1、第20讲 矩形、菱形和正方形1矩形、菱形、正方形的性质矩形 菱形 正方形 边 两组对边分别平行且相等. 两组对边分别_平行_，四条边都_相等两组对边分别_平行_，四条边都_相等角 四个角都是_直角对角相等，邻角_互补四个角都是_直角对角线 互相平分；相等 互相平分；互相垂直；每条对角线平分一组对角 互相平分；互相垂直；相等；每条对角线平分一组对角 对称性中心对称；轴对称且有2条对称轴中心对称；轴对称且有2条对称轴中心对称；轴对称且有4条对称轴面积Sab(a、b表示长与宽)Smn(m、n表示两条对角线的长)Sa2(a表示边长)2.矩形、菱形、正方形的判定矩形：有一个角是直角的平行四边形； 对角线
2、相等的平行四边形； 有三个角是直角四边形；菱形：有一组邻边_相等_的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形；正方形：一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；对角线 互相垂直且相等的平行四边形。3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系考点1：矩形性质与判定【例题1】(2019湖北咸宁市)（7分）在RtABC中，C90，A30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF（1）求证：四边形DEFC是矩形；（2）请用无刻度的直尺在图中作出ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩
3、形即可判断（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可【解答】（1）证明：D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，DEFC，EFCD，四边形DEFC是平行四边形，DCF90，四边形DEFC是矩形（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即被折叠的角折叠之后在任何位置依旧是直角； (2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三角函数的计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或等
4、腰三角形的性质进行求解考点2：菱形的性质与判定【例题2】在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.(1)如图1，若点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形；图1图2(2)如图2，若E，F分别在射线DB和射线BD上，且BEDF.求证：四边形AECF是菱形；若AEC60，AE6，ABBE，求AB的长【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于可利用菱形的性质，转化到RtABO中进行求解【解答】解：(1)证明：点E，F分别为AB，AD的中点，AEA
5、B，AFAD.又四边形ABCD是菱形，ABAD，ACBD.E，F是AB，AD的中点，AEAFOFOE.四边形AEOF是菱形(2)证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，OAOC，BDAC.BEDF，OBBEODDF，即OEOF.四边形AECF是菱形四边形AECF是菱形，AECE，AOEF，AEOCEO.AEC60，AEO30.AE6，AO3.ABBE，BAEAEB30.ABOAEBBAE60.在RtAOB中，AB2.归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂
6、直即可判定为菱形等； 2应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数来求线段的长，有一个角为60的菱形，60所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形也可以根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论考点3： 正方形的性质与判定【例题3】(2018遵义)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AEBE)，且EOF90，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证：OMON；(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长【解析】：(1)证明：四边形AB
7、CD是正方形，OAOB，DAOOBA45.OAMOBN135.EOFAOB90，AOMBON.OAMOBN(ASA)OMON.(2)过点O作OHAD于点H.正方形ABCD的边长为4，OHHA2.E为OM的中点，A为HM的中点HM4.OM2.MNOM2.归纳： 1证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形2在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起一、选择题：1. （2019南京2分）面积为4的正方
8、形的边长是（）A4的平方根B4的算术平方根C4开平方的结果D4的立方根【答案】B【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；故选：B2. （2019浙江绍兴4分）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）A先变大后变小B先变小后变大C一直变大D保持不变【答案】D【解答】解：正方形ABCD和矩形ECFG中，DCBFCE90，FB90，DCFECB，BCEFCD，CFCECBCD，矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等故选：D3. （2018新疆生产建设兵团5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6
9、cm，BC=8cm现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A6cm B4cm C3cm D2cm【答案】D【解答】解：沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，B=AB1E=90，AB=AB1，又BAD=90，四边形ABEB1是正方形，BE=AB=6cm，CE=BCBE=86=2cm故选：D4. （2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（）A6 B3 C2 D4.5【答案】C【解答】解：如图，作点E关于AC的对称点E，过点E作EMAB于点M
10、，交AC于点P，则点P、M即为使PE+PM取得最小值，其PE+PM=PE+PM=EM，四边形ABCD是菱形，点E在CD上，AC=6 ，BD=6，AB=3 ，由S菱形ABCD= ACBD=ABEM得66=3 EM，解得：EM=2 ，即PE+PM的最小值是2 ，故选：C5. （2018广西南宁）如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P在BC边上，将CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP=OF，则cosADF的值为（）A B C D【答案】C【解答】根据折叠，可知：DCPDEP，DC=DE=4，CP=EP在OEF和OBP中，OEFOBP（AAS），OE=OB
11、，EF=BP设EF=x，则BP=x，DF=DEEF=4x，又BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BCBP=3x，AF=ABBF=1+x在RtDAF中，AF2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2，解得：x=，DF=4x=，cosADF=故选：C二、填空题：6. 已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，则BE的长等于 【答案】42【解答】解：四边形ABCD是正方形，CD=2，BD=2，EBD=45，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，DC=DC=2，DCE=C=90，
12、BC=22，BCE=90，BE=BC=42，故答案为：427. （2019四川省凉山州5分）如图，正方形ABCD中，AB12，AEAB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为4【答案】4【解答】解：BEP+BPE90，QPC+BPE90，BEPCPQ又BC90，BPECQP设CQy，BPx，则CP12x，化简得y（x212x），整理得y（x6）2+4，所以当x6时，y有最大值为4故答案为48. （2018广西贵港）如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边BC与CD交于点M，若BMD=50，则BEF的度数为 【答案】70【解答】解：C=C=
13、90，DMB=CMF=50，CFM=40，设BEF=，则EFC=180，DFE=BEF=，CFE=40+，由折叠可得，EFC=EFC，180=40+，=70，BEF=70，故答案为：709. （2019湖北省咸宁市3分）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB4，BC8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM下列结论：CQCD；四边形CMPN是菱形；P，A重合时，MN2；PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是（把正确结论的序号都填上）【答案】【解答】解：如图1，PMCN，PMNMNC，M
14、NCPNM，PMNPNM，PMPN，NCNP，PMCN，MPCN，四边形CNPM是平行四边形，CNNP，四边形CNPM是菱形，故正确；CPMN，BCPMCP，MQCD90，CPCP，若CQCD，则RtCMQCMD，DCMQCMBCP30，这个不一定成立，故错误；点P与点A重合时，如图2，设BNx，则ANNC8x，在RtABN中，AB2+BN2AN2，即42+x2（8x）2，解得x3，CN835，AC，MN2QN2故正确；当MN过点D时，如图3，此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S，4S5，故错误故答案为：三
15、、解答题：10. （2019浙江宁波10分）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上（1）求证：BGDE；（2）若E为AD中点，FH2，求菱形ABCD的周长【分析】（1）根据矩形的性质得到EHFG，EHFG，得到GFHEHF，求得BFGDHE，根据菱形的性质得到ADBC，得到GBFEDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到ADBC，ADBC，求得AEBG，AEBG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到ABEG，于是得到结论【解答】解：（1）四边形EFGH是矩形，EHFG，EHFG，GFHEHF，B
16、FG180GFH，DHE180EHF，BFGDHE，四边形ABCD是菱形，ADBC，GBFEDH，BGFDEH（AAS），BGDE；（2）连接EG，四边形ABCD是菱形，ADBC，ADBC，E为AD中点，AEED，BGDE，AEBG，AEBG，四边形ABGE是平行四边形，ABEG，EGFH2，AB2，菱形ABCD的周长811. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点(1)若AEBFCGDH.求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DGAC，OF2，求矩形ABCD的面积【点拨】(1)在矩形ABCD对角
17、线上有条件，同时还在四边形EFGH对角线上有条件，所以可通过对角线判定矩形；(2)求矩形ABCD的面积可转化成求AC与DG的积或转化成AD与CD的积【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD.AEBFCGDH，OEOFOGOH.四边形EFGH是矩形(2)四边形ABCD是矩形，OAOBOCOD.OEOA，OFOB，OGOC，OHOD，OEOFOGOH.四边形EFGH是矩形DGAC，OG2，OD4.DG2.又AC4OF8，SADCACDG8.S矩形ABCD2SADC16.12. （2019山东省滨州市 13分）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在A
18、D边上的点F处，过点F作FGCD交BE于点G，连接CG（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB6，AD10，求四边形CEFG的面积【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到BCEBFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积【解答】（1）证明：由题意可得，BCEBFE，BECBEF，FECE，FGCE，FGECEB，FGEFEG，FGFE，FGEC，四边形CEFG是平行四边形，又CEFE，四边形CEFG是菱形；（2）矩形ABCD中，AB6，AD10，BCBF，BAF90
19、，ADBCBF10，AF8，DF2，设EFx，则CEx，DE6x，FDE90，22+（6x）2x2，解得，x，CE，四边形CEFG的面积是：CEDF213. 已知：在边长为8的正方形ABCD的各边上截取AEBFCGDH.(1)如图1，连接AF，BG，CH，DE，依次相交于点N，P，Q，M，求证：四边形MNPQ是正方形；(2)如图2，若连接EF，FG，GH，HE.求证：四边形EFGH是正方形；当四边形EFGH的面积为50 cm2时，求tanFEB的值图1图2【点拨】(1)先证明四边形MNPQ是矩形，再证明一组邻边相等；(2)先证明四边形EFGH是菱形，再证明它是矩形；利用勾股定理，求BE，BF，
20、再利用正切三角函数定义求值【解答】解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，ABBCCDDA，BADABCBCDCDA90.在ABF和BCG中，ABFBCG(SAS)BAFGBC.BAFAFB90，GBCAFB90.BNF90.MNPBNF90.同理可得NPQPQM90.四边形MNPQ是矩形在ABN和BCP中，ABNBCP(AAS)ANBP.在AME和BNF中，AMEBNF(AAS)AMBN.MNNP.四边形MNPQ是正方形(2)证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又AEBFCGDH，AHBECFDG.AEHBFECGFDHG(SAS)EHFEGFGH，AEHBFE.四
21、边形EFGH是菱形BEFBFE90，BEFAEH90.HEF90.四边形EFGH是正方形四边形EFGH的面积为50 cm2，EF250 cm2.设BECFx cm，则BF(8x)cm.在RtBEF中，由勾股定理，得BE2BF2EF2，即x2(8x)250.解得x11，x27.当BE1 cm时，BF7 cm，tanFEB7；当BE7 cm时，BF1 cm，tanFEB.tanFEB的值为或7.14. （2019湖南株洲8分）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC.BD的交点，连接CE.DG（1）求证：DOGCOE；（2）若DGBD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段
22、OG相交于点M，AM，求正方形OEFG的边长【分析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BD，可得DOADOC90，GOE90，即可证得GODCOE，因DOOC，GOEO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MHDO交DO于点H，由于MDB45，由可得DH，MH 长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MHDG，易证得OHMODG，则有，求得GO即为正方形OEFG的边长【解答】解：（1）正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC.BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如图，过点M作MHDO交DO于点HAM，DA2DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDOMHDG易证OHMODG，得GO2则正方形OEFG的边长为2
