1、 第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1已知|a|2，|b|4，a b4，则向量 a 与 b 的夹角为( ) A30 B60 C150 D120 答案 D 解析 cos a b |a|b| 4 24 1 2，0 ，180 ，120 .故选 D. 2已知向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|( ) A0 B2 2 C4 D8 答案 B 解析 |2ab|24a24a bb28， |2ab|2 2. 3若平面四边形 ABCD 满足AB CD 0，(AB AD ) AC 0，则 该四边形一定是( ) A直角梯形 B矩形 C菱形 D正方形
2、答案 C 解析 由AB CD 0， 得平面四边形 ABCD 是平行四边形， 由(AB AD ) AC 0， 得DB AC 0， 即平行四边形 ABCD 的对角线互相垂直， 则该四边形一定是菱形 4若非零向量 a，b 满足|a|2 2 3 |b|，且(ab)(3a2b)，则 a 与 b 的夹角为( ) 第 - 2 - 页 共 6 页 - 2 - A 4 B 2 C3 4 D 答案 A 解析 由题意， 得(ab) (3a2b)3a22b2a b0， 即 a b3a2 2b2.又|a|2 2 3 |b|，所以 a b3 2 2 3 |b| 22b22 3b 2，所以 cosa， b a b |a|b
3、| 2 3b 2 2 2 3 b2 2 2 ，所以a，b 4. 5已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量 c 满足(ac) (bc)0，则|c|的最大值是( ) A1 B2 C 2 D 2 2 答案 C 解析 因为|a|b|1，a b0，(ac) (bc)c (ab)|c|2 |c|ab|cos|c|20， 其中 为 c 与 ab 的夹角， 所以|c|ab| cos 2cos 2，所以|c|的最大值是 2，故选 C. 二、填空题 6已知向量 a，b 的夹角为 45 ，且|a|4， 1 2ab (2a3b)12， 则|b|_；b 在 a 方向上的投影等于_ 答案 2 1 解析
4、a b|a|b|cosa，b4|b|cos45 2 2|b|， 又 1 2ab (2a3b)|a| 21 2a b3|b| 216 2|b|3|b|212， 解得 |b| 2或|b|2 2 3 (舍去) b 在 a 方向上的投影为|b|cosa，b 2cos45 1. 第 - 3 - 页 共 6 页 - 3 - 7已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60 ，cta(1t)b.若 b c 0，则 t_. 答案 2 解析 由题意，将 b cta(1t)b b 整理，得 ta b(1t)0， 又 a b1 2，所以 t2. 8在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60 ，E 为 CD 的中 点若
5、AC BE 1，则 AB 的长为_ 答案 1 2 解析 因为BE BA AD DE AB AD 1 2AB AD 1 2AB ，所 以AC BE (AB AD ) AD 1 2AB AD 21 2AD AB 1 2AB 211 2 1|AB |cos60 1 2|AB |21，所以1 4|AB |1 2|AB |20，解得|AB |1 2. 三、解答题 9已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量 b 方向上的投影为1. (1)求 a 与 b 的夹角 ； (2)求(a2b) b； (3)当 为何值时，向量 ab 与向量 a3b 互相垂直？ 解 (1)|a|2|b|2， |a|2，|b|1. 第
6、- 4 - 页 共 6 页 - 4 - 又 a 在 b 方向上的投影为|a|cos1， cos1 2， 2 3 . (2)(a2b) ba b2b2123. (3)ab 与 a3b 互相垂直， (ab) (a3b)a23a bb a3b2431374 0， 4 7. 10 已知 a， b 是两个非零向量， 当 atb(tR)的模取得最小值时， (1)求 t 的值(用 a，b 表示)； (2)求证：b 与 atb 垂直 解 (1)|atb|2a2t2b22ta b b2 ta b b2 2a2a b 2 b2 . 当 ta b b2 时，|atb|取得最小值 (2)证明：因为(atb) ba b
7、tb2a ba b b2 b20，所以 atb 与 b 垂直 B 级：能力提升练 1设向量 a，b，c 满足 abc0，(ab)c，ab，若|a|1， 则|a|2|b|2|c|2的值是_ 答案 4 解析 由 abc0，得(abc)20，得 a2b2c22(a bb cc a)0. 又(ab)c，ab， (ab) c0，a b0.a cb c. a2b2c24b c，b2c214b c. 由 abc0，得 bca， 第 - 5 - 页 共 6 页 - 5 - 故(bc)21，即 b2c22b c1. 由得 b c1，故 a2b2c24，即|a|2|b|2|c|24. 2在四边形 ABCD 中，已
8、知 AB9，BC6，CP 2PD . (1)若四边形 ABCD 是矩形，求AP BP 的值； (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，且AP BP 6，求AB 与AD 夹角 的余弦值 解 (1)因为四边形 ABCD 是矩形，所以AD DC 0， 由CP 2PD ，得DP 1 3DC ，CP 2 3CD 2 3DC . 所以AP BP (AD DP ) (BC CP ) AD 1 3DC AD 2 3DC AD 21 3AD DC 2 9DC 2362 98118. (2)由题意，AP AD DP AD 1 3DC AD 1 3AB ， BP BC CP BC 2 3CD AD 2 3AB ， 所以AP BP AD 1 3AB AD 2 3AB AD 21 3AB AD 2 9AB 2 361 3AB AD 18181 3AB AD . 又AP BP 6， 第 - 6 - 页 共 6 页 - 6 - 所以 181 3AB AD 6， 所以AB AD 36. 又AB AD |AB |AD |cos96cos54cos， 所以 54cos36，即 cos2 3. 所以AB 与AD 夹角的余弦值为2 3.
