1、 东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学） 2019 届高三第一次模拟数学试题（理） 第第卷卷 一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数的虚部是（ ） A. 4 B. -4 C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】复数= 所以虚部为-2 故选 D 2.集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为可得，集合， 所以 故选 B 3.已知向量的夹角为， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 所以 故选 C 4.设， ，则的大小关系为（ ）
2、A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为是单调递减的，且， 所以； 又因为在是单调递增的， 所以 综上， 故选 A 5.等差数列的前 项和为，且 ，则（ ） A. 30 B. 35 C. 42 D. 56 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以， 所以公差 ， 根据求和公式 故选 B 6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、 羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜 欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有 （ ） A.
3、 30 种 B. 50 种 C. 60 种 D. 90 种 【答案】B 【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 中任意选，所以共有 若同学甲选马， 那么同学乙能选牛、 狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的 10 中任意选， 所以共有 所以共有种 故选 B 7.执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 的值为 4，第二次输入的 的值为 5，记第一次输出的 的 值为，第二次输出的 的值为，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】当输入 x 的值为 4 时， 第一次不满足 ，但是满足 x 能被 b 整除，输出； 当输入 x 的
4、值为 5 时， 第一次不满足 ，也不满足 x 能被 b 整除，故 b=3 第二次满足 ，故输出 则-1 故选 D 8.如图，在直角坐标系中，过坐标原点 作曲线的切线，切点为 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足 分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设切点， 所以切线方程，又因为过原点 所以解得 所以点 P 因为与 轴在围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形的面积为 故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选 A 9.已知是不重合的平面， 是不重合的直线，则的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D.
5、 ， 【答案】C 【解析】对于答案 A：，得出 与 是相交的或是垂直的，故 A 错； 答案 B：，得出 与 是相交的、平行的都可以，故 B 错； 答案 C：，得出，再得出，故 C 正确； 答案 D: ， ，得出 与 是相交的或是垂直的，故 D 错 故选 C 10.双曲线 的左焦点为 ，点 的坐标为，点 为双曲线右支上的动点，且 周长的最小值为 8，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点 P 为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线时，周长最小 即解得 故离心率 故选 D 11.各项均为正数的等比数列
6、的前 项和，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】因为，且等比数列各项均为正数，所以 公比首项 所以 ，通项 所以 当且仅当 所以当时，的最小值为 8 故选 C 12.中，中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题，以点 B 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系； 设点，因为，所以由题易知点 D 可能在直线 AB 的上方，也可能在 AB 的下方； 当点 D 可能在直线 AB 的上方； 直线 BD 的斜率；直线 AD 的斜率 由两直线的夹角公式可得： 化简整理的 可得点 D 的
7、轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点 D 在 AB 的上方，所以是圆在 AB 上方的劣弧 部分； 此时 CD 的最短距离为： 当当点 D 可能在直线 AB 的下方； 同理可得点 D 的轨迹方程： 此时点 D 的轨迹是以点为圆心，半径的圆，且点 D 在 AB 的下方，所以是圆在 AB 下方的劣弧部 分； 此时 CD 的最大距离为： 所以 CD 的取值范围为 第第卷卷 二、填空题二、填空题 13.已知满足约束条件： ，则的最大值是_ 【答案】3 【解析】满足约束条件：，可行域如图： 解得 由题，当目标函数过点 A 时取最大值， 即 故答案为 3 14.甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”
8、，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句 话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是_ 【答案】乙 【解析】假设甲会，那么甲、乙说的都是真话，与题意矛盾，所以甲不会； 假设乙会，那么甲、乙说的都是假话，丙说的是真话，符合题意， 假设丙会，那么乙、丙说的都是真话，与题意矛盾； 故答案是乙 15.已知函数是定义域为的偶函数， 且 为奇函数， 当时， 则_ 【答案】 【解析】因为为奇函数，所以 又因为是定义域为的偶函数，所以 即 所以的周期 因为 所以 故答案为 16.四面体中，底面， ， 则四面体的外接球的表面积为_ 【答案】 【解析】由题意，可得 BCCD， 又因为底面，所以 ABCD，即 C
9、D平面 ABC，所以 CDAC 取 AD 的中点 O，则 OC=OA=OB=OD 故点 O 为四面体外接球的球心，因为 所以球半径 故外接球的表面积 故答案为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设函数 . （1）当时，求函数的值域； （2）中，角的对边分别为，且，求的面积. 解： （1） ， 函数的值域为 （2） ，即 由正弦定理， ， ， 18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达 6 亿，高中生和大学生的近视率均已超过 七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中
10、学一年级 200 名学生进 行不记名问卷调查，得到如下数据： 每周累积户 外暴露时间 （单位：小 时） 不少于 28 小时 近视人数 21 39 37 2 1 不近视人数 3 37 52 5 3 （1）在每周累计户外暴露时间不少于 28 小时的 4 名学生中，随机抽取 2 名，求其中恰有一名学生不近视的 概率； （2）若每周累计户外暴露时间少于 14 个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列 联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与 近视有关系？ 近视 不近视 足够的户外暴露时间 不足够的户外暴露时间 附: P
11、 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 解： （1）设“随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视”为事件 ，则 故随机抽取 2 名，其中恰有一名学生不近视的概率为 . （2）根据以上数据得到列联表： 近视 不近视 足够的户外暴露时间 40 60 不足够的户外暴露时间 60 40 所以的观测值， 故能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系. 19.如图，在三棱锥中，与都为等边三角形，且侧面与底面 互相垂直， 为的中 点，点 在线段上，且， 为棱上一点. （1）试确定点 的位置，使得平面； （2）在（1）的条件下，求二面角的
12、余弦值. 解： （1）在中，延长交于点， ,是等边三角形 为的重心 平面, 平面， ,即点 为线段上靠近点 的三等分点 （2）等边中，交线为， 如图以 为原点建立空间直角坐标系 点 在平面上，所以二面角与二面角为相同二面角. 设,则， 设平面的法向量 ，则 即，取，则 又平面，, 则 , 又二面角为钝二面角，所以余弦值为 . 20.已知椭圆：的左、右两个顶点分别为 ，点 为椭圆上异于的一个动点，设直线的 斜率分别为，若动点 与的连线斜率分别为，且，记动点 的轨迹为曲线. （1）当时，求曲线的方程； （2）已知点，直线与分别与曲线交于两点，设的面积为，的面积为，若 ，求的取值范围. 解： （1）
13、设 ，则， 因为，则 所以， 整理得 . 所以，当时，曲线的方程为 . （2）设. 由题意知， 直线的方程为：，直线的方程为：. 由（）知，曲线的方程为 ， 联立 ，消去 ，得，得 联立，消去 ，得，得 设 则在上递增 又， 的取值范围为 21.已知（ 为自然对数的底数） ， . （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，关于 的方程有且只有一个实数解，求实数 的取值范围. 解： （1）当时，令解得 递减 极小值 递增 （2）设， 令， ，设， 由得， ，在单调递增， 即在单调递增， 当，即时，时，在单调递增,又， 此时在当时，关于 的方程有且只有一个实数解. 当，即时， ，又 故，当时，单调
14、递减，又， 故当时， 在内，关于 的方程有一个实数解. 又时，单调递增， 且，令， ,故在单调递增，又 故在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知， . 故当时， 的方程有两个解为和 综上所述：当时的方程有且只有一个实数解 22.在直角坐标系中，曲线 的参数方程为（ 为参数） ，直线 的方程为 ，以坐标原 点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）曲线 与直线 交于两点，若，求 的值. 解： （1）由题，曲线 的参数方程为（ 为参数） ， 化为普通方程为： 所以曲线 C 的极坐标方程： （2）直线 的方程为，的参数方程为为参数)， 然后将直线 得参数方程代入曲线 C 的普通方程，化简可得： ， 所以 故解得 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数. （1）若不等式对恒成立，求实数 的取值范围； （2）设实数 为（1）中 的最大值，若实数满足，求的最小值. 解： （1）因为函数 恒成立， 解得 ； （2）由第一问可知，即 由柯西不等式可得： 化简： 即 当且紧当：时取等号， 故最小值为
