1、高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化1第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1在中，角，的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）ABCD2中，若，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）ABCD3若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）A1BCD24在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）ABCD5已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为AB2C4D66已知平面向量，（与不共线），满足，设，则的取值范围为（ ）ABCD二、多选题7已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）A若，则B若，且，则C若直线过
2、的中点，则D8在中，其中，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知A、B、C、D是单位圆上的四个点，且A、B关于原点对称，则的最大值是_10如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是_（填上所有正确命题的序号）；当点为中点时，；若，则点有且只有一个；的最大值为；的最大值为11如图，在中，若为内部的点且满足，则_12已知向量满足，则的最大值是_四、解答题13三角形的内角所对的边分别是，且（1）若三角形是锐角三角形，且，求的取值范围；（2）若，求三角形的面积14
3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，（）.（1）若，且，求；（2）若向量与向量共线，当，且的最大值为2时，求.15在锐角中，角、的对边分别为、，若，（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的最大值16如图，某人身高，他站的地点和云南大理文笔塔塔底在同水平线上，他直立时，测得塔顶的仰角（点在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进到达点，在点直立时，测得塔顶的仰角：塔尖MN的视角（是塔尖底，在线段上）.（1）求塔高；（2）此人在线段上离点多远时，他直立看塔尖的视角最大？说明理由.参考数据： ，.试卷第3页，共4页参考答案1A【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可
4、求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知，即由正弦定理化简得即故选：.【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，；（2）角化边： 利用正弦定理：，利用余弦定理：2A【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、，然后根据、三点共线以及、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，所以，设，因为、三点共线，所以，因为，、三点共线，所以，联立，解得，因为，所以，因为，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面
5、直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，体现了数形结合思想，是难题.3C【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解【详解】解：的面积，且，根据余弦定理得：，即，可得，则，解得：，即边的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.4B【分析】设AD交BC于E，然后根据条件得到点E的位置，进而根据向量关系得到线段间的比例，最后得出面积比.【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得： ，.设，则，.
6、又，.故选：B.5B【分析】作出平面向量的几何表示，用表示出即可得出结论【详解】解：设，以，为邻边作平行四边形，由题意可知，过作，则的最小值为，设，则，故选：B6A【分析】设，由已知条件判断出，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则，得，再由得，设，求出范围可得答案【详解】设，则，所以，即是等腰直角三角形，以为坐标原点，所在的边为轴的正半轴建立平面 直角坐标系，如图，则，因为，所以，因为，所以，所以，两式相加得，所以，因为，所以设，所以，因为不共线，所以不共线，所以，所以，所以，故选：A.7AB【分析】由，即可判断A；将两边平方可得的值，再结合即可判断B；
7、设的中点为，则再结合即可得之间的关系可判断C；取点使得，则点为的重心，可得，再利用三角形面积公式即可求，即可求得，即可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若，则，因为，代入可得即，所以，可得，故选项A正确；对于B：若，则，所以所以，即，所以，可得，所以，故选项B正确；对于C：设的中点为，则若直线过的中点，则存在实数满足，即，所以，所以，所以不一定，故选项C不正确；对于D：取点使得，则，所以点为的重心，因为重心到中点的距离等于中线的，所以重心到的距离等于高线的，可得，同理可得，所以，所以，同理可得：，所以，故选项D不正确；故选：AB.【点睛】结论点睛：若点O为所在平面内一点，且，则.8AD
8、【分析】当时，再把用表示可判断A；当时是边长为4的等边三角形，由可判断B；当时，两边平方化简可判断C； 当时，计算出，由向量夹角公式可判断D.【详解】因为，所以与的夹角为，当时，故A正确；当时，所以是边长为4的等边三角形，所以B错误；当时，所以，所以，故C错误； 当时，所以，所以，因为，所以，故D正确.故选：AD.9【分析】建立平面直角坐标系，设，用向量数量积的坐标表示表示出来，再根据三角恒等变换以及二次函数的性质即可求出.【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：设，所以，当且仅当且时取等号故答案为：【点睛】思路点睛：本题主要考查数量积的运算，涉及有关平面向量数量积运算的最值问题，一般通过解析法
9、解决，根据题目条件引入参数，用三角函数定义表示出点的坐标，再根据三角恒等变换转化为函数的值域问题，变形难度较大，考查学生综合运用知识的能力10【分析】建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点的坐标的有关问题，即可逐一作出判断.【详解】建立如图所示的坐标系，则，故，=.设点的坐标,则，易得.由的运行轨迹可知，所以，故正确；当点为中点时，,，故正确；由时，直线经过，与线段交于点,使得的点有两个，故错误；，显然当直线平行移动，经过点时取得最大值3,故正确.由于在的方向上的投影在与重合时取得最大值，此时取得最大值，故正确11【分析】根据已知的向量关系先分析出，然后通过设，根据相似三角形以
10、及正弦定理找到的关系，从而可求解出的结果.【详解】因为，所以， 所以，所以，所以，所以，即，同理可知：，不妨设，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以；在中，所以，所以，又在中，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的点要注意和“内心”作区分.128【分析】设,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，建立直角坐标系，作矩形OADB,根据矩形的性质，转化为，利用向量共线取得最大值.【详解】平面向量满足设,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，
11、建立直角坐标系，作矩形OADB,根据矩形的性质，而，所以, 25+25=1+CD2，所以CD=7.由,当O,C,D共线的时候成立.故答案为:8.【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理13（1）；（2）.【分析】（1）先利用得出，再解出，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围；（2）利用余弦定理将化为关于三边的关系式，代入，解出，然后再设法求其面积.【详解】又，且都为锐角，故，又，所以又，所以，得，所以，故.（2）由余弦定理得，代入，整理得：，解得：则为直角三角形，面积为
12、.【点睛】本题考查解三角形中的综合问题，考查学生的计算能力，最值、取值范围问题的分析与处理能力，难度较大. 解答时，要注意利用余弦定理进行边角互化，取值范围问题要设法表示出所求量满足的关系式，然后利用函数的性质或不等式等求解.14（1）或；（2）8.【分析】（1）由两个向量垂直和模相等得出两个等式，解出a，b，进一步求模即可.（2）由向量共线得出等式，进一步得出，从二次函数的角度确定最大值，从而得出，进一步解出即可.【详解】（1），.又，.或，或. （2）.与向量共线，. ，当时，取最大值.由，得，此时，.15（1），；（2）.【分析】（1）根据得出，然后根据角是锐角得出，最后根据正弦定理与余
13、弦定理对进行转化，即可得出结果；（2）由正弦定理得出、，然后根据得出，再然后根据解三角形面积公式得出，并将其转化为，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.【详解】（1）因为，所以，因为角是锐角，所以，因为，所以由正弦定理与余弦定理易知，整理得，解得.（2）因为，所以，因为，所以，则，因为，所以，则，故，面积的最大值为.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16（1）；（2），理由见解析.【分析】（1）在中利用正弦定理求出，再由、计算可得；（2）由（1）求出，设此人应在线段上的处，直立时，眼睛处于点，则，由利用两角差的正切公式及基本不等式计算可得；【详解】解：（1），.在中，由正弦定理得，又，.，所以，.（2）由（1）知，.，.设此人应在线段上的处，直立时，眼睛处于点，则， ，当且仅当，即时，等号成立.所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大.答案第17页，共18页
