要与器所有运动到器壁附近要与器壁相碰的分子必然通过此区壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部的力，域，则指向气体内部的力，将会减小分子撞击器壁的动将会减小分子撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲力。量，从而减小对器壁的冲力。
11、P P的相关因素的相关因素 P表面层分子受到内表面层分子受到内部分子的通过单位部分子的通过单位面积的作用力面积的作用力与表面层分子（类似与表面层分子（类似 ）的数密度的数密度 n 成正比成正比与施加引力的内部分子与施加引力的内部分子的数密度的数密度 n 成正比成正比2021VnP 20VaP 或将气体分子视为有吸引力刚球时将气体分子视为有吸引力刚球时1 1摩尔气体摩尔气体范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程 RTbVVaP 020a a、b b由实验确定。由实验确定。实际气体在很大范围内近似遵守实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程。RTbVVaP 020如果气体质量为如果气体质量为M,则其体积为则其体积为0VMMVmol VMMVmol 0质量为质量为M气体的气体的范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程为为:RTMMbMMVVMaMPmolmolmol 222
