1、 第 - 1 - 页 共 8 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1在ABC 中，ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点，则( ) ABD CE BBD 与CE 共线 CBE BC DDE 与BC 共线 答案 D 解析 D，E 分别是 AB，AC 的中点，DEBC，即DE 与BC 共 线 2ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 1，AO 1 2(AB AC )，且 |OA |AB |，则BA BC 为( ) A1 B 3 C1 D 3 答案 A 解析 由题意知，O 为 BC 的中点，且ABC60 ，|BC |2，|AB |1，BA BC 121 21. 3人骑自行车的速度是
2、v1，风速为 v2，则人骑自行车逆风行驶的 速度为( ) Av1v2 Bv1v2 C|v1|v2| D v1 v2 答案 B 解析 对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理， 人骑自行车逆风行驶的速度为 v1v2，因此选 B. 第 - 2 - 页 共 8 页 - 2 - 4 已知非零向量AB 与AC 满足 AB |AB | AC |AC | BC 0， 且 AB |AB | AC |AC | 1 2， 则ABC 为( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 答案 D 解析 AB |AB | AC |AC | BC 0，A 的平分线所在的向量与BC 垂
3、 直，所以ABC 为等腰三角形又 AB |AB | AC |AC | 1 2，cosA 1 2，A 3. 故ABC 为等边三角形 5已知直线 xya 与圆 x2y22 交于 A，B 两点，O 是坐标原 点，C 是圆上一点，若OA OB OC ，则 a 的值为( ) A 1 B 2 C 3 D 2 答案 A 解析 如图，连接 AC，BC，可知四边形 OACB 是菱形，OCAB， 第 - 3 - 页 共 8 页 - 3 - 所以原点 O 到直线 AB 的距离等于半径的一半， 即 2 2 ， 进而可得 a 1. 二、填空题 6某人从点 O 向正东走 30 m 到达点 A，再向正北走 30 3 m 到
4、 达点 B，则此人的位移的大小是_m，方向是东偏北_ 答案 60 60 解析 如图所示，此人的位移是OB OA AB ，且OA AB ， 则|OB | |OA |2|AB |260(m)， tanBOA|AB | |OA | 3.BOA60 . 7已知向量 a(6,2)，b 4，1 2 ，过点 A(3，1)且与向量 a 2b 平行的直线 l 的方程为_ 答案 3x2y70 解析 a2b(6,2)(8,1)(2,3)2 1，3 2 ，过 A(3， 1)且与向量 a2b 平行的直线 l 的方程为 y13 2(x3)，即 3x 2y70. 8若平面向量 ， 满足|1，|1，且以向量 ， 为邻边的 第
5、 - 4 - 页 共 8 页 - 4 - 平行四边形的面积为1 2，则 与 的夹角 的取值范围是_ 答案 6， 5 6 解析 以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 S|sin|sin1 2， 所以 sin 1 2|，又因为|1，所以 1 2| 1 2，即 sin 1 2且 0， ，所以 6， 5 6 . 三、解答题 9如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，AB 的中点，G 为 BE 与 DF 的交点若AB a，AD b. (1)试以 a，b 为基底表示BE ，DF ； (2)求证：A，G，C 三点共线 解 (1)BE AE AB 1 2ba， DF AF AD 1 2ab. (2
6、)证明：D，G，F 三点共线，则DG DF ， AG AD DF 1 2a(1)b. 第 - 5 - 页 共 8 页 - 5 - B，G，E 三点共线，则BG BE ， AG AB BE (1)a1 2b， 由平面向量基本定理知 1 21， 11 2， 解得 2 3， AG 1 3(ab) 1 3AC ，所以 A，G，C 三点共线 10今有一小船位于 d60 m 宽的河边 P 处，从这里起，在下游 l80 m 处河流变成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平 行)，水速大小为 5 m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能 小于多少？当划速最小时，划速方向如何？ sin37 3 5
7、 解 如图，由题设可知，船的实际速度 vv划v水，其方向为临 界方向PO . 则最小划速|v划|v水| sin， 第 - 6 - 页 共 8 页 - 6 - sin d d2l2 60 602802 3 5， 37 . 最小划速应为 v划5sin53 53(m/s) 当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为 127 . B 级：能力提升练 1一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向 10 mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东 75 ，以 9 mile/h 的速度向前航行， 货船以 21 mile/h 的航速前往营救， 并在最短 时间内与渔船靠近，求货船的位
8、移 解 如下图，设渔船在 A 处遇险，货船在 B 处发现渔船遇险，两 船在 C 处相遇，所经时间为 t(h) 由已知，BAC45 75 120 ， |AB |10，|AC |9t，|BC |21t. BC AC AB ，BC 2(AC AB )2， 即BC 2AC 22AC AB AB 2. (21t)2(9t)229t10cos120 100. 化简得 36t29t100， 即(3t2)(12t5)0.t0，t2 3. 第 - 7 - 页 共 8 页 - 7 - |BC |2 32114，|AC |2 396. 又AC BC BA ， AC 2(BC BA )2，即AC 2BC 22BC B
9、A BA 2. 3619621410cosABC100. 由此解得 cosABC13 14.ABC21 47. 故货船的位移是北偏东 66 47，距离为 14 mile. 2如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为 G.两绳 受到的拉力分别为 F1，F2，夹角为 . (1)求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式，用数学观点分析 |F1|的大小与夹角 的关系； (2)求|F1|的最小值； (3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求 的取值范围 解 (1)由力的平衡得 F1F2G0， 设 F1，F2的合力为 F，则 FG. 由 F1F2F 且|F1|F2|，|F|G|， 解直角三角形得 cos 2 1 2|F| |F1| |G| 2|F1|. 第 - 8 - 页 共 8 页 - 8 - |F1| |G| 2cos 2 ，0 ，180 由于函数 ycos 在 0 ，180 上为减函数， 逐渐增大时，cos 2逐渐减小，即 |G| 2cos 2 逐渐增大 增大时，|F1|也增大 (2)由上述可知，当 0 时，|F1|有最小值为|G| 2 . (3)由题意，得|G| 2 |F1|G|， 1 2 1 2cos 2 1，即1 2cos 21. 由于 ycos 在0 ，180 上为减函数， 0 260 ，0 ，120
