1、第第十十一章一章 股票价格的行为模式股票价格的行为模式11本章导读本章介绍几种常用的连续时间随机过程,并利用这些随机过程来描述公司股票价格在市场上的变化情形。学习本章要求了解并能区别各种随机过程(马尔可夫过程,维纳过程,伊藤过程)之间的差异,能够运用适当的随机过程来描述股票价格变动,并且能够使用伊藤引理来解释连续时间下的股票价格变动。连续时间随机过程在理解和推导期权及其他复杂衍生金融工具的定价中扮演着至关重要的角色。本章将介绍比较几种常用的随机过程,让读者了解随机过程公式中各个参数所代表的实际意义，并介绍一个重要的结论伊藤引理，它是随机微积分的核心工具。为了让读者更易于了解,其推导将会放在本章
2、附录中。2知识结构图股票价格的行为模式随机过程有效市场假说与马尔可夫过程维纳过程一般化的维纳过程伊藤过程股票价格的行为过程伊藤引理伊藤引理远期合约下的应用股票价格对数变化3第一节 随机过程观察图11-1所示的上证指数从上世纪90年代交易以来的波动情况，它看上去像是在随机漫步。金融中，通常用随机过程来刻画这种无规律的运动。图111上证指数历史走势图假设=是随机试验的样本空间，T是一个参数集（通常是时间），如果对于每一个tT，都有随机变量X(,t)R与之对应，则称依赖于t的一族随机变量X(,t)为随机过程，也称为随机函数。4第一节 随机过程通俗地讲，随机过程(stochastic process)
3、可以看成两个自变量状态和时间的函数。和普通的确定性函数不同的是，第一个变量本身是随机的，对应一个样本随机试验的结果，比如抛硬币。随机过程习惯上有多种简单记法，如 X(t),t0,T，或者(Xt)t0,T。这时对它有多种理解：(1)当,t都是变量时，X(,t)是一个时间函数族，表示一个随机过程；(2)当给定为*，t为变量时，X(*,t)是一个时间上的函数，称它为一个样本路径；(3)当t固定在某一时刻t*，x(,t*)是一个普通的随机变量 (4)当都固定时，X(*,t*)是一个确定的函数值。需要指出的是，状态变量和时间变量可以是离散或者连续的情形。比如通常的时间序列过程就是离散的随机过程。另外，随
4、机过程X(,t)在某一时刻所呈现的数值也可以是高维随机向量，比如描述股票、债券、期权等形成的组合的价格随机过程，则有X(,t)Rn.5第一节 随机过程一、一、有效市场假说与马尔可夫过程有效市场假说与马尔可夫过程有效市场假说基本的假设是投资者会利用可以获得的信息去交易,因此股票价格应该充分反映了现有的信息,也就是投资者无法利用现有的信息去判断股票价格未来的走势。而依照投资者可以获得的信息集合的大小,法玛(Fama,1970)提出了有效市场假说(efficient market hypothesis)的三种形态:弱式有效,半强式有效,以及强式有效，分别对应过去、现在及未来的信息是否能反映未来的股票
5、价格走势。一般认为市场应该至少是弱式有效的，即历史信息无法预测未来股票价格的走势。这意味着，弱式有效市场的假设和数学上的马尔可夫过程是一致的。离散的马尔可夫过程可以定义如下:E(Pt+1|Pt,Pt-1,Pt-2,)=E(Pt+1|Pt)(11.1)简单来说,在马尔可夫过程中，变量的未来预期值只受当前信息的影响,与历史信息无关，即变量的历史值以及如何达到目前的现值对于未来没有预测能力。18 注18：马尔可夫同样有连续时间下的版本,其基本的意义与离散时间下的定义并无基本差异。同样是历史价值及走向对于股票价格未来的运动不具有预测性。6第一节 随机过程7第一节 随机过程8第一节 随机过程9图113不
6、同时间区间大小下的维纳过程第一节 随机过程三三、一般化的维纳过程一般化的维纳过程若假设一只股票的价格变动遵循标准的维纳过程，我们很快会发现这样的假设存在很大的问题。首先,因为标准维纳过程的变动量的均值为0,所以今天的股票价格以及五年后的预期股票价格是一样的,也就是假如买进一只股票,五年之间的平均收益率将为0。投资学的基本原理认为:由于股票有风险,股票的平均收益率应该高于无风险利率。其次,如果股票价格均遵循标准维纳过程,则所有股票的波动率将会一样。显然，两家不同基本面的公司，使用不同的财务杠杆,波动率应该不同。再次，股票价格是非负的，直接用标准的维纳过程来拟合股票价格是不现实的。这些限制使得我们
7、必须进一步将标准维纳过程一般化,以贴近股票价格的运行模式。标准维纳过程dz的漂移率(drift rate)为0，波动率(variance rate)为1。所谓漂移率是指随机过程每单位时间内的变化的期望值，漂移率为0指的是未来任一时点下z(t)的期望值等于当前的现值。波动率为1指的是变量z在单位时间的根方差为1。将标准维纳过程的漂移率和波动率一般化，可得一般化的维纳过程(generalized Wiener process)。利用标准维纳过程z来定义一个一般化的维纳过程变量x如下:dx=adt+bdz(11.2)其中，漂移率a，波动率b均是常量。10第一节 随机过程11第一节 随机过程12图11
8、3不同漂移率以及波动率下的一般化维纳过程第一节 随机过程13第一节 随机过程四四、伊藤过程伊藤过程进一步，允许一般化的维纳过程中的a，b受时间及变量当前值的影响,则这样的过程又称为伊藤过程(Ito process)。记为:dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz (11.4)其中,dz是一个标准维纳过程,参数a和b是标的变量x和时间t值的函数。变量x的漂移率为a,波动率为b。即伊藤过程的期望漂移率和波动率都随时间推移而变化。14第二节 股票价格的行为过程15第二节 股票价格的行为过程专栏专栏111中国市场收益率的独立性中国市场收益率的独立性 在本章讨论股票的行为过程,以及下一章推导布莱克-斯科
9、尔斯期权定价公式的时候,我们都会使用本章的随机过程。但是假设股票的收益率之间是独立的并不一定符合现实。在国外的股市中,如果以月份来衡量,那么相邻月份之间的自相关系数一般都很接近零；而如果以天为单位，那么市值较小或是交易量较低的股票很容易出现自相关,从而使本章的假设遇到挑战。中国的股票因为市场化程度不高,加上个人投资者较多,相邻时间的收益率之间的独立性假设可能存在较大的问题。为了检查这样的假设是否符合中国市场的现实,我们可以利用一个简单的测试方法。一般来说,要判断一个时间序列是否随机,可以使用一种叫做波动率的方法。波动率的定义是将利用较长时间计算的根方差(例如年度收益率的根方差)除以较短时间计算
10、的根方差(例如月份收益率的根方差)。计算出来的结果再除以一个调整的基数,这个基数基本上就是较长时间除以较短时间。例如如果选取的时间间距分别为年以及月,那么这里的调整就是12。由基本的统计知识可知,如果每个时段之间的收益率为独立的,那么波动率应该刚好为1。如果波动率大于1,代表这个收益率的时间序列有正自相关性或是在每个长的时间段内(例如每年)以短时间衡量的收益率(例如月度收益率)有趋势。如果波动率小于1,那么收益率的时间序列有正自相关性，或在每个长的时间段内(例如每年)以短时间衡量的收益率(例如月度收益率)具有均值反转的现象。16第二节 股票价格的行为过程专栏专栏111中国市场收益率的独立性中国
11、市场收益率的独立性 现在我们可以检验中国股市的情况。这里利用2007年5月到2011年4月间的上市公司每个月份收益率的资料,计算各公司月收益率的自相关以及波动率,结果列在表111和图114中。表111个上市公司波动率分布 图114上市公司月收益率自相关性的分布17大于大于小于小于所占比率所占比率(%)0.2520.6 0.25 0.5029.4 0.50 1.0029.8 1.00 2.0015.3 2.004.9第二节 股票价格的行为过程18第三节 伊藤引理19第三节 伊藤引理伊藤引理主要是为后面将要讨论的布莱克 斯科尔斯期权定价模 型提供足够的理论背景。这样的内容看似偏向于理论而与实务无法
12、结合。实际上,伊藤引理以及之前的各种随机过程在金融工程上有许多相关的应用。例如,在广发证券罗军与胡海涛于2010年12月2日撰写的基于伊藤引理的股指期货跨期套利策略研究报告中,就利用了伊藤引理来设立跨期套利策略。他们发现虽然使用伊藤引理的套利不见得能够比使用常见的移动均值回归策略有更高的收益率,但是在两者都能获得极高报酬的情况下,基于伊藤引理所推导出的策略能提供更为稳健的收益率,也代表这样的策略具有较低的风险。伊藤引理除了在衍生产品的定价上有着重要的地位,在固定收益证券,尤其是在利率结构的理论讨论上。在著名的Vasicek（1977)的文章中,他就在即期利率遵循随机扩散过程下推导了相关的利率结
13、构以及债券的定价。下面，我们举个例子以便理解伊藤引理的运用，更深入的运用以后会在期权及其他衍生产品的定价中。20第三节 伊藤引理21第三节 伊藤引理22第三节 伊藤引理23本章小结本章首先介绍随机过程的定义，然后依次介绍了马尔可夫过程、维纳过程、一般化的维纳过程和伊藤过程的特征，特别是一般化的维纳过程和伊藤过程中漂移率和波动率的定义及相关计算。特别地，我们利用几何布朗运动来描述股票价格收益率的变动。读者应该注重股票收益率随机过程描述的方式,以及将几何布朗运动用于描述股价变动的合理与不合理之处。本章的最后介绍了连续时间下随机过程中极重要的伊藤引理,并利用远期合约价格以及股票对数变动的例子来说明如何使用伊藤引理。24 The ending The ending！25
