1、-1-1 1.2 2排列与组合排列与组合-2-1 1.2 2.1 1排列1.理解排列数的定义,并掌握排列数公式及其应用.2.会用排列数的定义、排列数公式来解决一些简单的实际问题.121.排列的有关概念(1)一般地,从n个不同元素中任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)两个排列相同的含义:组成排列的元素相同,并且元素的排列顺序也相同.(3)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示.12知识拓展知识拓展(1)排列的定义中包括两个基本内容:一是“取出元素”;二是“按一定顺序排
2、列”.(2)从定义知,只有当元素完全相同,并且元素排列的顺序也完全相同时,才是同一个排列.元素完全不同,或元素部分相同,或元素完全相同而排列顺序不同的排列,都不是同一排列,叫做不同排列.(3)在定义中规定mn.(4)在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.在实际问题中,要由具体问题的性质和条件来决定,这一点要特别注意.(5)判断一个具体问题是不是排列问题,就看从n个不同元素中取出m个元素后,再安排这m个元素时是有序还是无序,有序就是排列,无序就不是排列.12【做一做1】从三本不同的书中任选两本,放在甲、乙两个书架上,有种不同的放法.解析:完成上述事情,需要分成两个步骤:第一步,从三本书中任选一本
3、放在甲书架上,共有3种不同的方法;第二步,从剩下的两本书中任选一本放在乙书架上,有2种不同的方法.根据分步乘法计数原理,不同的放法共有32=6(种).答案:61212知识拓展知识拓展(1)排列数公式的特点:这个公式在m,nN+,mn的情况下成立,mn时不成立;排列数公式的推导过程是不完全归纳法,不是严格的证明,要严格证明排列数公式,可采用数学归纳法证明.这个证明不作要求,今后直接应用公式即可;公式右边是m个数的连乘积,形式较复杂,其特点是:公式右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数小1,最后一个因数为n-m+1,共有m个因数相乘.1212【做一做2-1】设mN+,且m0,解得x
4、13.由可知3x8,xN+,即x=3,4,5,6,7.故所求不等式的解集为3,4,5,6,7.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五【例2】有5名男生,4名女生排成一排.(1)从中选出3人排成一排,有多少种不同的排法?(2)若男生甲不站排头,女生乙不站排尾,则有多少种不同的排法?(3)要求女生必须站在一起,有多少种不同的排法?(4)若4名女生互不相邻,有多少种不同的排法?分析(1)这是一个无限制条件的排列问题,利用排列数公式易求;(2)这是一个有限制条件的排列问题,特殊元素是男生甲和女生乙,排头和排尾是特殊位置,需将问题合理分类、分步再计算;(3)女生站在一起,可将所有女
5、生视为一个整体,既考虑整体内部的排列,又考虑这个整体与其他男生一起的排列;(4)由于4名女生不能相邻,所以可考虑先将男生排好,再将4名女生插空排列.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思反思 (1)对于有限制条件的排列问题,先考虑安排好特殊元素(或位置),再安排一般的元素(或位置),即先特殊后一般,一般用直接法.也可以先不考虑特殊元素(或位置),而列出所有元素的全排列数,从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数,此方法一般是间接法.(2)关于某些元素“相邻”的排列问题,可以把相邻元素看成一个整体,当成一个元素去和其他元素进行排列;而
6、对于元素“不相邻”的排列问题,可先将允许相邻的元素进行排列,然后在它们的空当处插入不能相邻的元素.题型一题型二题型三题型四题型五【例3】用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?分析该例中的每一个小题都是有限制条件的排列问题.除了应注意题目中要求的明显条件外,还应注意隐含条件“0不能排在首位”.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思反思 不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题.其常见的附加条件有
7、:奇数、偶数、倍数、大小关系等,也可以有相邻问题、插空问题,也可以与数列等知识相联系等.解决这类问题的关键是搞清事件是什么,元素是什么,位置是什么,给出了什么样的附加条件.然后按特殊元素(位置)的性质分类(每一类的各种方法都能保证事件的完成),按事件发生的连续过程合理分步来解决.这类问题的隐含条件“0不能排在首位”尤其不能忽略.题型一题型二题型三题型四题型五【例4】从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作为方程ax2+bx+c=0的系数,可以组成多少个不同的一元二次方程?其中有实根的方程有多少个?分析题目有两问:第一问隐藏的限制条件是a0;第二问的限制条件等价于0,且a0,即受不等式b2-
8、4ac0且a0的制约,需分类讨论.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五反思反思 该例题的限制条件较隐蔽,需仔细分析.一元二次方程须满足a0.对有实根的一元二次方程,因为0,所以有两层意思:一是a不能为0;二是要保证b2-4ac0,故需先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中,既要能观察出是排列问题,又要能搞清哪些是特殊元素,还要根据问题进行合理分类、分步,选择合适的解法.因此需做一定量的排列应用题,逐渐掌握解决问题的基本思路.题型一题型二题型三题型四题型五【例5】将铅笔、圆珠笔、橡皮、直尺四件文具分给甲、乙、丙3名小朋友,每人至少分到一件文具,有多少种不同的分法?题型一题
9、型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五123451.有下列问题:从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动.从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母.从a,b,c,d四个字母中取出2个字母,然后按顺序排成一列.其中是排列问题的有()A.1个B.2个 C.3个D.4个解析:是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关;不是排列问题,因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关;不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关;是排列问题,因为取出的两个字母还需要按顺序排成一列.答案:B12
10、3452.将5辆车停放在5个车位上,若A车不停在1号车位上,则不同的停车方案有()A.24种 B.78种C.96种 D.120种答案:C123453.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A.720种 B.360种C.240种 D.120种解析:应用捆绑法,不同排法有答案:C123454.写出从甲、乙、丙三个元素中任取两个元素的所有排列:.答案:甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙123455.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,若某女生必须担任语文课代表,则不同的选法共有种.解析:由题意知,从剩余7人中选出4人担任4个学科课代表,共有答案:840-37-1.2.1排列
