1、xyo可行域上的最优解可行域上的最优解引入引入:某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲,乙两种产品乙两种产品,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用每生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算,该厂所有该厂所有可能的日生产安排是什么可能的日生产安排是什么?若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2万元万元,生产生产1 件乙件乙种产品获利种产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用
2、哪种生产安排利润最大?32利润利润(万元万元)821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品消消 耗耗 量量资资 源源把问题把问题1的有关数据列表表示如下的有关数据列表表示如下:设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,2841641200 xyxyxy 0 xy4348将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意义的.解解:设甲设甲,乙两种产品分别生产
3、乙两种产品分别生产x,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.2841641200 xyxyxy 将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内区域内所有坐标为整数的点所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务安排生产任务x,y都是有意义的都是有意义的.解解:设甲设甲,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x,y件件,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.yx4843o0 xy4348233zyx M（4，2）142yx max422314Z若设利润为若设利润为z,则则z=2
4、x+3y,2 2z z2 2把把z z=2 2x x+3 3y y变变形形为为y y=-x x+,这这是是斜斜率率为为-3 33 33 3z z在在y y轴轴上上的的截截距距为为的的直直线线,所所以以当当直直线线过过MM点点时时，z z最最大大3 3概念概念 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量它是关于变量x x、y y的一次解析式，的一次解析式，又称线性目标函数。又称线性目标函数。满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。yx4843o 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约
5、束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为问题，统称为线性规划问题线性规划问题。一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式，称为的一次不等式，称为线性约束条件线性约束条件 由所有可行解组成的由所有可行解组成的集合叫做集合叫做可行域可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的的最优解。最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解2841641200 xyxyxy 象这样关于象这样关于x,yx,y一次不等一次不等式组的约束条件称为式组的约束条件称为线性约束线性约束条件条件Z=2x+3yZ=2x+3y称为目标函数称为目标函
6、数,(,(因这里因这里目标函数为关于目标函数为关于x,yx,y的一次式的一次式,又又称为称为线性目标函数线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数在线性约束下求线性目标函数的最值问题的最值问题,统称为统称为线性规划线性规划,满足线性约束的解满足线性约束的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解,所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个的可行解叫做这个问题的问题的最优解最优解变式：变式：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安
7、排利润最大？变式变式1：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利1万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利3万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安排利润最大？2841641200 xyxyxy 0 xy4348133zyx N N（2 2，3 3）142yx 变式变式1：求利润求利润z=x+3y的最大值的最大值.max23 311z 变式变式2：若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利3万元万元，生产一件乙产品获利生产一件乙产品获利2万元万元，采用哪种采用哪种生产安排利润最大？生产安排利润最大？解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（2 2）移：在线性目标函数所表示的一
8、组平行）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有线中，利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线公共点且纵截距最大或最小的直线 ；（3 3）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解；（4 4）答：作出答案。）答：作出答案。（1 1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；练习练习解下列线性规划问题：解下列线性规划问题：1、求、求z=2x+y的最大值，使式中的的最大值，使式中的x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxyxOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=011yyxxyB:(-1,
9、-1)C:(2,-1)Zmin=-3Zmax=3 目标函数：目标函数：Z=2x+y体验体验:二、二、最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得处取得三、在哪个顶点取得不仅与三、在哪个顶点取得不仅与B B的符号有关，的符号有关，而且还与直线而且还与直线 Z=Ax+ByZ=Ax+By的的斜率斜率有关有关一、一、先定先定可行域和平移方向，再找最优解。可行域和平移方向，再找最优解。例例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg食物食
10、物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白蛋白质，质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1kg食物食物B含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，花费脂肪，花费21元。元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物最低，需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白质蛋白质/kg脂肪脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格例题
11、例题解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.010.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标函数为：目标函数为：z28x21y把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo5/75/76/73/73/76/74321zyx 它表示斜率为它表示斜率为随随z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小的值最小。21zM 如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可
12、经过可行域上的点行域上的点M时，截距时，截距最小，即最小，即z最小。最小。K=-2K=-1M点是两条直线的交点，解方程组点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 答答:每天食用食物每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为本为16元。元。例例6 6、要将两种大小不同规格的钢板截成要将两种大小不同规格的钢板截成A A、B B、C C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的
13、块数如下表所示板的块数如下表所示 ：规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A A规格规格B B规格规格C C规格规格2 21 12 21 13 31 1今需要今需要A,B,CA,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515，1818，2727块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。品，且使所用钢板张数最少。解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板x x张、第二种钢板张、第二种钢板y y张，钢张，钢板总数为板总数为Z Z，由题意可得，由题意可得目标函数目标函数z=x+yz=x+y
14、 Nyx0y0 x273yx182yx15y2x、Ax+3y=27x0y2x+y=15x+2y=18x+y=0B(3,9)B(3,9)C(4,8)C(4,8)打网格线法打网格线法 经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是它们是最优解最优解.答答:(:(略略)当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4,但它不是最优整但它不是最优整数解，数解，将直线将直线x+y=11.4x+y=11.4继续向上平移继续向上平移,所以所以zminxy122x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=0直线直线x+y=12x+
15、y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线z z =x+yx+y，B(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A A时时z=x+y=11.4z=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解.作直线作直线x+y=12x+y=12x+y=12解得解得交点交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)调整优值法调整优值法x0y 求线性规划问题的最优求线性规划问题的最优整数解时，需要整数解时，需要调整优值调整优值常用常用打网格线打网格线的方法，这的方法，这要
16、求作图必须精确，线性要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要与其他直线的斜率关系要把握准确。把握准确。例例7 7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t。现。现库存磷酸盐库存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混，在此基础上生产这两种混合肥料。若生产合肥料。
17、若生产1 1车皮甲种肥料的利润为车皮甲种肥料的利润为1000010000元，生产元，生产1 1车皮甲种肥料的利润为车皮甲种肥料的利润为50005000元，计算生产甲、乙两种肥元，计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设解：设x x、y y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，利润为利润为Z Z万元，则由题意得：万元，则由题意得：4 4 x x y y 1 1 0 01 1 8 8 x x 1 1 5 5 y y 6 6 6 6x x 0 0y y 0 0目标函数为目标函数为Z Zx x0.5y0
18、.5y 由图可以看出，当直线由图可以看出，当直线经过经过可行域上的点可行域上的点MM时，时，截距截距z z最大。最大。答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各2 2车皮，能够产生最大利润，车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润为3 3万元。万元。则则Z Zmaxmax1 12+0.52+0.52=32=3xyo4x+y=1018x+15y=66M得得由由 6615y18x10y4xMM点的坐标为（点的坐标为（2 2，2 2）x+0.5y=0练习题练习题2、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为为30003000元、元、2000
19、2000元，甲、乙产品都需要在元，甲、乙产品都需要在A A、B B两种设两种设备上加工，在每台备上加工，在每台A A、B B上加工上加工1 1件甲所需工时分别为件甲所需工时分别为1h1h、2h2h，加工，加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为2h,1h.A2h,1h.A、B B两种设备每两种设备每月有效使用台时数分别为月有效使用台时数分别为400h400h和和500h500h。如何安排生产可。如何安排生产可使收入最大？使收入最大？解：解：设每月生产甲产品设每月生产甲产品x x件，生产乙产品件，生产乙产品y y件，每月收入件，每月收入为为Z Z千元，由题意得：千元，由题意得：x x 2
20、2 y y 4 4 0 0 0 02 2 x x y y 5 5 0 0 0 0 x x 0 0y y 0 0目标函数为目标函数为Z Z3x3x2y2yxyo400200250500当直线经过点当直线经过点MM时，截距最大，时，截距最大，Z Z最大。最大。M解方程组解方程组 50024002yxyx可得可得MM（200200，100100）Z Z 的最大值的最大值Zmax Zmax 3x3x2y2y800800（千元）（千元）答：生产甲产品答：生产甲产品200200件，乙产品件，乙产品100100件，件，收入最大，为收入最大，为8080万元。万元。2400 xy2500 xy 小小 结结 本节主要学习了线性约束下如何求目本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的标函数的最值问题最值问题 正确列出变量的不等关系式正确列出变量的不等关系式,准确准确作出作出可行域可行域是解决目标函数最值的关健是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域线性目标函数的最值一般都是在可行域的的顶点或边界顶点或边界取得取得.把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线,其斜率与其斜率与可行域边界所在直线可行域边界所在直线斜率的大小关系斜率的大小关系一定要一定要弄清楚弄清楚.作业：作业：习题习题3.3A组组 3、4
