1、第九章第九章 线性动态电路的复频域分析线性动态电路的复频域分析 动态电路的阶数较高时，求解微分方程较动态电路的阶数较高时，求解微分方程较困难，借助数学的拉普拉斯变换，可困难，借助数学的拉普拉斯变换，可将时域将时域的微分运算转化为复频域的代数运算的微分运算转化为复频域的代数运算，使得，使得求解高阶电路变得简单。后续的自动控制原求解高阶电路变得简单。后续的自动控制原理课程中网络函数就是从此引出的。理课程中网络函数就是从此引出的。F(s)称为称为f(t)的的象函数象函数，f(t)称为称为F(s)的的原函数原函数 f(t)F(s)js 令令91 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1单边拉普拉斯单边拉普拉斯正变换
2、正变换 2单边拉氏反变换单边拉氏反变换)()(de)(j21)(1 j j tftssFtfts L )(de)()(0 tfLttfsFts 3、常见函数的拉氏变换对、常见函数的拉氏变换对1)()()(00 dttdtettst L冲激函数：冲激函数：1)(t 阶跃函数：阶跃函数：st1)(斜坡函数：斜坡函数：21)(stt 20011)(sdetsdttettstst L指数函数：指数函数：stet1)(sesdtedteetetstssttt11 )(0)(0)(0L)(!)(1为正整数为正整数nsnttnn 正幂函数：正幂函数：余弦函数：余弦函数：2020)(cos sstt正弦函数：
3、正弦函数：20200)(sin stt92 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质1 1、线性特性：、线性特性：)()(,)()(2211sFtfsFtf若若)()()()(2121sbFsaFtbftaf 则则一、拉氏变换的基本性质：一、拉氏变换的基本性质：2 2、时域的微分性：、时域的微分性：)0()()()()(fssFdttdfsFtf则则若若)0()0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstf推论推论：93 93 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法01110111)()()(asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm 有理假分式有理假分
4、式 有理真分式有理真分式最简分式之和最简分式之和f(t)例：例：求求 的原函数的原函数f(t)2(1)(ssssF25.15.0)(sssF解：解：)()5.15.0()(2tetft 94 94 线性电路的复频域分析法线性电路的复频域分析法 一、线性电路微分方程的复频域解一、线性电路微分方程的复频域解 例例:已知已知电路的微分方程，其激励电路的微分方程，其激励f(t)=(t)，0-0-初始条初始条件件为为y(0-)=2，y(0-)=1，试求系统的零输入响应、零试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。状态响应和全响应。)(6)(2)(2)(3)(tftftytyty 解：解：对微分方程拉普拉
5、斯变换对微分方程拉普拉斯变换)(2)0()(3)0()0()(2sYyssYysysYs )(6)(2)(2)(3)(tftfLtytytyL )(6)0()(2 sFfssF 23)0(3)0()0()(2362)(22 ssyysysFssssY)()(xsYsYf 211)4(31 23)3(2)(2 ssssssssYf)()ee43()(2ttyttf 2)3(15232312)(2x ssssssY0 ,3ee5)(2x ttytt0 ,2ee3)()()(2x ttytytyttf故故二、电路的二、电路的s s域模型域模型由拉氏变换的线性特性有由拉氏变换的线性特性有KCL：i(t
6、)=0 I(s)=0KVL：u(t)=0 U(s)=0元件：元件：VARVAR 相应的相应的s s域形式域形式 s s域模型域模型 1 1、电阻元件：、电阻元件：)()()()(sIRsUtiRtu )()()()(sUGsItuGti )(tu)(ti )(sU)(sI2 2、电容元件：、电容元件：dttduCticc)()(tccdicutu0)(1)0()()0()()()0()()(ccccccCussCUsIussUCsIsusCsIsUssICsusUcCCCcC)0()()()(1)0()(C )(tuc)(tic )(sUc)(sIcCs1)0(cCu )(sUcCs1)(sI
7、c suc)0(3 3、电感元件、电感元件：dttdiLtuLL)()()0()()()0()()(LLLLLLLissLIsUissILsU tLLduLiti 0 )(1)0()(sisLsUsIssULsisILLLLLL)0()()()(1)0()(i(t)u(t)LI(s)sL U(s)0(LLiI(s)1/sL U(s)siL)0(L2M*L1*i1i2 )(1tu )(2tu tiLtiMutiMtiLu dddddddd221221114 4耦合电感的耦合电感的s s域模型域模型 )0()()0()()()0()()0()()(22221122211111iLssILMisMs
8、IsUMisMsIiLssILsUsL2sM*sL1*)(1sU )(2sU )0(11iL )0(2Mi )0(22iL )0(1MiL2+u2-M*+u1-L1*i1i2+u1-i1i2+u2-L1-ML2-MML1-ML2-MsM-Mi1(0-)+-Mi2(0-)+-+-+-+-)0()(11 iML)0()(22 iML )(1sU )(2sU)(1sI)(2sI当耦合电感为三端接法时的当耦合电感为三端接法时的s s域模型域模型s s域模型域模型 s s域模型中域模型中：sL称为称为复频域感抗复频域感抗，(1/sL)称为称为复复频域感纳；频域感纳；(1/sC)称为称为复频域容抗复频域容
9、抗，sC称为称为复频复频域容纳。域容纳。独立电源称为独立电源称为附加电源或内激励附加电源或内激励。复频域阻抗与复频域导纳复频域阻抗与复频域导纳：)()()(,)()()(sUsIsYsIsUsZ N0无源、无源、零状态零状态I(s)+U(s)-RsL 1 sCI(s)+U(s)-sCsLRsYsCsLRsZ11)(,1)()()()(,)()()(sUsYsIsIsZsU 在零状态下在零状态下有有s s域形式的欧姆定律域形式的欧姆定律 复频域分析法步骤复频域分析法步骤 1.1.求求换路前电路的状态换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)；2.2.求激励求激励f(t)的象函数的象函数F(s)
10、；3.3.画出画出s域电路模型域电路模型4.4.用用s s域形式的各种分析法建立方程，解出响应域形式的各种分析法建立方程，解出响应变量的象函数；变量的象函数；5.5.拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画出响应的波形。出响应的波形。例例:图示电路，试求零状态响应图示电路，试求零状态响应uC1、uC1、u 0.2(t)A0.2F+uC1-+uC2-0.3F50+u-画出零状态画出零状态s s域电路模型域电路模型解：解：0.2+UC1(s)-+UC2(s)-50+U(s)-s310s5由节点法：由节点法：sssUC31050152.0)(1 616.04.0)61
11、(151 sssss 611)(3105050)(1 ssUssUC614.04.0)()()(12 sssUsUsUCC拉氏反变换得拉氏反变换得V)()e6.04.0()(611ttutC V)()e4.04.0()(612ttutC V)(e)(61ttut 注意注意状态变量状态变量有有突变。突变。拉氏变换积分下限拉氏变换积分下限取取0 0-可方便地解决突变问题。可方便地解决突变问题。0t1()Cut()Cut()u t例例:电路换路前已达稳态，电路换路前已达稳态，求求t0的全响应的全响应i2(t).+10V-2.5 (t=0)S2.5*3H3H2Hi1i22.5 例例2解解：画出：画出0
12、-等效电路，有等效电路，有：0)0(,A25.25.210)0(21 ii+10V-2.5 2.5 i1(0-)i2(0-)2.5 画出画出s s域模型如图域模型如图 4)()35.2()(2610)(2)()35.2(2121sIsssIsssIsIs5.215.014251551035.22235.24261035.2)(22 ssssssssssssI0 ,A)ee()(5.25.02 ttitt+-2.5*3s3s2sI1(s)2.510s-+-+64I2(s)去耦等效去耦等效+10V-2.5 (t=0)S2.5 i1i22.5 1H2H1Hi3+-2.5I1(s)2.510sI2(s
13、)s2s4s2-+-+0)0(A2)0()0(231 iii画出画出s s域模型如图域模型如图 4)()25.2()(2610)(2)()25.2(2121 sIssssIsssIsIss0 ,A)ee()(5.25.02 ttitt例例电路换路前已达稳态电路换路前已达稳态，求求t0的全响应的全响应i(t).A5.22210)0(Li A5.175.225.25)0(Cu解解:+5iL-+uC-2 S(t=0)-+-+10V2 iL2H2F)(ti+5IL(s)-2-+-+10/s22s2s+-17.5sI(s)IL(s)-+5画出画出s s域模型如图域模型如图 )1()2(5.222510)
14、(ssssssIL15.27510)(5.17)(52)(sssIssIssILL.A)(e5.27)(5)(10)(ttttit )()()()(thsFsYsHfL 零状态下电路响应象函数与激励象函数之比；零状态下电路响应象函数与激励象函数之比；2 2物理意义物理意义电路冲激响应的拉普拉斯变换；电路冲激响应的拉普拉斯变换；9 95 5 网络函数与频率特性网络函数与频率特性1 1复频域网络函数复频域网络函数H(s)的定义：的定义：3.3.H(s)的零点、极点与零、极点图的零点、极点与零、极点图将分子、分母因式分解将分子、分母因式分解(设为单根情况设为单根情况)得得 )()()()()()()
15、(1102121rnriminmmpszsHpspspszszszsbsH )()()()()(01110111sDsNasasasbsbsbsbsFsfYsHnnnmmmm H0=bm(分子分母最高次项系数之比分子分母最高次项系数之比)为实常数为实常数。D(s)=0的根的根pi称为称为(s)的的极点极点，(pi)(s)=0的根的根zi称为称为(s)的的零点零点，(zi)0。网络函数的零、极点只能是网络函数的零、极点只能是实数实数或或共轭共轭复数对复数对，可以是多重的；在，可以是多重的；在s s平面上，用平面上，用“”表示零点，用表示零点，用“”表示极点称为零、极点表示极点称为零、极点分布图。
16、若分布图。若H011时要在图中标出来时要在图中标出来；若具有若具有多重的零点或极点时，则应在多重的零点或极点时，则应在“”旁或旁或“”旁标出其重数旁标出其重数。j 2j2j 2 20 H4、H(s)与网络的频率特性若网络函数若网络函数H(s)的收敛域包含的收敛域包含j，则令则令s=j)(|)j(|)j()j()()j(1 10 j HpzHsHHrnrimis相相频频特特性性曲曲线线曲曲线线幅幅频频特特性性曲曲线线曲曲线线 :)(;:)j(H频率响应：频率响应：频率特性绘制的方法频率特性绘制的方法 :描描点法点法 .),();,();,0(00 有有时时即即为为极极值值点点谐谐振振情情况况高高频频情情况况直直流流情情况况ss有高通有高通 低通低通 带通带通 带阻四种形式带阻四种形式第九章小结第九章小结1.拉普拉斯变换的概念，常用函数的像函数。拉普拉斯变换的概念，常用函数的像函数。2.复频域下的电路模型，尤其电感、电容中复频域下的电路模型，尤其电感、电容中附加电源的概念。附加电源的概念。3.复频域下网络函数复频域下网络函数H(s)的概念。零点、极点、的概念。零点、极点、网络频率响应的概念。网络频率响应的概念。
