1、27.1.1 成比例成比例线段线段27.1.2 图形的相似图形的相似人教版-数学-九年级-下册 第二十七章 相似（1）理解并掌握线段的比、成比例线段的概念和相关组成元素。（2）理解并能灵活运用比例的基本性质解决问题。27.1.1 成比例线段成比例线段1.学习目标三如果选用如果选用同一个长度单位同一个长度单位量得两条线段量得两条线段AB,CD的长度分别是的长度分别是m、n；那么；那么这两条这两条线段的比线段的比就是两条就是两条线段的长度线段的长度比。比。）（或记作：nmCDABn:mCD:ABkCDAB)k(knm ，则，则成为比值成为比值令令ABk CD或。其中，线段其中，线段ABAB，CDC
2、D分别叫做这个线段比的分别叫做这个线段比的前项前项和和后项后项。1.线段的比三五边形 ABCDE与五边形ABCDE形状相同，AB=5cm，AB=3cm。请问：线段AB与线段AB的比是多少？注意：1.线段的比是一个正数，无单位;2.线段的比与单位无关;3.线段的比要统一单位长度。这个比值刻画了两个五边形大小关系5=3ABA B 1.已知教室黑板的长 a=3.2 m，宽 b=120 cm，求 a：b。a：b=320：120=8：33 2 081 2 03ab或或：2.一条线段的长度是另一条线段长度的 ，则这两条线段之比是?5 53 333:55或a=3.2m=320cmAB=_AD=_EF=_EH
3、=_EFAB _EHAD _ADAB _EHEF 842 1010222 1052 105EHEFADABEHADEFAB,结论：结论：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，完成下面的填空？对比数据看看你发现了什么？四条线段a，b，c，d中，如果a与与b的比等于的比等于c与与d的比，即：的比，即：,ABADABEFEFEHADEH如：就是两组比例线段）（或（或d:cb:adcba2.成比例线段的概念三那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。abdc1.a,b,c,d叫作组成比例的项。2.a,d叫作比例的外项。3.b,c叫作比例的内项。注意：
4、1.四个值 2.按顺序a:b=c:比例内项比例外项a:b=c:d比例内项比例外项例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a4，b6，c5，d10；线段线段a、b、c、d不是成比例线段不是成比例线段。解解（1），4263ab51102cdacbd，515235（2）a2，b，c，d。例1判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：（1）a4，b6，c5，d10；515235（2）a2，b，c，d。22 555ab2 152 555 3cd（2），acbd，线段线段a、b、c、d是成比例线段是成比例线段。如何快速地判如何快速地判断线段是否成断线段是否成比例？比例？将线段从小到大（或从
5、大到小）的顺序排列，计算第一和第二之比，第三和第四之比，看他们的比值是否相同。1.判断下列线段是否是成比例线段：（1）a2cm，b4cm，c3m，d6m；（2）a0.8，b3，c1，d2.4。:0.8:14:5:2.4:34:5a cd b所以a,c,d,b成比例线段。如果a,b,c,d四个数成比例，即 ，那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？（提示：你可以列举几组比例线段来验证一下。）dcba13261 62 3 由ad=bc,得出 是有条件的,即a,b,c,d都不等于0。dcbadcbabdbcbdadbd0d,c,b,a整理得：得：两边同时除以，都不等
6、于解：解：badcbdaccadbcdababcdacbd 或或或或或或或或或或 左左 右右 右右 左左 右右 左左 左左 右右得得如果两边都除以如果两边都除以cddbca dbcadcba 和和你可以得到别的你可以得到别的比例式吗？比例式吗？dcbadcba1.如果如果，那么，那么adbc。2.如果如果adbc(a、b、c、d都不等于都不等于0),那么那么 。两外项之积两外项之积=两内项之积。两内项之积。左左 右右 右右 左左交叉相乘积相等交叉相乘积相等 右右 左左 左左 右右3.比例的基本性质三1.a，b，c，d 是成比例线段，其中是成比例线段，其中 a=3，b=2，c=6，则则d 的长的
7、长_。2.若若x:6=(5+x):2,则则x=_。是是成成比比例例线线段段d,c,b,a4-7.5dcba d623 即即62d3 4d x56x2 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即 (或 a:b=b:c)，那么线段b叫线段a，c的比例中项。ab=bc特别地，特别地，三种不同形式：a：b=b：c b2=acabcb线段比例中项与数的比例中项是两个不同的概念,前者是一个正数,而后者是一对互为相反数。1.求下列线段a、b的比例中项。（1）a3，b27；2.2和8两数的比例中项_。5 15 1,22ab（2）425 15 1122=1cabc23 27 81=9cabc 22 8 16=4cc
8、 如果选用如果选用同一个长度单位同一个长度单位量得两条线段量得两条线段AB,CD的长度分别是的长度分别是m、n；那么；那么这两条这两条线段的比线段的比就是两条就是两条线段的长度线段的长度比。比。）（或记作：nmCDABn:mCD:ABkCDAB)k(knm ，则，则成为比值成为比值令令ABk CD或。其中，线段其中，线段ABAB，CDCD分别叫做这个线段比的分别叫做这个线段比的前项前项和和后项后项。1.线段的比三四条线段a，b，c，d中，如果a与与b的比等于的比等于c与与d的比，即：的比，即：?,EHEFADAB,EHADEFAB哪哪些些是是比比例例线线段段如如：）（或（或d:cb:adcba
9、2.成比例线段的概念三那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。abdc1.a,b,c,d叫作组成比例的项。2.a,d叫作比例的外项。3.b,c叫作比例的内项。a:b=c:比例内项比例外项a:b=c:d比例内项比例外项dcbadcba1.如果如果，那么，那么adbc。2.如果如果adbc(a、b、c、d都不等于都不等于0),那么那么 。两外项之积两外项之积=两内项之积。两内项之积。左左 右右 右右 左左交叉相乘积相等交叉相乘积相等 右右 左左 左左 右右3.比例的基本性质三谢谢观看！3.能根据多边形相似进行相关的计算。能根据多边形相似进行相关的计算。1.了解相似图形和相似比的概
10、念了解相似图形和相似比的概念.2.理解相似多边形的定义理解相似多边形的定义.学习目标学习目标全等图形全等图形指能够完全重合的两个图形，指能够完全重合的两个图形，观察观察即它们的形状和大小完全相同。即它们的形状和大小完全相同。讲解新知讲解新知【思考】【思考】这两张中国地图的照片有什么关系这两张中国地图的照片有什么关系?【想一想想一想】我们刚才所见到的图形有什么我们刚才所见到的图形有什么相同和不同的地方相同和不同的地方?相同点：相同点：不同点不同点：形状相同形状相同大小不同大小不同 两个图形的形状两个图形的形状 _，但图形的，但图形的大小位置大小位置 _，这样的图形叫做相似，这样的图形叫做相似图形
11、。图形。完全相同完全相同不一定相同不一定相同归纳新知归纳新知（二）图形（二）图形的放大的放大讲解新知讲解新知图形的缩小图形的缩小两个图形两个图形相似相似（三）图形的缩小（三）图形的缩小 两个图形相似，其中一个图形可以两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形看作由另一个图形放大放大或或缩小缩小得到。得到。相似图形的关系相似图形的关系【思考思考】你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？一个与你本人相似？1.在下列图形中，找出相似图形在下列图形中，找出相似图形.巩固练习巩固练习 下图是两个等边三角形，它们相似吗下图是两个等边三角形，它们
12、相似吗?它们的对应角、它们的对应角、对应边分别有什么关系对应边分别有什么关系?BCABCAA=AB=BC=CCAACCBBCBAAB两个两个等边三角形相似等边三角形相似,它们的它们的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.讲解新知讲解新知【思考】【思考】下图是两个正六边形，它们相似吗下图是两个正六边形，它们相似吗?它们的它们的对应角、对应边分别有什么关系对应角、对应边分别有什么关系?两个两个正六边形相似正六边形相似,它们的它们的对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例.从上述两个问题的探索中你能得到什么结论从上述两个问题的探索中你能得到什么结论?两个边数相等的正多边形相似两个边数
13、相等的正多边形相似,且且对应角相等对应角相等、对对应边成比例应边成比例.任意两个相似三角形任意两个相似三角形,它们的对应角相等吗它们的对应角相等吗?对对应边成比例吗应边成比例吗?【结论结论】任意两个任意两个相似三角形相似三角形,它们的它们的对应角相等对应角相等!对对应边成比例应边成比例!图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？应边之间是否有以上的关系呢？对应角之间又有什么关系？【结论结论】任意任意两个相似多边形两个相似多边形,它们的它们的对应角相等对应角相等!对应边对应边成比例成
14、比例!各角分别相等、各边成比例的两个多边形各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做叫做相似多边形相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似多边形的对应边的比叫作相似比相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似比相似比：相似多边形的相似多边形的特征特征：相似多边形的相似多边形的定义定义：归纳新知归纳新知 例例1 如图，四边形如图，四边形 ABCD 和和 EFGH 相似，求角相似，求角，的的大小和大小和EH的长度的长度 x.DABC1821788324GEFHx118（五）利用（五）利用相似多边形的定义求线段、角的值相似多边形的定义求线段、角的值讲解新知
15、讲解新知在四边形在四边形ABCD中，中，360(7883118)81.C83，AE118.解：解：四边形四边形 ABCD 和和 EFGH 相似，相似，它们的对应角相等由此可得它们的对应角相等由此可得DABC1821788324GEFHx118 四边形四边形ABCD和和EFGH相似，相似，它们的对应边它们的对应边成成比比例，例，由此可得由此可得解得解得 x 28.242118xEHEFADAB，即即 .DABC1821788324GEFHx1182.如图所示的两个五边形相似，求未知边如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的的长度长度532cd7.5ba69解：解：相似多边形的对应边的比
16、相等，由此可得相似多边形的对应边的比相等，由此可得7.535b67.55c97.55d7.525a ，解得：解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边所以未知边a，b，c，d的长度分别为的长度分别为3，4.5，4，6.巩固练习巩固练习D2.若一张地图的比例尺是若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得甲、乙，在地图上量得甲、乙两地的距离是两地的距离是 5cm，则甲、乙两地的实际距离是，则甲、乙两地的实际距离是（）A.3000 m B.3500 m C.5000 m D.7500 mD 1.下列说法正确的是下列说法正确的是 （）A小明上幼儿园时的照片和初中毕业小明上幼儿园时的
17、照片和初中毕业 时的照片相似时的照片相似.B商店新买来的一副三角板是相似的商店新买来的一副三角板是相似的.C所有的课本都是相似的所有的课本都是相似的.D国旗的五角星都是相似的国旗的五角星都是相似的.课堂检测课堂检测3.如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？相似比是多少？GFEH1.51ADCB32解：解：矩形矩形ABCD相似于矩形相似于矩形EFGH因为它们的对应角相等，对应边成比例因为它们的对应角相等，对应边成比例.相似比为相似比为:.:.4.观察下面的图形观察下面的图形(a)(g)，其中哪些是与图形其中哪些是与图形(1)、(2)
18、或或(3)相似的相似的？5.判断判断下边的两个多边形是否相似？下边的两个多边形是否相似？3正方形正方形344菱形菱形解解:正方形，菱形的四条边都相等正方形，菱形的四条边都相等.它们的对应边成比例，它们的对应边成比例，k=3:4.正方形的四个内角均为直角，正方形的四个内角均为直角，而菱形的内角有钝角有锐角而菱形的内角有钝角有锐角.它们的对应角不相等它们的对应角不相等.这一组图形这一组图形不相似不相似.6.如如图，把矩形图，把矩形 ABCD 对折，折痕为对折，折痕为 EF，若矩形，若矩形ABCD 与矩形与矩形 EABF 相似，相似，AB=1 ABCDEF解：解：E 是是 AD 的中点的中点，112
19、2AEADBC .又又矩形矩形 ABCD 与与矩形矩形 EABF相似，相似，AB=1，ABBCAEAB AB2=AEBC，.2112BCBC解得解得2.BC（1）求）求BC长；长；（2）求矩形求矩形 ABFE 与矩形与矩形 ABCD 的相似比的相似比.ABCDEF解：解：矩形矩形 ABEF 与矩形与矩形ABCD 的相似比为：的相似比为：12.22ABBC相似图形相似图形形状相同的图形叫做形状相同的图形叫做相似图形相似图形 相似图形的大小不一定相同相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似多边形对应边的比叫做相似比相似比对应角相等，对应边成比例对应角相等，对应边成比例图形的相似图形的相似相似多边形相似多边形总结新知总结新知
