1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练5第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）ABCD2已知xR，符号表示不超过x的最大整数，若函数(x0)有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）ABCD3已知，设函数，若对任意的实数，都有在区间上至少存在两个零点，则（ ）A，且B，且C，且D，且4设，函数，若在区间内恰有6个零点，则的取值范围是（）ABCD5已知函数，则方程的解的个数是（ ）A3B4C5D66已知函数与零点完全相同，则（ ）ABCD二、多选题7已知函数，则（ ）A对任意的，函数都有零点.B当时，对，都
2、有成立.C当时，方程有4个不同的实数根.D当时，方程有2个不同的实数根.8已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）A1B2C3D4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围_.10已知函数，若当方程有四个不等实根，（）时，不等式恒成立，则实数的最小值为_.11已知，关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的最大值是_12在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F.设M是抛物线上的动点，则的最大值为_.四、解答题13设，函数（1）若，判断并证明函数的单调性；（2）若，函数在区间上的取值范围是，求的范围14（1）
3、定义在R上的奇函数，当时，.另一个函数的定义域为，值域为，其中，.在，上，.求，.（2），二次函数在上与轴有两个不同的交点，求的取值范围.15已知函数，（1）当时，求函数的值域；（2）若关于的方程有两个不等根，求的值；（3）已知存在实数，使得对任意，关于的方程在区间上总有个不等根，求出实数的取值范围16已知，函数（1）若，求实数a的取值范围；（2）设函数，讨论函数的零点个数试卷第3页，共3页参考答案1B【分析】作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.【详解】作出函数的图象如图所示令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，不妨
4、设，则解得，故的取值范围为，故选B【点睛】形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围2B【分析】首先将函数的零点问题转化为图像交点问题，接着分析函数的图像，最后根据数形结合进行解题.【详解】解：由得=a，设g(x)=，则当0x1，x=0，此时g(x)=0，当1x2，x=1，此时，此时，当2x3，x=2，此时g(x)=，此时，当3x4，x=3，此时，此时，当4x5，x=4，此时，此时，当5x6，x=5，此时，此时，当6x7，x=
5、6，此时，此时，同理可得的解析式，作出函数g(x)的大致图象，要使f(x)=a有且仅有4个零点，即函数g(x)=a有且仅有4个零点，则由图象可知或，故选：B.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点3B【分析】首先分别求出每一段的零点，再对进行分类讨论，
6、根据已知建立不等式组，进而求得结果.【详解】，若，则或，若，则；当时，与一定是函数的零点，满足题意；当时，可能的零点是与，因为至少存在两个零点，所以，而，所以.故选：B.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.4C【分析】分，两种情况讨论，当时，且
7、时，有4个零点；，有5个零点；，有6个零点；当时，即，有两个零点；当时，即，有1个零点；当时，有一个零点，综合两种情况，即可求解【详解】在区间内恰有6个零点又二次函数最多有两个零点，当时，至少有四个根，令，即，又，即，当时，有4个零点，即，有5个零点，即，有6个零点，即，当时，解得，当时，无零点，当时，有1个零点，当时，（a），的对称轴，即（a）在对称轴的左边，当时，即，有两个零点，当时，即，有1个零点，综合可得，若函数在区间内恰有6个零点，则需满足：或或，解得故选：C【点睛】本题考查了余弦函数和二次函数，分类讨论解题是关键，且本题综合性强，属于难题5B【分析】先分析的函数性质，然后作出的图象
8、，根据图象的交点数判断方程的解的个数.【详解】当时，是增函数，且，是上的减函数，经过点和，又因为当时，所以在、上的图象与上的图象相同，在同一平面直角坐标系下作出的图象如图所示：由图象可知，的图象共有个交点，所以方程的解的个数是，故选：B.【点睛】思路点睛：求解方程根的数目问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.6C【分析】分类讨论的零点情况，特别地当有两个零点时，利用韦达定理结合零点定义，求得参数，再根据单调性以及零点存在定理，确定零点的分
9、布区间，据此再求的范围，则问题得解.【详解】对，当时，只有一个零点.当时，令，可得，而此零点不满足定义域，故舍去；当时，令，可得，同理此零点不满足定义域，故舍去；对，当或时，有两个零点，不妨设为显然，又定义域为，故要满足题意，则两零点为正数且不为1，故.又是的零点，故可得：，对上述两式相加，即可得：，整理可得：，故可得.此时：，因为在区间都是单调递增函数，故也是单调增函数.且当时，；当时，；故的一个零点在区间上；又，故的另一个零点在区间上；则的零点分布亦要满足上述两个区间.即可得：，解得，故故选：.【点睛】本题考查零点存在定理的应用，涉及函数单调性的判断，以及函数零点所在区间的求解，属综合困难
10、题.7AC【分析】讨论的取值范围即可判断函数零点个数，可判断A；当时，由指数函数与二次函数的单调性可判断B；当时，令，由得或，结合图象可判断C；当时，方程，则，结合图象可判断D【详解】当时，；当时，；所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，时，函数只有个零点，故A正确；当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；当时，令，由得或，作出函数的图象如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；所以方程有4个不同的实数根，故C正确；当时，方程，则，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误故选：AC8AD【分析】令，则，再令，可得，作出函数与图象观察其交点的横坐标，即得的值，
11、然后再在同一坐标系中作出函数和的图象观察其交点的横坐标，即可得函数的零点个数.【详解】令，则，令，即，所以，所以的解，即为函数与图象交点的横坐标，由图可知：当时， 方程的解为，即，在同一坐标系中作出函数和，的图象，由图可知函数和，有4个交点，所以函数有4个零点.当时， 方程的解为，即，在同一坐标系中作出函数和的图象， 由图可知函数和有1个交点，所以函数有1个零点.故选：AD【点睛】方法点睛：形如型的嵌套函数，为常数，令，通过换元解套后，将复合函数零点问题转化为两个简单方程解的个数问题，先由方程解出的值或范围，在代入方程，数形结合即可求解.9【分析】先作出函数的图象，设，则恰有5个不同的实数根，
12、根据函数图象，分 ， ， ， ， ， ，讨论求解.【详解】作出函数的图象如图所示：设，则恰有5个不同的实数根，当时，无解，不符合题意，当时，有唯一解，此时，解得有一解，不符合题意，当时，有三解，此时，无解，有三解，无解，共三解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，无解，共三解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，有一解，共四解，不符合题意，当时，有两解，此时，有三解，有两解，共五解，不符合题意，当时，有唯一解，此时，有两解，不符合题意，当时，无解，不符合题意.综上：实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.10【分析
13、】根据分段函数性质画出的图象，结合题设，应用数形结合及对数函数的性质可得，再应用参变分离有恒成立，构造，利用换元法结合基本不等式求最值，即可求的最小值.【详解】当时，如下图示：对应A、B、C、D的横坐标，由，故，则，由分离参数得：，设，令，则，则，再令（）则，（当且仅当时取“=”），即，即实数的最小值为.故答案为：.118【分析】先作出函数图像，再根据 a,b的正负性，结合函数图象讨论求解.【详解】作出的函数图象如图所示：（1）若，则，当时，无解；当时，由图象可知不可能只有一个整数解；当时，若只有一个整数解，由图象可知此整数解必为又（3），（4），故而，即（2）若，由可得，由图象可知有两个整数
14、解，至少含有两个整数解，不符合题意综上，的最大值为8故答案为：8【点睛】关键点睛：根据的正负性，结合函数图象，运用分类讨论思想和数形结合思想进行求解是解题的关键.12【分析】设,设到准线的距离等于,由抛物线的定义得,化简为，令,利用方程有解即可解得的最大值.【详解】因为焦点,设,则,设到准线的距离等于,则由抛物线的定义得 ,令,则,当时,;当时, 有解的充要条件为:,即, ,此时.故答案为: .【点睛】本题考查抛物线的定义及性质,考查学生的转化与划归的能力,难度较难.13（1）函数是增函数，证明见解析；（2）.【分析】（1）根据，函数为R上的单调递增函数，然后根据单调性的定义进行证明；（2）根
15、据题意及指数函数的单调性可得，分，讨论，结合函数在相应区间的单调性，应用一元二次方程，不等式组求的范围.（1）当时，因为，所以，所以函数的定义域为，结论：函数是增函数证明：设对任意的，且，则，因为，所以，即又因为，所以,所以，即证（2）因为，所以，从而又由知，所以，因为，所以或当时，由（1）知，函数是增函数因为函数在区间上的取值范围是，所以，即，从而关于的方程有两个互异实根令，则，所以方程有两个互异正根，所以从而当时，函数在区间，上均单调递减,若，则，于是，这与矛盾，故舍去；若，则，于是即，所以，两式相减并整理得，又，故，从而因为，所以综上，的范围是【点睛】关键点点睛：（1）根据函数单调性的定
16、义证明函数的单调性；（2）由给定区间及其值域，结合函数的单调性，构造方程将问题转化为二次函数根的分布及有解问题求范围.14（1）或；（2）.【分析】（1）先求出的解析式并作出图象，根据题意得到，进而可知的图象在第一或第三象限内，然后分和两大类分别求出函数的最值，进而解得a,b；（2）求出并结合根与系数的关系，然后通过基本不等式求得答案.【详解】（1）容易求出奇函数的解析式为：函数的定义域为，值域为，其中，这表明，则，也就是说的图象在第一或第三象限内.根据的图象可知，函数的图象如所示曲线的一部分：由图中看出，当时，考虑以下三种情况：，,.如果，,那么.但是时，这与的值域的右端点大于1矛盾.若，由
17、图看出是减函数，可见，考虑到的条件，解之得：.当时，考虑以下三种情况：，,，若或，则.但是时，若，由图可知是减函数，可见，考虑到的条件，情况下通过值域条件得出.综上：或.（2）设二次函数的零点为，且，则，而不成立，所以.15（1）；（2）；（3）【分析】（1）将函数化简再根据单调性即可得函数的值域；（2）根据的解析式，将代入化简，即可得到的值.（3）令，根据得出的取值范围，由题意可得关于的方程在区间有两解，且有两个不等根，只有一个根，列出不等式组得出的范围.【详解】（1）在区间上严格减，而，故函数的值域为（2）因为在单调递减，在单调递增， ，则有，即故，所以（3）令，由（1）知令，因为在单调减
18、，在单调递增，且，则当时，方程有两个不等根，由（2）知，且两根之积为1；当时，方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1.令，由二次函数与的图象特征，原题目等价于：对任意，关于的方程在区间上总有2个不等根，且有两个不等根，只有一个根，则必有或且，当时，结合二次函数的图象，则有，解之得，当且，则，此时无解.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查的是利用函数的单调性求函数值域，以及对数函数方程的零点以及复合函数零点的求法，解题的关键是确定方程有且只有一个根且此根在区间内或者为1，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，考查学生的分析问题解决问题的能力，是难题.16（1）a的取值范围为（2）见详解【分析】（1）根据单调性直接解对数不等式即可；（2）将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，去掉对数符号转化为内层函数在x轴上方的交点个数问题，然后求出交点讨论即可.（1），即所以a的取值范围为.（2）函数有几个零点有几个根函数与有几个交点函数与有几个交点函数与在x轴上方有几个交点.1）当时，易得交点坐标，满足题意，故函数此时有一个零点；2）当时，解方程组得，满足题意，故函数此时有一个零点；3）当且时，解方程组得，若且且时，且，故函数此时有两个零点；若时，故函数此时有一个零点；若时，故函数此时无零点.答案第19页，共20页
