1、高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知向量的夹角为，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（ ）ABCD2中，若，点满足，直线与直线相交于点，则（ ）ABCD3在中，是角的对边，已知，则以下判断错误的是（ ）A的外接圆面积是；B；C可能等于14；D作关于的对称点，则的最大值是.4在锐角中，角，的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（ ）ABCD5若面积为1的满足，则边的最小值为（ ）A1BCD26已知平面向量满足，且的最小值，则的最小值为（ ）AB1C2D1或2二、多选题7已知的内角分别为，满足，且，
2、则以下说法中正确的有（ ）A若为直角三角形，则；B若，则为等腰三角形；C若，则的面积为；D若，则8一般的，的夹角可记为，已知同一个平面上的单位向量满足，则的取值可以是（ ）.AB1C2D第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9在锐角三角形中，角的对边分别为，且满足，则的取值范围为_.10已知， ， 是空间单位向量，且满足，若向量， ，则在 方向上的投影的最大值为_.11设，为单位向量，非零向量，若，的夹角为，则的最大值等于_12如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADDC，ABAD1，BAD，射线BC上的两个动点E，F（E在线段BC上，且不与B，C重合）满足DC平分ED
3、F，则当4BE+BF最小时，tanEDF的值是_.四、解答题13如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定.（1）求的值和两点间的直线距离；（2）折线段赛道最长为多少？求此时点的坐标.14在中，为上一点，是线段的延长线上一点（1）证明：；（2）若，求15已知为的外心，求证.16在，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在中，角，的对边分别为，且_，作，使得四边形满足， 求的取值范围.试卷第3页，共4页参考答案1A【分析】依题意可得，令，则，通过换元可得，所以，当
4、时，可得的 最小值.【详解】依题意可得，则，则，所以，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键点是：令，通过换元得到.2A【分析】本题首先可构建直角坐标系，根据题意得出、，然后根据、三点共线以及、三点共线得出，再然后根据向量的运算法则得出、，最后根据即可得出结果.【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，所以，设，因为、三点共线，所以，因为，、三点共线，所以，联立，解得，因为，所以，因为，所以，故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查向量的几何应用，可借助平面直角坐标系进行解题，考查应用向量的数量积公式求夹角，考查向量共线的相关性质，
5、体现了数形结合思想，是难题.3D【分析】对A：利用正弦定理可求得的外接圆半径，即可求解的外接圆面积；对B：利用余弦定理角化边，即可求解；对C：利用正弦定理边化角，再结合两角和差的正弦公式，即可求解；对D：利用三角形面积公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解【详解】解：对A：，由正弦定理可得，即的外接圆半径，的外接圆面积是，故选项正确；对B：由余弦定理可得，故选项正确；对C：由正弦定理可得，故选项正确；对D：设关于的对称点我，到的距离为，即，又由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以，即，所以的最大值是，故选项错误故选：D4D【分析】根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求
6、得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可【详解】解：ABC中，由，得，；即， ，ABC为锐角三角形，,，,， 故选：D5C【分析】由已知利用三角形的面积公式可得，由余弦定理可求，利用辅助角公式和正弦函数的性质即可求解【详解】解：的面积，且，根据余弦定理得：，即，可得，则，解得：，即边的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、余弦定理和辅助角公式的应用，以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了化简和运算能力.6D【分析】设，则，由的最小值为，得，且，解得或，然后分2种情况考虑的最小值，即可得到
7、本题答案.【详解】设，则 因为的最小值，所以的最小值为，则，且，解得或，当，即时，所以的最小值为2；当，即时，所以的最小值为1，综上，的最小值为1或2.故选：D【点睛】本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力.7BD【分析】利用正弦定理边角互化设akln2，bkln42kln2，cklnt，结合两边和大于第三边求得2t8，讨论t.判断选项A,利用余弦定理得m的式子判断BD;利用面积公式判断C【详解】根据题意，依次分析4个结论：对于A，根据题意，若sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，则a：b：cln2：ln4：lnt，故可设akln2，
8、bkln42kln2，cklnt，k0则有bacb+a，则kln2c3kln2，变形可得2t8，当时；c最大，若为直角三角形，则，即，解得； 当时；若为直角三角形，则，即，解得综上：或，故A错；由题意，abcosCabmc2，m若，则解得t=4，故，为等腰三角形；B正确；对于C，当t4，akln2时，则bkln4，cklntkln4，则有bc2a，此时等腰ABC底边上的高为 ，三角形面积为，C错；对于D，当,则有a2+b2c20，即解得由选项A,B的解析知kln2c3kln2综合两式得，故m 选项D正确；综合可得BD正确；故选：BD8ABC【分析】结合题意，讨论满足的情况，分别研究即可【详解】
9、由题意可知，当且在之间时，满足，如图所示，不妨令，则易知，结合图象可知当点在上时，当点与点或点重合时，此时，；当且在之间时，满足，如图所示，不妨令，过点作，且，连接，则易知为平行四边形，又易知，则，结合图象可知当点与点时，当点与点重合时，此时；当且在之间时，满足，同理当且在之间时，有；综上可知：故选：ABC9【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围【详解】因为，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，所以，由，得，所以故答案为：【点睛】本题考查都得用正弦定理和
10、余弦定理求三角函数的取值范围，解题关键是由正弦定理和余弦定理变形化简得出三角形中角的关系，从而再由锐角三角形得角的范围再把待求式化为某个角的函数，从而求得取值范围10 .【分析】先确定在 方向上的投影用计算，对该式子利用数量积相关公式化简，再用换元法转化为求二次函数的最大值.【详解】在 方向上的投影为. 把 ，代入整理得，.令，则 ，当且仅当 ，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.112【分析】由题意，可得，从而可得当时，；当时，再利用二次函数的性质可得的最大值，比较大小即可得答案【详解】解：，为单位向量，和的夹角等于，当时，则；非零向量，当时，故当时，取得最大值为2，综上，取得最大值
11、为2故答案为：212【分析】由已知求得BC，设CDECDF（0），利用正弦定理把CE、CF用含有的代数式表示，可得4BE+BF，换元后利用导数求最值.【详解】解：如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADDC，ABAD1，BAD，可得BCDC.E在线段BC上（不含端点），且DC平分EDF，设CDECDF（0），在CDE中，由，可得.在CDF中，由，可得.4BE+BF4（）+（）.令xtan（0，），则函数y，y.当xtan时，函数y取得最大值，即4BE+BF取得最小值，此时tanEDFtan2.故答案为：.【点睛】本题考查三角形的解法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题.13（1）；（2）
12、最长为，此时点的坐标为.【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|；（2）由余弦定理得,利用均值不等式求解，且有求出坐标.【详解】（1）依题意，有，又，, 当时， ，又,（2）如图，在中，由余弦定理得 即,故从而，即,当且仅当时，折线段赛道最长.因为，所以,又所以,，所以,故.14（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先利用诱导公式及正弦定理得，再由得，面积的关系，即可得，的关系，即可得证；（2）先由余弦定理求出的余弦值，即可求出的余弦值，再利用余弦定理即可求出【详解】解：（1）在中，由正弦定理，又，（2），由（1）知
13、，在中，由余弦定理知，【点睛】关键点睛： 本题考查的知识是“掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题”解决本题的关键是根据的，面积的关系，即可得，的关系15证明见解析【分析】以为坐标原点，A为轴的正半轴，设，结合三角形所在边的直线方程，利用叉积运算，分别得到，进而得到，再结合三角形面积公式和证明即可.【详解】如图，以为坐标原点，A为轴的正半轴，在轴的上方，则，直线的方程是，因为点与点必在直线的同侧，且，所以有，得.直线的方程是，由于点与点必在直线的同侧，且，所以有，得.于是，又，又，所以.证毕.16.【分析】根据题意，选择求得，设，则，在中，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得
14、可得，结合和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选：由，根据正弦定理可得，即，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得 ，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.选：由，根据正弦定理可得，可得，即，又由余弦定理，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得 ，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.若选：由，可得，即，可得，因为，所以，设，则，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得 ，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的取值范围是.答案第17页，共17页
