1、第五章第五章5.3.3 5.3.3 命题、定理、证明命题、定理、证明人教版数学七年级下册1.1.了解命题的概念，并能区分命题的题设和了解命题的概念，并能区分命题的题设和结论结论.2.2.经历判断命题真假的过程，对命题的真假经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解有一个初步的了解.学习目标学习目标请阅读以下几句话：请阅读以下几句话：（1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民 共和国公民共和国公民.（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.（3）无限不循环小数称为无理数）无限不循环小数称为无理
2、数.（4）今天要下雨）今天要下雨.（5）我们要充满梦想，执着地飞翔）我们要充满梦想，执着地飞翔.导入新知导入新知1知识点知识点命题的定义及结构命题的定义及结构前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行；也互相平行；(2)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；(3)对顶角相等；对顶角相等；(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式等式两边加同一个数，结果仍是等式.像这样判断一件事情的语句，叫
3、做命题像这样判断一件事情的语句，叫做命题.合作探究合作探究 命题由题设和结命题由题设和结 论两部分组成论两部分组成.题设是已知事项，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项结论是由已知事项推出的事项.数学中的命题常可以写成数学中的命题常可以写成“如果如果那么那么”的的形式，这时形式，这时“如果如果”后后 接的部分是题设，接的部分是题设，“那么那么”后后接的部分是结论接的部分是结论.例如，上面命题例如，上面命题(1)中，中，“两两 条直线条直线都与第三条直线平行都与第三条直线平行”是题设，是题设，“这两条直线也互相这两条直线也互相平行平行”是结论是结论.有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才
4、有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成能找出题设和结论，从而将它们写成“如如 果果那那么么”的形式的形式.例如，命题例如，命题“对顶角相等对顶角相等”可以写可以写成成“如果两个角是对顶角，那么这如果两个角是对顶角，那么这 两个角相等两个角相等”.下列语句中：下列语句中：(1)时间都去哪儿了？时间都去哪儿了？(2)画一条直画一条直线的平行线；线的平行线；(3)长方形的四个角都是直角；长方形的四个角都是直角；(4)4不是偶数命题共有不是偶数命题共有()A1个个 B2个个C3个个 D4个个 例例1 B内错角相等，两直线平行；清命题的题设部分和结论部分；也互相平行；A
5、a2b2或ab(3)两直线平行，同位角相等.ac(垂直的定义).的题设，不满足命题的结论命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题清命题的题设部分和结论部分；(3)题设：两直线平行；ac(垂直的定义).证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推的题设，不满足命题的结论像这样判断一件事情的语句，叫做命题.（3）无限不循环小数称为无理数.(1)互为补角的两个角相等；下列语句是命题的是()下列语句中，不是命题的是（）(1)题设：两个角互为补角；如图，已知直线b/c，ab .经过推理证实是正确的真命题A1个 B2个紧扣命题的定义进行判断：紧扣命题的定义进行判断：(1)是一个疑问句，没有作出判断，所以不
6、是命题；是一个疑问句，没有作出判断，所以不是命题；(2)没有包含判断的意思，所以不是命题；没有包含判断的意思，所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题；对一件事情作出了肯定的判断，所以是命题；(4)对事情作出了否定的判断，所以是命题对事情作出了否定的判断，所以是命题导引：导引：命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感一般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题新知小结新知小结把下列命题改写成把下列命题改写成“如果如
7、果那么那么”的形式的形式(1)对顶角相等；对顶角相等；(2)垂直于同一条直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两条直线平行；(3)同角或等角的余角相等同角或等角的余角相等设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来，设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来，要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分清命题的题设部分和结论部分；再将它写成清命题的题设部分和结论部分；再将它写成“如如果果那么那么”的形式的形式 例例2 导引：导引：合作探究合作探究(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等如果两个角是对顶角，那么这两个角相等(2)如果两条直线都和第三条直
8、线垂直，那么这如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这 两条直线平行两条直线平行(3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的如果两个角是同一个角的余角或两个相等的 角的余角，那么这两个角相等角的余角，那么这两个角相等解：解：(1)命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写 后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减 词语或调换词序；词语或调换词序；(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项已知事项)部部 分和结论部分；再将其改写为分和结论部分；再将其改写为“如果如果那么那么”
9、的形式：的形式：“如果如果”后面跟的是已知事项，后面跟的是已知事项，“那么那么”后面跟的是由已知事项推出的事项后面跟的是由已知事项推出的事项(即结论即结论)新知小结新知小结1指出下列命题的题设和结论：指出下列命题的题设和结论：(1)如果如果ABCD，垂足为，垂足为O，那么，那么AOC=90;(2)如果如果1=2，2=3，那么，那么1=3，;(3)两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等.(1)题设：题设：ABCD，垂足为，垂足为O；结论：；结论：AOC90.(2)题设：题设：12，23；结论：；结论：13.(3)题设：两直线平行；结论：同位角相等题设：两直线平行；结论：同位角相等解：解：巩
10、固新知巩固新知2下列语句是命题的是下列语句是命题的是()A延长线段延长线段AB到到CB用量角器画用量角器画AOB90C同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行D任何数的平方都不小于任何数的平方都不小于0吗？吗？C3 下列语句：钝角大于下列语句：钝角大于90；两点之间，线段最；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作短；希望明天下雨；作ADBC；同旁；同旁内角不互补，两直线不平行其中是命题的是内角不互补，两直线不平行其中是命题的是()A B C DB4下列语句中，不是命题的是（）下列语句中，不是命题的是（）A如果如果ab，那么，那么ba B同位角相等同位角相等C垂线段最短垂线段最短 D反向延长射
11、线反向延长射线OAD5命题命题“如果如果a2b2，那么，那么ab或或ab0”的结的结论是（）论是（）Aa2b2或或ab Ba2b2Cab或或ab0 Da2b2或或ab0C2知识点知识点命题的分类命题的分类命题的种类：命题的种类：(1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这 样的命题叫真命题样的命题叫真命题(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫假命题这样的命题叫假命题合作探究合作探究指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题(1)
12、互为补角的两个角相等；互为补角的两个角相等；(2)若：若：ab，则：，则：acbc；(3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积 相等相等(1)要指出命题的题设和结论，其实质是指出要指出命题的题设和结论，其实质是指出“如果如果(若若)”和和“那么那么(则则)”后面跟的事项；如果命题不是后面跟的事项；如果命题不是“如果如果那那么么”的形式，那么需先将命题改写为的形式，那么需先将命题改写为“如果如果那那么么”的形式；再指出它的题设和结论；的形式；再指出它的题设和结论；(2)要判断命题的要判断命题的真假：真命题需说明理由，假命题只需举一反例即
13、可真假：真命题需说明理由，假命题只需举一反例即可例例3 导引：导引：(1)题设：两个角互为补角；结论：这两个角相题设：两个角互为补角；结论：这两个角相 等假命题等假命题(2)题设：题设：ab；结论：；结论：acbc.真命题真命题(3)题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个 长方形的面积相等假命题长方形的面积相等假命题解：解：判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题命题的常用方法，而所
14、列举的反例一般应满足命题的题设，不满足命题的结论的题设，不满足命题的结论新知小结新知小结1举出学过的举出学过的23个真命题个真命题.如：等角的余角相等，如：等角的余角相等，同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行解：解：巩固新知巩固新知2下列命题：垂线段最短；同位角相等；如下列命题：垂线段最短；同位角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；内错角相等，两直线平行；线也互相平行；内错角相等，两直线平行；经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；经过一点有且只有一条直线与这条直线平行；如果如果|x|2，那么，那么x2.其中真命
15、题有其中真命题有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个C3知识点知识点定理与证明定理与证明(举反例举反例)1定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理2证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经 过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明合作探究合作探究ab(已知已知)，1=90(垂直的定义垂直的定义).又又b/c(已知已知)，1=2 (两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等).2=1=90(等量代换等量代换).ac(垂直的定义垂直的定义).例例4 证明：证明：如图，
16、已知直线如图，已知直线b/c，ab .求证求证ac.证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程证明的每一步推理都要有根据，不出结论的过程证明的每一步推理都要有根据，不能能“想当然想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理，已学过的定理在初学证明时要把是定义、公理，已学过的定理在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的根据写在每一步推理后面的括号里，如本例中的“已知已知”“等量代换等量代换”等等新知小结新知小结1在下面的括号内，填上推理的根据在下面的括号内，填上推理的根据.如图，如图，AB
17、=180，求证，求证CD=180.证明：证明：AB=180，ADBC(_).CD=180(_).同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行CB两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补巩固新知巩固新知2命题命题“同位角相等同位角相等”是真命题吗？如果是，说出是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例理由；如果不是，请举出反例.不是真命题如图所示，不是真命题如图所示，直线直线a与与b不平行，直线不平行，直线c与直线与直线a，b分别相交，分别相交，1与与2是同位角，但是同位角，但12.解：解：3下列说法错误的是下列说法错误的是()A命题不一定是定理，定理一定是命题命题不一定是定
18、理，定理一定是命题B定理不可能是假命题定理不可能是假命题C真命题是定理真命题是定理D如果真命题的正确性是经过推理证实的，这如果真命题的正确性是经过推理证实的，这 样得到的真命题就是定理样得到的真命题就是定理C4【中考中考宁波宁波】能说明命题能说明命题“对于任何实数对于任何实数a，|a|a”是假命题的一个反例可以是是假命题的一个反例可以是()Aa2 BaCa1 Da2A13如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；样的命题叫真命题数学中的命题常可以写成“如果那么”的(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，两点之间，线段最短；B定理不可能是假命题A1个 B2个如果命题不是“
19、如果那B90，的补角90，B用量角器画AOB90C同位角相等，两直线平行C同位角相等，两直线平行下列语句中，不是命题的是（）要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分样的命题叫真命题（3）无限不循环小数称为无理数.把下列命题改写成“如果那么”的形式共和国公民.设法把命题的题设和结论部分省略的文字找出来，后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减“已知”“等量代换”等作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本5对假命题对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角任何一个角的补角都不小于这个角”举举反例，正确的反例是反例，正确的反例是()A60，的补角的补角120，B90，的补角的补角90，C10
20、0，的补角的补角80，D两个角互为邻补角两个角互为邻补角C 定义、命题、基本事实定义、命题、基本事实(公理公理)、定理之间的区别、定理之间的区别与联系：与联系：(1)联系：这四者都是命题联系：这四者都是命题(2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以 作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本 事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因事实是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因 而不能作为进一步判断其他命题真假的依据而不能作为进一步判断其他命题真假的依据1知识小结知识小结归纳新知归纳新知把把“同
21、旁内角互补同旁内角互补”改写为改写为“如果如果那么那么”的形式的形式2易错小结易错小结解：解：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补改写命题时，易忽视语句通顺、完整而导致错误改写命题时，易忽视语句通顺、完整而导致错误易错点：易错点：改写命题时，语句不通顺，命题补充不完整改写命题时，语句不通顺，命题补充不完整.判断判断题设题设结论结论课后练习课后练习BAD真命题真命题假命题假命题如图，已知直线b/c，ab .A1个 B2个证明：AB=180，长方形的面积相等假命题长方形的面积相等假命题(4)等式两边加同一个数，结果仍是等式.共和国公民.CD=180(_).B
22、用量角器画AOB90而不能作为进一步判断其他命题真假的依据1=90(垂直的定义).“已知”“等量代换”等下列语句是命题的是()(3)两直线平行，同位角相等.数学中的命题常可以写成“如果那么”的(2)题设：12，23；ADBC(_).(3)两直线平行，同位角相等.(2)命题改写的方法：先搞清命题的题设(已知事项)部Da2b2或ab0也互相平行；如图，已知直线b/c，ab .C【答案答案】B经过推理证实是正确的真命题经过推理证实是正确的真命题证明证明反例反例13180CACA1个 B2个事实是最原始的依据；(3)两直线平行，同位角相等.如图，AB=180，求证CD=180.成“如果两个角是对顶角，
23、那么这 两个角相等”.清命题的题设部分和结论部分；“已知”“等量代换”等（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.Aa2b2或ab长方形的面积相等假命题两点之间，线段最短；清命题的题设部分和结论部分；命题由题设和结 论两部分组成.如图，已知直线b/c，ab .作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本要从文字的内在顺序、内在意义进行全面考虑，分(2)假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，形式，这时“如果”后 接的部分是题设，“那么”后后的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减像这样判断一件事情的语句，叫做命题.命题“如果a2b2，那么ab或ab0”的结论是（）Da2b2或ab0对顶角相等对顶角相等同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行C两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行再见再见
