1、第第1313章章 全等三角形全等三角形13.4 尺规作图尺规作图第第1 1课时课时 尺规作图尺规作图1课堂讲解课堂讲解u 作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段u 作一个角等于已知角作一个角等于已知角u 作已知角的平分线作已知角的平分线u 经过一已知点作已知直线的垂线经过一已知点作已知直线的垂线u 作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段1.1.尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直 尺这两种工具作几
2、何图形的方法称为尺规作图尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图2 2常见的五种基本作图：常见的五种基本作图：(1)(1)作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；(2)(2)作一个角等于已知角；作一个角等于已知角；(3)(3)作已知角的平分线；作已知角的平分线；(4)(4)经过一已知点作已知直线的垂线；经过一已知点作已知直线的垂线；(5)(5)作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线知知1 1讲讲知知1 1讲讲作一条线段等于已知线段的作法：作一条线段等于已知线段的作法：如图如图13.4-1所示，已知线段所示，已知线段DE，作一条线段等于，作一条线段等于已知线段已知线段DE.图图13
3、.4-1作法：如图作法：如图13.4-1所示所示第一步：先作射线第一步：先作射线AB；第二步：再用圆规在射线第二步：再用圆规在射线AB上截取上截取AC，使，使AC DE，线段，线段AC就是所要作的线段就是所要作的线段知知1 1讲讲 例例1 下列说法正确的是下列说法正确的是()A作直线作直线ABCDB延长直线延长直线ABC延长射线延长射线AB D延长线段延长线段AB导引：直线没有端点，可以向两方无限延伸，不可导引：直线没有端点，可以向两方无限延伸，不可测量故测量故A，B错误；射线只有一个端点，错误；射线只有一个端点，可无限延伸，也可反向延长，故可无限延伸，也可反向延长，故C错误；线错误；线段有两
4、个端点，不可以向两方无限延伸，可段有两个端点，不可以向两方无限延伸，可以测量，故以测量，故D正确故选正确故选D.D知知1 1讲讲 例例2 如图如图13.4-2，已知线段，已知线段a，b(ab)，求作一条，求作一条线段线段AB，使，使AB2(ab)图图13.4-2解：如图解：如图13.4-3，线段，线段AB为所求为所求 图图13.4-3 作法：作法：(1)作射线作射线OP；(2)在射线在射线OP上顺次截取上顺次截取OMMBa；(3)在线段在线段OB上顺次截取上顺次截取ONNAb，则线段，则线段AB就是所求作的线段就是所求作的线段知知1 1讲讲 解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转解答此题的关
5、键是能灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系化线段之间的数量关系2知识点知识点作一个角等于已知角作一个角等于已知角知知2 2讲讲1.作一个角等于已知角的作法：作一个角等于已知角的作法：如图如图13.4-4所示，已知所示，已知AOB，作作AOBAOB.作法：如图作法：如图13.4-5所示所示第一步：作射线第一步：作射线OA第二步：以点第二步：以点O为圆心，为圆心，以适当长为半径作弧，交以适当长为半径作弧，交OA于点于点C，交，交OB于点于点D；图图13.4-4图图13.4-5知知2 2讲讲第三步：以点第三步：以点O为圆心，以为圆心，以OC长为半径作弧，长为半径作弧，交交OA于点于点C；第四步
6、：以点第四步：以点C为圆心，以为圆心，以CD长为半径作弧，长为半径作弧，交交前一条弧于点前一条弧于点D；第五步：经过点第五步：经过点D作射线作射线OB，AOB就是所就是所求的角，如图求的角，如图13.4-5.知知2 2讲讲2作一个角等于已知角的理论依据：作一个角作一个角等于已知角的理论依据：作一个角等于已知角的理论依据是全等三角形的判定方法等于已知角的理论依据是全等三角形的判定方法“S.S.S.”理由如下：如图理由如下：如图13.4-5所示，连结所示，连结CD.由作法的第二、三、四步知，由作法的第二、三、四步知，OCOCODOD，CDCD.OCD OCD(S.S.S.)知知2 2讲讲我们在讨论
7、三角形全等的条件时，曾利用上述两我们在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述两种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分边分别作出别作出 相应的三角形相应的三角形.图图13.4.3这是我们在七年级这是我们在七年级已经学习过的作一已经学习过的作一个角等于已知角的个角等于已知角的方法，你能用学过方法，你能用学过的知识说明为什么的知识说明为什么AOB=AOB吗？吗？知知2 2讲讲 例例3 如图如图13.4-6所示，已知所示，已知，求作求作AOB，使使AOB.图图13.4-6图图13.4-7知知2 2讲讲解：作法：解：作法：(1)分别以点分别以点E，P为圆心、
8、以适当长为半径为圆心、以适当长为半径 画弧，交画弧，交的两边于点的两边于点F，G，交，交的两边于的两边于 点点M，N；(2)作射线作射线OA，以点，以点O为圆心，以为圆心，以EF长为半径画长为半径画弧弧l，交射线，交射线OA于点于点C；(3)以点以点C为圆心，以为圆心，以GF的长为半径画弧，交弧的长为半径画弧，交弧l于点于点H；以点；以点H为圆心、以为圆心、以MN长为半径画弧，在长为半径画弧，在OA的同侧与弧的同侧与弧l交于点交于点Q；(4)过点过点Q作射线作射线OB，则，则AOB就是所求作的角，就是所求作的角，如图如图13.4-7所示所示总总 结结知知2 2讲讲叙述作法时，要注意对方向的描述
9、，以本题为例，叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例，(3)应说明所画的弧与弧应说明所画的弧与弧l的交点在的交点在OA的同侧还是异的同侧还是异侧侧 1 任意画出两个角任意画出两个角1和和2,其中其中1 2,再作一个角，再作一个角，使它等于使它等于1-2.知知2 2练练 2(中考中考宁德宁德)如图，用尺规作图：如图，用尺规作图：“过点过点C作作CN3 OA”，其作图依据是，其作图依据是()4A同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行5B内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行6C同旁内角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行7D同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行知知2
10、 2练练 3知识点知识点作已知角的平分线作已知角的平分线知知3 3讲讲如图如图13.4.4，已知，已知AOB，为已知角，试按下列，为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出步骤用直尺和圆规准确地作出AOB的平分线的平分线.试试一一试试想想看，如想想看，如 何将何将AOB四等分？四等分？知知3 3讲讲第一步：在射线第一步：在射线OA、AB上，分别截取上，分别截取OD、OE.使使 OD=OE；第二步：分别以点第二步：分别以点D和点和点E为圆心、适当长（大为圆心、适当长（大于于 线段线段DE长的一半）为半径作圆弧，在长的一半）为半径作圆弧，在AOB内，内，两弧交于点两弧交于点C;第三步：作射线第三
11、步：作射线OC.射线射线OC就是所要求作的就是所要求作的AOB的平分线的平分线.知知3 3讲讲我们可以证明这样作出来的射线是我们可以证明这样作出来的射线是符合要求的，即符合要求的，即 AOCBOC.如图如图13.4.5,连结连结 EC、DC.OD=OE，DC=EC，OC=OC，OCD OCE(S.S.S.),AOCBOC(全等三角全等三角形的对应角相等）形的对应角相等）.为简化推理格为简化推理格 式，今式，今后只注明主后只注明主 要依据，要依据，省略省略“已已 知知”、“等等量代换量代换”等依据等依据.知知3 3讲讲1.理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全理论根据：作角平分线的理论根据是三
12、角形全等的判定方法：等的判定方法：“S.S.S.”拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线等分线2.易错警示：作角平分线的最后一步易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作过两点作射线射线”时，不能简单地叙述为时，不能简单地叙述为“连结两点连结两点”，连，连结两结两点是线段，角平分线是射线而不是线段点是线段，角平分线是射线而不是线段知知3 3讲讲图图13.4-8图图13.4-9例例4知知3 3讲讲点点 拨拨知知3 3讲讲 知知2 2练练 A知知2 2练练 4知识点知识点经过一已知点作已知直线的垂线经过一已知点作已知直线的垂线知知4 4讲讲1.经过
13、已知直线上的一点作这条直线的垂线：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：如图如图13.4-10所示，已知直线所示，已知直线AB和和AB上一点上一点C，作作AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.图图13.4-10知知4 4讲讲作法：如图作法：如图13.4-11所示所示第一步：作平角第一步：作平角ACB的平分线的平分线CF；第二步：反向延长射线第二步：反向延长射线CF.直线直线CF就是所要求就是所要求作的垂线作的垂线图图13.4-11知知4 4讲讲 2经过已知直线外一点作这条直线的垂线：经过已知直线外一点作这条直线的垂线：如图如图13.4-12所示，已知直线所示，已知直线AB和和AB外一点外
14、一点C，作，作AB的垂的垂线，使它经过点线，使它经过点C.作法：如图作法：如图13.4-13所示所示第一步：以点第一步：以点C为圆心，作能与为圆心，作能与AB相交于相交于D、E两点的弧两点的弧；第二步：作第二步：作 DCE的平分线的平分线CF；第三步：反向延长射线第三步：反向延长射线CF，则直线，则直线CF 就是所要就是所要 求求 作作 的的 垂线垂线图图13.4-12 图图13.4-13知知4 4讲讲 例例5 利用直尺和圆规作一个等于利用直尺和圆规作一个等于45的角的角.作法：作法：1.作直线作直线AB；2.过点过点A作直线作直线AB的垂线的垂线AC;3.作作CAB 的平分线的平分线AD.D
15、AB就是要求作的角（如图就是要求作的角（如图13.4.8所示）所示）知知4 4讲讲 例例6 如图如图13.4-14，已知点，已知点P和直线和直线l，求作点，求作点P关于直关于直线线l的对称点的对称点P.解：如图解：如图13.4-15所示所示作法：作法：(1)过点过点P作直线作直线l的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点O；(2)在线段在线段PO的延长线上截取的延长线上截取OPOP，则点，则点P就是就是点点P关于直线关于直线l的对称点的对称点图图13.4-14 图图13.4-151 如图，点如图，点P在在O的一边上的一边上,试过点试过点P作角两边的垂线作角两边的垂线.知知4 4练练 PO2 下列尺规作
16、图：过直线外一点下列尺规作图：过直线外一点C作直线作直线AB的垂线，的垂线，只要作只要作ACB的平分线即可；作的平分线即可；作ABC的的BC边上的边上的高，只要过点高，只要过点A作直线作直线BC的垂线即可；作的垂线即可；作ABC的的中线中线AD，只要作边，只要作边BC的中垂线即可其中说法不正的中垂线即可其中说法不正确的是确的是()ABCD知知4 4练练 5知识点知识点作已知线段的垂直平分线作已知线段的垂直平分线知知5 5导导如图如图13.4.9，已知直线，已知直线l是线段是线段的垂直平分线，的垂直平分线，则直线则直线l是线段仙的是线段仙的对称轴，对对称轴，对l上的任意两点上的任意两点C、D，通
17、，通过对折可以发现，总有过对折可以发现，总有CA=CB，DA=DB.由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？思思考考图图13.4.9知知5 5讲讲1.作已知线段的垂直平分线作法：如图作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所所示，已知线段示，已知线段 AB,求作线段求作线段 AB 的垂直平分线的垂直平分线图图13.4-16图图13.4-17作法：如图作法：如图13.4-17所示所示第一步：分别以点第一步：分别以点A和点和点B为圆心，大于为圆心，大于AB 的长的长为半径作圆弧，两弧相交于点为半径作圆弧，两弧相交于点C和点和点D；知知5 5讲讲第二步：作直线第
18、二步：作直线CD.直线直线CD就是要求作的线段就是要求作的线段AB的垂直平分线的垂直平分线2作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定判定方法方法“S.S.S.”及等腰三角形的及等腰三角形的“三线合一三线合一”知知5 5讲讲理由如下：如图理由如下：如图13.4-18所示，连结所示，连结CA，CB，DA，DB.ADBD，ACBC，CDCD，ACD BCD(S.S.S.)ACDBCD(全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)CD垂直平分线段垂直平分线段AB(等腰三角形的等
19、腰三角形的“三线合一三线合一”)图图13.4-18知知5 5讲讲 例例7 如图如图13.4-19，已知钝角三，已知钝角三角形角形ABC，其中，其中A是钝是钝角，求作角，求作AC边上的中线边上的中线BD和高和高BH.解：如图解：如图13.4-20所示所示图图13.4-20图图13.4-191 四等分已知线段四等分已知线段AB.知知5 5练练 BA2 (中考中考曲靖曲靖)如图，分别以线段如图，分别以线段AC的两个端点的两个端点A，C为为圆心，大于圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于的长为半径画弧，两弧相交于B，D两两点，连接点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：，以下结论：BD垂直平分垂直平分AC；AC平分平分BAD；ACBD；四；四边形边形ABCD是中心对称图形是中心对称图形其中正确的有其中正确的有()A B C D知知5 5练练 1.1.基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确准确叙述作法，并完成作图叙述作法，并完成作图2 2利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该运用五种基本作图中的哪一种或几种运用五种基本作图中的哪一种或几种
