1、高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册数列专项突破2第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知数列的前项和,若不等式,对恒成立,则整数的最大值为( )A2B3C4D52已知是各项均为正整数的数列,且,对,与有且仅有一个成立,则的最小值为( )ABCD3已知函数,若,则的最小值为( )ABCD4如图,已知直线与曲线相切于两点,相交于点,三点的横坐标分别为,记,以下判断正确的是( )A为的极大值点,为的极小值点,不是的极值点B为的极小值点,为的极大值点,不是的极值点C为的极小值点,不是的极值点D为的极大值点,不是的极值点5已知函数,在区间(0,1)内任取两个实数,且,若不等式
2、恒成立,则实数a的取值范围是ABCD6已知数列满足:,则下列说法正确的是( )A一定为无穷数列B不可能为常数列C若,则可能小于1D若,则二、多选题7对函数进行研究后,得出以下结论,其中正确的有( )A函数的图象关于y轴对称BC函数的图象与轴有无穷多个交点,且每相邻两交点间距离相等D对任意常数,存在常数,使函数在上单调递减,且8关于函数,下列说法正确的是( )A对,恒成立B对,恒成立C函数的最小值为D若不等式对恒成立,则正实数的最小值为第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知函数若且的最大值为4,则实数a的值为_10已知函数(其中,),当时恒成立,则的取值范围为_.11已
3、知,对任意的,不等式恒成立,则的最小值为_.12对任意的,不等式恒成立,则的最小值为_.四、解答题13已知.(1)证明:是上的增函数,(2)若,且,证明:.14已知函数(e为自然对数的底数)(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数有且仅有两个零点,求实数m的取值范围15设函数(1)求函数的单调区间;(2)若函数有两个不同的零点,为的导函数,求证:16已知函数(1)若函数有两个极值点,求的取值范围;(2)证明:若,则对于任意的,有试卷第3页,共3页参考答案1B【分析】由求得,再由得出数列是等差数列,求得,用分离参数法变形不等式,即可得解【详解】当时,得,当时, , 即,所以又,所以数列是以2为
4、首项,1为公差的等差数列,即,所以不等式等价于当时,当时,记,所以时,即,递减,时,所以的最大项是,所以,所以整数的最大值为3故选:B【点睛】关键点点睛:本题考查求数列的通项公式,考查数列不等式恒成立问题,解题的关键是问题的转化,不等式恒成立转化为求数列的最大项,考查学生的转化与化归能力,运算求解能力,属于较难题.2B【分析】令,由题设易知或有一项为1,则,判断各项取值情况,进而求的最小值.【详解】当满足时,令,则或有一项为1,而,又是各项均为正整数的数列,此时的最小值为,当满足时,时,因为,所以的最小值为20故选:B.3C【分析】由已知条件可推得,即有,结合目标式化简可得,令,利用导函数研究
5、其单调性并确定区间最小值,即为的最小值.【详解】由题意,得,即,又,得在上单调递增,综上知:,令,则,得;,得;故在上单调递减,在上单调递增.,故选:C【点睛】关键点点睛:根据条件的函数关系确定参数的等量关系,结合目标式化简并构造函数,应用导数研究函数的单调性,进而确定区间最小值.4B【详解】由题意可知 在A、B点直线与曲线相切,所以由图像可知当时, ,为减函数当附近时,为增函数,所以在处取得极小值;在左右两侧成立,所以在处没有极值;当附近时,为增函数当时,为减函数,所以在处取得极大值故选:B5D【详解】分析:根据给出不等式关系,并变形得到,进而构造,根据所给条件判断出的单调性;通过分离参数法
6、,确定 在恒成立条件下的取值范围详解:由已知可得 令 ,则有因为 所以又因为所以在上为单调递增函数在上恒成立即 恒成立,令 在上为单调递增函数,所以所以 ,即 的取值范围为所以选D点睛:本题考查了函数与导函数的综合应用,通过构造函数法建立联系通过分离参数求参数取值范围,进而转化为求函数的取值范围综合性强,属于难题6D【分析】对两边取倒数得,再利用构造数列法得,可知是以为首项,公比为的等比数列,利用等比数列通项公式可以求得,再依次对选项判断,得到正确答案.【详解】对两边取倒数得,又,所以数列是以为首项,公比为的等比数列,对于A,由于n未知,不能确定是有限数列还是无限数列,故A错误;对于B,当时,
7、此时为常数列,故B错误;对于C,当时,即,所以一定小于1,故C错误;对于D,当时,即,又,;,即,所以,故D正确.故选:D.【点睛】方法点睛:求数列通项公式常用的方法:(1)由与的关系求通项公式;(2)累加法;(3)累乘法;(4)两边取到数,构造新数列法.7ABD【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确;构造函数,求导判断单调性,进而求得最值可判断B;由的图象与轴的交点坐标为且可判断C;求导分析时成立的情况,即可判断选项D,进而可得正确选项.【详解】对于A:因为函数的定义域为,所以为偶函数,图象关于轴对称,故选项A正确;对于B:由A知为偶函数,当时,若即只需证,令,因为,所以,所以在上单调递增,
8、所以,即,所以恒成立,故选项B正确;对于C:令,可得,所以函数的图象与轴的交点坐标为且,交点与间的距离为,而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误;对于D:,即,即,当时,区间长度为,所以对于任意常数,存在常数,使在上单调递减且,故选项D正确;故选:ABD.【点睛】方法点睛:利用导数研究函数单调性的方法:(1)确定函数的定义域;求导函数,由(或)解出相应的的范围,对应的区间为的增区间(或减区间);(2)确定函数的定义域;求导函数,解方程,利用的根将函数的定义域分为若干个子区间,在这些子区间上讨论的正负,由符号确定在子区间上的单调性.8ABD【分析】利用导数证明恒成立,判断A,A中不等式绝
9、对值变形的转换可判断B,利用导数求出函数的最小值判断C,把不等式进行变形转化为不等式恒成立,然后求得的范围判断D【详解】设,时,递减,时,递增,所以,所以,即恒成立,A正确;在中令,则,再令得,B正确;设,定义域为,定义域内恒成立,令是增函数,所以在即在上存在唯一零点,时,即,递减,时,即,递增,所以,C错;不等式为,所以,即,令,则,时,递减,时,递增,因为,所以,因此不等式恒成立,则恒成立,即,设,时,递增,时,递减,所以,所以,即的最小值是,D正确故选:ABD【点睛】本题考查用导数研究函数的性质,研究不等式恒成立问题,解题关键是掌握导数与函数单调性的关系,深深需要不断求导才能确定函数的单
10、调性与极值这是问题的难点所在,解题过程中需要不断引进新函数,研究新函数的单调性、极值点、零点等性质,本题属于困难题9【分析】先分析分段函数每段的单调性,从而确定的分布情况,然后根据消去一个变量,将目标表示成新的函数,再研究新的函数的单调性和最大值即可【详解】不妨设,当时,则有:故当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;当时,在上单调递增.可得:,根据的分布情况讨论如下:当均分布在时,则有:故此时的最大值不可能为4,而当时,又是单调递增的,故分布在上,分布在上.由,可得:故有:设()对求导可得:对求导可得:可得:,则在区间上单调递减又,则有:当时,即在区间上单调递增;当时,即在区间上单调递减.故
11、在处取得极大值,此时极大值为的最大值则有:根据题意知,解得:故答案为:【点睛】导函数问题中,注意分类讨论与数形结合思想的应用,常将问题转化为函数的单调性、极(最)值问题处理,有时候需要多次求导才能得出函数的单调性10【分析】将拆分为、分别研究单调性,令可得,讨论该方程、情况下参数a、b、c的关系或范围,进而利用导数求目标式的范围.【详解】令,则,时,时,在上递减,在上递增,故,若,则在上递减,在上递增,令,即,1、即时,在上的两个零点为,同时它们恰好为的零点,即,又,则,此时,令,则,递减且时,则,故.2、,即时,在上,此时只需即即可.此时,令,则,即在递减,而,故.综上,【点睛】关键点点睛:
12、要使题设问题成立,研究、在上的乘积恒为非负数求参数范围或关系,进而求目标式范围.11【分析】将已知转化为对于任意,恒成立,利用同构思想,构造函数,将不等式转化为,再结合函数的单调性转化为恒成立,利用参数分离,构造函数即可得解.【详解】对于任意,不等式恒成立对于任意,即恒成立当时,;当,设,则,所以在上单调递增,由,知,即,即设,求导令,得当时,单调递减;当时,单调递增;在处取得极大值,且为最大值, 所以时,不等式恒成立故答案为:【点睛】关键点点睛:本题主要考查了函数的恒成立问题,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用,利用导数研究函数的极值与最值,着重考查了函数的构造思想、等价转化思
13、想与导数在函数中的综合应用,本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为,再利用函数的单调性及求参方法求解.12【分析】根据不等式恒成立,构造,有,利用二阶导数研究单调性,再讨论、时的单调性,进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式,将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题,求的最小值即可.【详解】令,则,即,单调递增,当时,即在上递减,而当时,故不满足;当时,若得,即,时,即递减;当时,即递增;若令,即,则:当,即,恒成立;情况下最小,即直线与曲线相切,而,时,有,则;当,即,得,情况下最小,即直线与曲线相切,而,时,有,则;综上:,即的最小值为.故答案为:.【点睛】关键点点睛:根据不等式恒成
14、立,利用导数、分类讨论的方法判断单调性,并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系,由所得条件中代数式的几何含义求最小值13(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)求出函数的导函数,证明导函数在上大于等于零恒成立即可;(2)要证,只须证,即证,根据,得,只需证当时,只需证,令,只要证明函数为增函数即可.(1)证明:,是上的增函数;(2)证明:要证,只须证,即证,由,且函数单调递增,若,必有,此时,若,必有,此时,由上知若,必有,又当时,故只需证当时,而,故只需证,令,则,故,故为增函数,而,且,知,故,可得,所以.【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题,考查
15、了学生的逻辑推理能力及数据分析能力,考查了转化思想,属于难题.14(1)单调增区间;单调减区间(2)【分析】(1)导函数大于0,单调递增,导函数小于0,单调递减;(2)对变形,换元,消去后,变为只需,求导后研究其单调性,最终求得t的取值范围,进而得到m的取值范围.(1),解得:,定义域为,且单调递增,令:,当时,单调递减;当时,单调递增,所以当时,函数单调增区间为;单调减区间为.(2),定义域为,设,易知:,且单调递增,存在,使,即,且在上小于0,在上大于0,故,因为当时,当时,要想函数有且仅有两个零点,则只需,因为,所以,所以,令,故单调递减,且,要想,则要满足,由单调递增,可知,所以,实数
16、m的取值范围是.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.15(1)当时,的单调递增区间为R,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为(2)证明见解析【分析】(1)求导,
17、对参数分类,讨论的正负,研究函数的单调性;(2)由已知,且,则,进而得到 ,构造函数判断函数的单调性知,进而得到,再判断,即可证得结论.(1)由题可得,当时,函数的单调递增区间为R,无单调递减区间;当时,令,得,令,得,所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为综上,当时,的单调递增区间为R,无单调递减区间;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为(2)因为函数有两个不同的零点,所以,且,消去,得设,则,所以设,则,所以在上单调递增,所以,故,所以,所以又,设,则,所以在上单调递增,所以,故,所以【点睛】方法点睛:本题考查研究函数的单调性及构造函数证明不等式,解含参数的不等式,通常需要从几个方面分
18、类讨论:(1)看函数最高次项系数是否为0,需分类讨论;(2)若最高次项系数不为0,通常是二次函数,若二次函数开口定时,需根据判别式讨论无根或两根相等的情况;(3)再根据判别式讨论两根不等时,注意两根大小比较,或与定义域的比较.16(1),(2)证明见解析【分析】(1)函数有两个极值点,即导数方程有两个根,结合一元二次方程的知识即可求解;(2)构造函数,结合其单调性即可证明.(1)由题意知,因为函数有两个极值点,所以有两个不等的正根,即有两个不等的正根,所以,解得,所以的取值范围是,(2)构造函数,则由于,故,即在上单调递增,从而当时,有,即,故;当时,同理可证综上,对于任意的,有【点睛】关键点:(1)将函数极值点问题转化为导数方程的根的问题,结合一元二次方程的知识即可求解;(2)构造函数,利用导数判断其单调性,结合单调性即可证明.答案第17页,共18页